高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第四節(jié) 直接證明和間接證明課件 理

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1、理數(shù)課標(biāo)版第四節(jié)直接證明和間接證明1.直接證明直接證明教材研讀教材研讀內(nèi)容 綜合法分析法定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì) 由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQ P1P1 P2P2 P3得到一個(gè)明顯成立的條件文字語(yǔ)言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證2.間接證明間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題不成立(即

2、在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.3.數(shù)學(xué)歸納法的步驟數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成以上兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.1.用分析法證明時(shí)出現(xiàn):欲使AB,只需Ccn+1解析解析由題意知,

3、an=,bn=n,cn=-n=.顯然,cn隨著n的增大而減小,cncn+1.21x 21n 21n 211nn 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),左邊表達(dá)式是;從kk+1需增添的項(xiàng)是.答案答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3)解析解析用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),2n+1=3,所求左邊表達(dá)式是1+2+3;從kk+1需增添的項(xiàng)是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)一綜合法典例典例1 (2016天津,18,13分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d

4、.對(duì)任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè)cn=-,nN*,求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列;(2)設(shè)a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求證:.21nb2nb21nk2kb1nk1kT212d考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破證明證明(1)由題意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差數(shù)列.(2)Tn=(-+)+(-+)+(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=2nb21nb2nb21b22b23b24b221nb22nb22()2nn aa1nk1kT212d1nk

5、1(1)k k =0,證明:+a+b+c.證明證明因?yàn)閍,b,c0,根據(jù)基本不等式,有+b2a,+c2b,+a2c,三式相加,+a+b+c2(a+b+c),即+a+b+c.2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca1-2 (2016山東臨沂模擬)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(2)若C=,求證:5a=3b.證明證明(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因?yàn)閟inB0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有a+c=2b,即

6、a,b,c成等差數(shù)列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得2323(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=,即5a=3b.ab35考點(diǎn)二分析法考點(diǎn)二分析法典例典例2已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2R,均有f.證明證明要證明f,即證明-2,因此只要證明-(x1+x2)-(x1+x2),即證明,因此只要證明,由于x1,x2R,所以0,0,12()()2f xf x122xx12()()2f xf x122xx1212(32 )(32)2xxxx1223xx122xx12332xx1223xx12332xx1223xx12332xx1233xx13x

7、23x由基本不等式知成立,故原結(jié)論成立.12332xx1233xx方法技巧方法技巧(1)分析法采用逆向思維,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),?？紤]用分析法.(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可逆的,它的常用書(shū)面表達(dá)形式為“要證只需要證”或“”.注意用分析法證明時(shí),一定要嚴(yán)格按照格式書(shū)寫.2-1已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.求證:+=.1ab1bc3abc證明證明要證+=,1ab1bc3abc即證+=3,也就

8、是+=1,只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60,由余弦定理,得abcababcbccababcb2=c2+a2-2accos60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三反證法考點(diǎn)三反證法典例典例3(2015湖南,16,6分)設(shè)a0,b0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a2與b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a2與b2+b2同時(shí)成立,則由a2+a0得0a1;同理,0b1,從

9、而0ab1,這與ab=1矛盾.故a2+a2與b2+b2不可能同時(shí)成立.1a1b1a1bababab易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與基本事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.3-1已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值為2,最小值為-.求證:a0且2.證明證明假設(shè)a=0或2.(1)當(dāng)a=0時(shí),由a+c=0,得f(x)=bx,52baba由題意得

10、b0,f(x)=bx在-1,1上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在-1,1上的最大值為|b|,最小值為-|b|,由已知條件,得|b|+(-|b|)=2-=-,這與|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0.(2)當(dāng)2時(shí),a0,由二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=-,知f(x)在-1,1上是單調(diào)函數(shù),故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.所以或又a+c=0,則b不存在,所以2.5212ba2ba(1)2,5( 1),2fabcfabc 5(1),2( 1)2.fabcfabc ba由(1)(2),得a0且a2,所以a2=3,a5=9,所以d=2,a1=1,121nb252512,27,aaa a523aa933所

11、以an=2n-1.因?yàn)門n=1-bn,所以b1=,當(dāng)n2時(shí),Tn-1=1-bn-1,因?yàn)閎n=Tn-Tn-1=1-bn-,化簡(jiǎn),得bn=bn-1,所以bn是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,故bn=.122312121112nb13231323113n23n所以an=2n-1,bn=.(2)因?yàn)镾n=n=n2,所以Sn+1=(n+1)2,以下比較與Sn+1的大小:當(dāng)n=1時(shí),=,S2=4,所以S2,當(dāng)n=2時(shí),=,S3=9,所以S3,23n1(21)2n1nb11b3211b21b9221b當(dāng)n=3時(shí),=,S4=16,所以S5,猜想:當(dāng)n4時(shí),Sn+1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=4時(shí),已證.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k4)時(shí),Sk+1,31b27231b41b81241b1nb1kb即(k+1)2,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1.綜合,當(dāng)n4時(shí),Sn+1.所以當(dāng)n=1,2,3時(shí),Sn+1.32k11kb132k32k1nb1nb1nb