（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt

《（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt（114頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

4 3等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) 江蘇專用 考點(diǎn)1等腰三角形 A組2014 2018年江蘇中考題組 五年中考 1 2018宿遷 6 3分 若實(shí)數(shù)m n滿足等式 m 2 0 且m n恰好是等腰 ABC的兩條邊的邊長(zhǎng) 則 ABC的周長(zhǎng)是 A 12B 10C 8D 6 答案B m 2 0 m 2 0 n 4 0 解得m 2 n 4 當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí) 三邊長(zhǎng)為2 2 4 不符合三邊關(guān)系定理 當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí) 三邊長(zhǎng)為2 4 4 符合三邊關(guān)系定理 此時(shí)周長(zhǎng)為2 4 4 10 故選B 2 2015蘇州 7 3分 如圖 在 ABC中 AB AC D為BC中點(diǎn) BAD 35 則 C的度數(shù)為 A 35 B 45 C 55 D 60 答案C AB AC D為BC中點(diǎn) CAD BAD 35 AD DC 在 ADC中 C 90 DAC 55 故選C 3 2014蘇州 6 3分 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D在BC上 AB AD DC B 80 則 C的度數(shù)為 A 30 B 40 C 45 D 60 答案B因?yàn)锳B AD 所以 B ADB 80 因?yàn)镈C AD 所以 C CAD 又因?yàn)?ADB是 ACD的外角 所以 ADB C CAD 2 C 所以 C 40 故選B 4 2018淮安 13 3分 若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50 則它的底角等于 答案65 解析 等腰三角形的頂角等于50 等腰三角形的底角相等 底角等于 180 50 65 故答案為65 5 2016鎮(zhèn)江 12 2分 有一張等腰三角形紙片 AB AC 5 BC 3 小明將它沿虛線PQ剪開 得到 AQP和四邊形BCPQ兩張紙片 如圖所示 且滿足 BQP B 則下列五個(gè)數(shù)據(jù) 3 2 中可以作為長(zhǎng)的有個(gè) 答案3 解析如圖 當(dāng)PQ過(guò)點(diǎn)C時(shí) 設(shè)BQ x BQC B A A BQC BCA 則 即 x 則AQ 5 0 AQ 五個(gè)數(shù)據(jù)中滿足條件的有三個(gè) 分別為3 2 思路分析取特殊位置 利用三角形相似確定AQ的取值范圍 從而確定滿足條件的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) 解題關(guān)鍵本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的相似 解題關(guān)鍵是找出臨界位置AQ的長(zhǎng) 6 2014蘇州 15 3分 如圖 在 ABC中 AB AC 5 BC 8 若 BPC BAC 則tan BPC 答案 解析過(guò)A作等腰 ABC底邊BC上的高AD 垂足為D 則AD平分 BAC 且D為BC的中點(diǎn) 所以BD 4 根據(jù)勾股定理可求出AD 3 又因?yàn)?BPC BAC 所以 BPC BAD 所以tan BPC tan BAD 7 2018蘇州 28 10分 如圖 直線l表示一條東西走向的筆直公路 四邊形ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形草地 點(diǎn)A D在直線l上 小明從點(diǎn)A出發(fā) 沿公路l向西走了若干米后到達(dá)點(diǎn)E處 然后轉(zhuǎn)身沿射線EB方向走到點(diǎn)F處 接著又改變方向沿射線FC方向走到公路l上的點(diǎn)G處 最后沿公路l回到點(diǎn)A處 設(shè)AE x米 其中x 0 GA y米 已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖 所示 1 求圖 中線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式 2 試問(wèn)小明從起點(diǎn)A出發(fā)直至最后回到點(diǎn)A處 所走過(guò)的路徑 EFG 是否可以是一個(gè)等腰三角形 如果可以 求出相應(yīng)x的值 如果不可以 說(shuō)明理由 解析 1 設(shè)線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y kx b k 0 M N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 30 230 100 300 解這個(gè)方程組 得 線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y x 200 2 可以 第一種情況 考慮FE FG是否成立 連接EC AE x AD 100 GA x 200 ED GD x 100 又 CD EG CE CG CGE CEG FEG CGE FE FG 第二種情況 考慮FG EG是否成立 四邊形ABCD是正方形 BC EG FBC FEG 假設(shè)FG EG成立 則FC BC亦成立 FC BC 100 AE x GA x 200 FG AE AG 2x 200 CG FG FC 2x 200 100 2x 100 在Rt CDG中 CD 100 GD x 100 CG 2x 100 且CD2 GD2 CG2 1002 x 100 2 2x 100 2 解這個(gè)方程 得x1 100 x2 x 0 x 則當(dāng)x 時(shí) FG EG 此時(shí) EFG為等腰三角形 第三種情況 考慮EF EG是否成立 與 同理 假設(shè)EF EG成立 則FB BC亦成立 且BE EF FB 2x 200 100 2x 100 在Rt ABE中 AE x AB 100 BE 2x 100 且AB2 AE2 BE2 1002 x2 2x 100 2 解這個(gè)方程 得x1 0 x2 均不合題意 舍去 故EF EG 綜上所述 當(dāng)x 時(shí) EFG是一個(gè)等腰三角形 解題關(guān)鍵本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式 等腰三角形的性質(zhì) 正方形的性質(zhì) 勾股定理等知識(shí) 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合 分類討論思想 根據(jù)勾股定理列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 8 2017徐州 25 8分 如圖 已知AC BC 垂足為C AC 4 BC 3 將線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60 得到線段AD 連接DC DB 1 線段DC 2 求線段DB的長(zhǎng)度 解析 1 AC AD CAD 60 ACD是等邊三角形 DC AC 4 考點(diǎn)2直角三角形 1 2018揚(yáng)州 7 3分 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D CE平分 ACD交AB于E 則下列結(jié)論一定成立的是 A BC ECB EC BEC BC BED AE EC 答案C ACB 90 CD AB ACD BCD 90 ACD A 90 BCD A CE平分 ACD ACE DCE 又 BEC A ACE BCE BCD DCE BEC BCE BC BE 故選C 思路分析根據(jù)同角的余角相等可得出 BCD A 根據(jù)角平分線的定義可得出 ACE DCE 再結(jié)合 BEC A ACE BCE BCD DCE即可得出 BEC BCE 利用等角對(duì)等邊即可得出BC BE 此題得解 方法總結(jié)本題考查了三角形外角的性質(zhì) 余角 角平分線的定義以及等腰三角形的判定 通過(guò)計(jì)算得到 BEC BCE是解題的關(guān)鍵 2 2016常州 7 2分 已知在 ABC中 BC 6 AC 3 CP AB 垂足為P 則CP的長(zhǎng)可能是 A 2B 4C 5D 7 答案A如圖 根據(jù)垂線段最短可得CP 3 故選A 3 2014揚(yáng)州 7 3分 如圖 已知 AOB 60 點(diǎn)P在邊OA上 OP 12 點(diǎn)M N在邊OB上 PM PN 若MN 2 則OM A 3B 4C 5D 6 答案C如圖 過(guò)點(diǎn)P作PH MN 垂足為H 因?yàn)镻M PN MN 2 所以MH MN 1 在Rt POH中 OP 12 POH 60 所以O(shè)H 6 所以O(shè)M OH MH 6 1 5 故選C 4 2018無(wú)錫 18 3分 如圖 已知 XOY 60 點(diǎn)A在邊OX上 OA 2 過(guò)點(diǎn)A作AC OY于點(diǎn)C 以AC為一邊在 XOY內(nèi)作等邊三角形ABC 點(diǎn)P是 ABC圍成的區(qū)域 包括各邊 內(nèi)的一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)P作PD OY交OX于點(diǎn)D 作PE OX交OY于點(diǎn)E 設(shè)OD a OE b 則a 2b的取值范圍是 答案2 a 2b 5 解析過(guò)P作PH OY交OY于點(diǎn)H PD OY PE OX 四邊形EODP是平行四邊形 HEP XOY 60 EP OD a EPH 30 EH EP a a 2b 2 2 EH EO 2OH 當(dāng)P在AC邊上時(shí) H與C重合 此時(shí)OH的值最小 最小值 OC OA 1 故a 2b的最小值是2 當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí) OH的值最大 最大值是1 故 a 2b 的最大值是5 2 a 2b 5 思路分析作輔助線 構(gòu)建含30度角的直角三角形 先證明四邊形EODP是平行四邊形 得EP OD a 在Rt HEP中 EPH 30 可得EH的長(zhǎng) 從而可得a 2b 2OH 確認(rèn)OH取最大和最小值時(shí)點(diǎn)H的位置 可得結(jié)論 解后反思本題考查了等邊三角形的性質(zhì) 構(gòu)造法 平行四邊形的判定和性質(zhì) 掌握a 2b的最值就是確認(rèn)OH的范圍 即可解決問(wèn)題 5 2018鹽城 16 3分 如圖 在直角 ABC中 C 90 AC 6 BC 8 P Q分別為邊BC AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 若要使 APQ是等腰三角形且 BPQ是直角三角形 則AQ 答案或 解析 如圖1 當(dāng)AQ PQ QPB 90 時(shí) 設(shè)AQ PQ x C 90 AC 6 BC 8 AB 10 PQ AC BPQ BCA x AQ 圖1 如圖2 當(dāng)AQ PQ PQB 90 時(shí) 設(shè)AQ PQ y 圖2易知 BQP BCA y 綜上所述 滿足條件的AQ的值為或 思路分析分兩種情形分別求解 AQ PQ QPB 90 AQ PQ PQB 90 解題關(guān)鍵本題考查勾股定理 等腰三角形的性質(zhì) 相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí) 解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題 學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題 6 2017徐州 18 3分 如圖 已知OB 1 以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形A1BO 再以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O 如此下去 則線段OAn的長(zhǎng)度為 答案 n 解析 OBA1為等腰直角三角形 OB 1 A1B OB 1 OA1 OB OA1A2為等腰直角三角形 A1A2 OA1 OA2 OA1 2 OA2A3為等腰直角三角形 A2A3 OA2 2 OA3 OA2 2 OA3A4為等腰直角三角形 A3A4 OA3 2 OA4 OA3 4 OA4A5為等腰直角三角形 A4A5 OA4 4 OA5 OA4 4 OA5A6為等腰直角三角形 A5A6 OA5 4 OA6 OA5 8 線段OAn的長(zhǎng)度為 n 解題關(guān)鍵此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理 熟練應(yīng)用勾股定理找出規(guī)律是解題關(guān)鍵 7 2017徐州 17 3分 如圖 矩形ABCD中 AB 4 AD 3 點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上 且AQ AD 連接DQ并延長(zhǎng) 與邊BC交于點(diǎn)P 則線段AP 答案 解析在矩形ABCD中 AB 4 AD 3 BC AC 5 又 AQ AD 3 AD CP CQ 5 3 2 CQP AQD ADQ CPQ CP CQ 2 BP 3 2 1 在Rt ABP中 AP 8 2014無(wú)錫 15 2分 如圖 ABC中 CD AB于D E是AC的中點(diǎn) 若AD 6 DE 5 則CD的長(zhǎng)等于 答案8 解析 CD AB AE CE AC 2DE 10 則在Rt ADC中 CD 8 9 2017南京 22 8分 直角 在初中幾何學(xué)習(xí)中無(wú)處不在 如圖 已知 AOB 請(qǐng)仿照小麗的方式 再用兩種不同的方法判斷 AOB是不是直角 僅限用直尺和圓規(guī) 解析本題答案不唯一 下列解法供參考 解法一 如圖 在OA OB上分別截取OC 4 OD 3 若CD 5 則 AOB 90 圖 解法二 如圖 在OA OB上分別取點(diǎn)C D 以CD為直徑畫圓 若點(diǎn)O在圓上 則 AOB 90 圖 思路分析根據(jù)勾股定理的逆定理或直徑所對(duì)的圓周角是直角畫圖即可 B組2014 2018年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)1等腰三角形 1 2018福建 5 4分 如圖 等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為D 點(diǎn)E在線段AD上 EBC 45 則 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為點(diǎn)D 可得 ACB 60 且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根據(jù)等邊對(duì)等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2017吉林 5 2分 如圖 在 ABC中 以點(diǎn)B為圓心 以BA長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)D 連接AD 若 B 40 C 36 則 DAC的度數(shù)是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作圖知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故選C 3 2015吉林長(zhǎng)春 6 3分 如圖 在 ABC中 AB AC 過(guò)點(diǎn)A作AD BC 若 1 70 則 BAC的大小為 A 30 B 40 C 50 D 70 答案B AB AC B C AD BC C 1 70 B 70 BAC 40 故選B 4 2018天津 17 3分 如圖 在邊長(zhǎng)為4的等邊 ABC中 D E分別為AB BC的中點(diǎn) EF AC于點(diǎn)F G為EF的中點(diǎn) 連接DG 則DG的長(zhǎng)為 答案 思路分析連接DE 根據(jù)題意可得DE AC 又EF AC 可得到 FEC的度數(shù) 判斷出 DEG是直角三角形 再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長(zhǎng) 疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) 勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)求線段DG的長(zhǎng) DG與圖中的線段無(wú)直接的關(guān)系 所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE 構(gòu)造直角三角形 運(yùn)用勾股定理求出DG的長(zhǎng) 5 2017北京 19 5分 如圖 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于點(diǎn)D 求證 AD BC 證明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 6 2017內(nèi)蒙古呼和浩特 18 6分 如圖 等腰三角形ABC中 BD CE分別是兩腰上的中線 1 求證 BD CE 2 設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O 點(diǎn)M N分別為線段BO和CO的中點(diǎn) 當(dāng) ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等時(shí) 判斷四邊形DEMN的形狀 無(wú)需說(shuō)明理由 解析 1 證明 AB AC是等腰 ABC的兩腰 AB AC BD CE是中線 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四邊形DEMN為正方形 提示 由MN DE分別是 OBC ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形 由 1 知BD CE 故可證OE OD 從而四邊形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等可知四邊形DEMN為正方形 7 2016北京 28 7分 在等邊 ABC中 1 如圖1 P Q是BC邊上兩點(diǎn) AP AQ BAP 20 求 AQB的度數(shù) 2 點(diǎn)P Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 不與B C重合 點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè) 且AP AQ 點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M 連接AM PM 依題意將圖2補(bǔ)全 小茹通過(guò)觀察 實(shí)驗(yàn) 提出猜想 在點(diǎn)P Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 始終有PA PM 小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流 通過(guò)討論 形成了證明該猜想的幾種想法 想法1 要證PA PM 只需證 APM是等邊三角形 想法2 在BA上取一點(diǎn)N 使得BN BP 要證PA PM 只需證 ANP PCM 想法3 將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到線段BK 要證PA PM 只需證PA CK PM CK 解析 1 ABC為等邊三角形 B 60 APC BAP B 80 AP AQ AQB APC 80 2 補(bǔ)全的圖形如圖所示 證法一 過(guò)點(diǎn)A作AH BC于點(diǎn)H 如圖 由 ABC為等邊三角形 AP AQ 可得 PAB QAC 點(diǎn)Q M關(guān)于直線AC對(duì)稱 QAC MAC AQ AM PAB MAC AM AP PAM BAC 60 APM為等邊三角形 PA PM 證法二 在BA上取一點(diǎn)N 使BN BP 連接PN CM 如圖 由 ABC為等邊三角形 可得 BNP為等邊三角形 AN PC ANP 120 由AP AQ 可得 APB AQC 又 B ACB 60 ABP ACQ BP CQ 點(diǎn)Q M關(guān)于直線AC對(duì)稱 ACM ACQ 60 CM CQ NP BP CQ CM PCM ACM ACQ 120 ANP PCM PA PM 證法三 將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到BK 連接KP CK MC 如圖 8 2014甘肅蘭州 27 10分 給出定義 若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方 則稱該四邊形為勾股四邊形 1 在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中 寫出兩種勾股四邊形的名稱 2 如圖 將 ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60 得到 DBE 連接AD DC CE 已知 DCB 30 求證 BCE是等邊三角形 求證 DC2 BC2 AC2 即四邊形ABCD是勾股四邊形 解析 1 正方形 矩形 直角梯形 任選兩個(gè)均可 2分 2 證明 ABC DBE BC BE 4分 CBE 60 BCE是等邊三角形 5分 ABC DBE AC DE 6分 BCE是等邊三角形 BC CE BCE 60 7分 DCB 30 DCE 90 8分 在Rt DCE中 DC2 CE2 DE2 DC2 BC2 AC2 9分 即四邊形ABCD是勾股四邊形 10分 評(píng)析本題考查勾股定理 全等三角形的性質(zhì) 等邊三角形的判定與性質(zhì) 屬中等難度題 解析 1 畫圖如下 任畫其中兩個(gè)即可 4分 2 如圖 當(dāng)AD AE時(shí) 2x x 30 30 x 20 6分 當(dāng)AD DE時(shí) 30 30 2x x 180 x 40 7分 當(dāng)AE DE時(shí) 不存在 不寫不扣分 C的度數(shù)是20 或40 結(jié)論不寫不扣分 3 如圖 CD AE就是所求的三分線 設(shè) B 那么 DCB DCA EAC ADE AED 2 8分 設(shè)AE AD a BD CD y AEC BDC a y 2 3 又 ACD ABC 2 a a y 2 10分 由 解得a y 即三分線長(zhǎng)分別是和 12分 評(píng)析本題考查了學(xué)生的理解能力及動(dòng)手 創(chuàng)新能力 知識(shí)方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角 外角間的關(guān)系及等腰三角形知識(shí) 是一道綜合性比較強(qiáng)的題目 考點(diǎn)2直角三角形 1 2015北京 6 3分 如圖 公路AC BC互相垂直 公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開 若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1 2km 則M C兩點(diǎn)間的距離為 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中點(diǎn) MC AB AM 1 2km 故選D 2 2018福建 15 4分 把兩個(gè)同樣大小的含45 角的三角尺按如圖所示的方式放置 其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A 且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B C D在同一直線上 若AB 則CD 答案 1 解析由題意知 ABC ADE均為等腰直角三角形 且AB AC AE ED 由勾股定理得BC AD 2 過(guò)A作AF BC于F 則FC AF 1 在Rt AFD中 由勾股定理得FD 故CD FD FC 1 3 2017河南 15 3分 如圖 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 1 點(diǎn)M N分別是邊BC AB上的動(dòng)點(diǎn) 沿MN所在的直線折疊 B 使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B 落在邊AC上 若 MB C為直角三角形 則BM的長(zhǎng)為 答案或1 解析在Rt ABC中 A 90 AB AC B C 45 1 當(dāng) MB C 90 時(shí) B MC C 45 設(shè)BM x 則B M B C x 在Rt MB C中 由勾股定理得MC x x x 1 解得x 1 BM 1 2 如圖 當(dāng) B MC 90 時(shí) 點(diǎn)B 與點(diǎn)A重合 此時(shí)BM B M BC 綜上所述 BM的長(zhǎng)為1或 4 2017山西 15 3分 一副三角板按如圖方式擺放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E為AB的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)E作EF CD于點(diǎn)F 若AD 4cm 則EF的長(zhǎng)為cm 答案 解析如圖 連接DE 過(guò)點(diǎn)E作EM BD于點(diǎn)M 設(shè)EF交BD于點(diǎn)N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 點(diǎn)E為AB的中點(diǎn) EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性質(zhì)可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一題多解過(guò)點(diǎn)A作AG CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中點(diǎn) 點(diǎn)F為CG的中點(diǎn) EF AG BC 2 2 cm 5 2014江西 14 3分 在Rt ABC中 A 90 有一個(gè)銳角為60 BC 6 若點(diǎn)P在直線AC上 不與點(diǎn)A C重合 且 ABP 30 則CP的長(zhǎng)為 答案2或4或6 解析圖1中 ABC 60 BC 6 則AB 3 AC 3 又 ABP 30 則AP CP 2或CP 4 圖2中 ACB 60 ABP 30 CBP是等邊三角形 CP CB 6 圖1圖2綜上 CP的長(zhǎng)為2或4或6 解析 1 證明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M為斜邊BD的中點(diǎn) CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 證明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等邊三角形 MEF DEF DEM 30 證法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 證法二 連接AM 則 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N為CM的中點(diǎn) AN CM 又 EM CF AN EM 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 2 由直角三角形中兩銳角互余求出 CBA 由等腰三角形的性質(zhì)可得 MEB MBE MCB MBC 從而可得 CME DME CMD 2 CBM EBM 最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 EMF 3 由 DAE CEM可推出 DEM為等邊三角形 從而可得 MEF 30 下面證AN EM有兩個(gè)思路 一是根據(jù)直角三角形30 角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得 又點(diǎn)N是CM的中點(diǎn) 可推出 從而可證 AFN EFM 進(jìn)一步即可證明AN EM 二是連接AM 計(jì)算可得 AMC ACM 而N是CM的中點(diǎn) 從而AN CM 進(jìn)一步即可證明AN EM 7 2016北京 23 5分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分別為AC CD的中點(diǎn) 連接BM MN BN 1 求證 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的長(zhǎng) 解析 1 證明 在 ABC中 ABC 90 M為AC的中點(diǎn) BM AC N為CD的中點(diǎn) MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 8 2015重慶 25 12分 如圖1 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 點(diǎn)E是 BAC角平分線上一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線 過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線 兩垂線交于點(diǎn)D 連接DB 點(diǎn)F是BD的中點(diǎn) DH AC 垂足為H 連接EF HF 1 如圖1 若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn) AC 2 求AB BD的長(zhǎng) 2 如圖1 求證 HF EF 3 如圖2 連接CF CE 猜想 CEF是不是等邊三角形 若是 請(qǐng)證明 若不是 請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2 解析 1 點(diǎn)H是AC的中點(diǎn) AC 2 AH AC 1分 ACB 90 BAC 60 ABC 30 AB 2AC 4 2分 DA AB DH AC DAB DHA 90 DAH 30 AD 2 3分 在Rt ADB中 DAB 90 BD2 AD2 AB2 BD 2 4分 2 證明 連接AF 如圖1 圖1 F是BD的中點(diǎn) DAB 90 AF DF FDA FAD 5分 DE AE DEA 90 DHA 90 DAH 30 DH AD AE平分 BAC CAE BAC 30 DAE 60 ADE 30 AE AD AE DH 6分 FDA FAD HDA EAD 60 FDA HDA FAD EAD FDH FAE 7分 FDH FAE SAS FH FE 8分 3 CEF是等邊三角形 9分 理由如下 取AB的中點(diǎn)G 連接FG CG 如圖2 圖2 F是BD的中點(diǎn) FG DA FG DA FGA 180 DAG 90 又 AE AD AE FG 在Rt ABC中 ACB 90 點(diǎn)G為AB的中點(diǎn) CG AG 又 CAB 60 GAC為等邊三角形 10分 AC CG ACG AGC 60 FGC 30 FGC EAC FGC EAC SAS 11分 CF CE ACE GCF ECF ECG GCF ECG ACE ACG 60 CEF是等邊三角形 12分 C組教師專用題組 考點(diǎn)1等腰三角形 1 2016河北 16 2分 如圖 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若點(diǎn)M N分別在OA OB上 且 PMN為等邊三角形 則滿足上述條件的 PMN有 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 3個(gè)以上 答案D如圖所示 過(guò)點(diǎn)P分別作OA OB的垂線 垂足分別為C D 連接CD 則 PCD為等邊三角形 在OC DB上分別取M N 使CM DN 則 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 則 PMN為等邊三角形 因?yàn)闈M足CM DN的M N有無(wú)數(shù)個(gè) 所以滿足題意的三角形有無(wú)數(shù)個(gè) 2 2018遼寧沈陽(yáng) 16 3分 如圖 ABC是等邊三角形 AB 點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn) 點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn) 連接BH CH 當(dāng) BHD 60 AHC 90 時(shí) DH 答案 解析延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E 使得HE BH 連接BE CE 疑難突破此類題型中 可根據(jù)等邊三角形 60 這些條件 通過(guò)補(bǔ)全小等邊三角形 構(gòu)造全等三角形 從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化 3 2016徐州 14 3分 若等腰三角形的頂角為120 腰長(zhǎng)為2cm 則它的底邊長(zhǎng)為cm 答案2 解析過(guò)點(diǎn)A作AD BC于點(diǎn)D AB AC BAD BAC 60 BD BC 在Rt ABD中 BD ABsin60 2 cm BC 2BD 2cm 4 2015浙江紹興 13 5分 由于木質(zhì)的衣架沒有柔性 在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作 小敏設(shè)計(jì)了一種衣架 在使用時(shí)能輕易收攏 然后套進(jìn)衣服后松開即可 如圖1 衣架桿OA OB 18cm 若衣架收攏時(shí) AOB 60 如圖2 則此時(shí)A B兩點(diǎn)間的距離是cm 答案18 解析連接AB 因?yàn)镺A OB 18cm AOB 60 所以 AOB是正三角形 故AB 18cm 5 2015福建龍巖 16 3分 我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的腰點(diǎn) 如矩形的對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn) 則正方形的腰點(diǎn)共有個(gè) 答案9 解析如圖 1 連接兩條對(duì)角線 對(duì)角線的交點(diǎn)是正方形的一個(gè)腰點(diǎn) 2 分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心 以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓 除頂點(diǎn)外 共有8個(gè)交點(diǎn) 這8個(gè)點(diǎn)也是腰點(diǎn) 綜上 正方形共有9個(gè)腰點(diǎn) 評(píng)析本題中正方形的邊可以是等腰三角形的腰 也可以是底邊 屬于中等難度題 解析 1 證明 CA CB BN AM CB BN CA AM 即CN CM BC AC MCB ACN CM CN BCM ACN BCM ACN MBC NAC EA ED EAD EDA AG BC GAC ACB 90 ADB DBC ADB NAC ADB EDA NAC EAD 180 90 90 BDE 90 2 或180 3 4或 詳解 2 由E在直線AN上 可知 分兩種情況討論 如圖1 E與N在點(diǎn)A異側(cè) 可得 BDE 180 如圖2 E與N在點(diǎn)A同側(cè) 可得 BDE 圖1 圖2 3 由點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)可知 分兩種情況討論 如圖3 當(dāng)CN MC BC 2時(shí) 由AD BC可得 ADM CBM AD 由EA ED得AN DF 又由 BCM ACN可得AN BM 過(guò)點(diǎn)A作AH BC于H 由勾股定理可得 AN 由 2 知 BDE 120 BDF 60 從而可得 BCM BDF BF CF BF BC 圖3圖4 如圖4 當(dāng)CN BC 時(shí) 與 同法可求得CF 4 思路分析 1 由 邊角邊 可證三角形全等 BDE EDA ADM 由等邊對(duì)等角可得 EAD EDA 由 BCM ACN 可得 CBM CAN 由兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 可得 ADM CBM DAM C 90 而 CAN EAD DAM 180 CAN EAD 90 BDE 90 2 分E與N在點(diǎn)A同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論求解 3 N為BC的三等分點(diǎn) 分類討論BN BC和BN BC兩種情況 易錯(cuò)警示本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于審題 第 2 問(wèn)E在直線AN上 第 3 問(wèn)點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn) 都需要分類討論 7 2016泰州 21 10分 如圖 ABC中 AB AC E在BA的延長(zhǎng)線上 AD平分 CAE 1 求證 AD BC 2 過(guò)點(diǎn)C作CG AD于點(diǎn)F 交AE于點(diǎn)G 若AF 4 求BC的長(zhǎng) 解析 1 證明 AD平分 CAE DAE CAE AB AC B ACB CAE B ACB B CAE B DAE AD BC 2 AD平分 CAE CAF GAF CG AD AFC AFG 90 在 AFC和 AFG中 AFC AFG ASA CF GF CG AD BC AGF BGC BC 2AF 2 4 8 8 2016安徽 23 14分 如圖1 A B分別在射線OM ON上 且 MON為鈍角 現(xiàn)以線段OA OB為斜邊向 MON的外側(cè)作等腰直角三角形 分別是 OAP OBQ 點(diǎn)C D E分別是OA OB AB的中點(diǎn) 1 求證 PCE EDQ 2 延長(zhǎng)PC QD交于點(diǎn)R 如圖2 若 MON 150 求證 ABR為等邊三角形 如圖3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 證明 點(diǎn)C D E分別是OA OB AB的中點(diǎn) DE OC CE OD 四邊形ODEC為平行四邊形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 證明 如圖 連接OR PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR為等邊三角形 9分 如圖 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ為等腰直角三角形 由于 ARB PEQ 所以 ARB 90 于是在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此時(shí)P O B在一條直線上 PAB為直角三角形且 APB為直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 則 14分 9 2015北京 20 5分 如圖 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC于點(diǎn)E 求證 CBE BAD 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 10 2014浙江杭州 18 8分 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E F分別在AB AC上 AE AF BF與CE相交于點(diǎn)P 求證 PB PC 并直接寫出圖中其他相等的線段 解析證明 在 AFB和 AEC中 AF AE A為公共角 AB AC 所以 AFB AEC 所以 ABF ACE 因?yàn)锳B AC 所以 ABC ACB 所以 PBC PCB 所以PB PC 其余相等的線段有 BF CE PE PF BE CF 考點(diǎn)2直角三角形 1 2018內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在四邊形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E為BC的中點(diǎn) AE與BD相交于點(diǎn)F 若BC 4 CBD 30 則DF的長(zhǎng)為 A B C D 答案D如圖 連接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E為BC的中點(diǎn) ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故選D 思路分析根據(jù)題意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 進(jìn)而求得AB 3 由E是BC的中點(diǎn) 得ED BE 進(jìn)而可得DE AB 所以 AFB EFD 進(jìn)而求出DF的長(zhǎng) 解題關(guān)鍵本題考查了含30 角的直角三角形的性質(zhì) 三角形相似的判定和性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是作出Rt BCD斜邊上的中線 2 2015山東聊城 15 3分 如圖 在 ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分線 若AB 6 則點(diǎn)D到AB的距離是 答案 解析 C 90 A 30 AB 6 ABC 60 BC 3 BD平分 ABC CBD ABC 30 點(diǎn)D到AB的距離等于DC 在Rt BDC中 DC tan DBC BC 3 點(diǎn)D到AB的距離等于 3 2016鎮(zhèn)江 26 7分 如果三角形三邊的長(zhǎng)a b c滿足 b 那么我們就把這樣的三角形叫做 勻稱三角形 如 三邊長(zhǎng)分別為1 1 1或3 5 7 的三角形都是 勻稱三角形 1 如圖1 已知兩條線段的長(zhǎng)分別為a c a c 用直尺和圓規(guī)作一個(gè)最短邊 最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)分別為a c的 勻稱三角形 不寫作法 保留作圖痕跡 2 如圖2 ABC中 AB AC 以AB為直徑的 O交BC于點(diǎn)D 過(guò)點(diǎn)D作 O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E 交AC于點(diǎn)F 若 判斷 AEF是不是 勻稱三角形 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 1 作圖 作法一 解題關(guān)鍵本題是一道閱讀理解類型的作圖題 考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形全等 勾股定理以及尺規(guī)作圖等 解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線 找出全等和相似三角形 從而根據(jù)題目中的定義解決問(wèn)題 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 三年模擬 考點(diǎn)1等腰三角形 1 2017連云港一模 7 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)B C在y軸上 ABC是等邊三角形 AB 4 AC與x軸的交點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn) 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 A 1 0 B 2 0 C 2 0 D 0 答案D過(guò)點(diǎn)A作AE OB 如圖 點(diǎn)B C在y軸上 ABC是等邊三角形 AB 4 AE 2 OD AE D為邊AC的中點(diǎn) O為CE的中點(diǎn) OD D 0 故選D 2 2016蘇州模擬 如圖 在四邊形ABCD中 A C 45 ADB ABC 105 1 若AD 2 求AB的長(zhǎng) 2 若AB CD 2 2 求AB的長(zhǎng) 解析 1 過(guò)點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)E 過(guò)點(diǎn)B作BF CD于點(diǎn)F A C 45 ADB ABC 105 ADC 360 A C ABC 360 45 45 105 165 BDF ADC ADB 165 105 60 DBF 30 A 45 DEA 90 EDA 45 A EDA AE DE ADE為等腰直角三角形 又 AD 2 AE DE C 45 BFC 90 FBC 45 ABD ABC CBF DBF 105 45 30 30 BE AB AE BE 2 設(shè)DE x 則AE x BE x BD 2x 由 1 可知 在Rt BDF中 DBF 30 DF BD x BF x CF x AB AE BE x x CD DF CF x x AB CD 2x 2x 2 2 x 1 AB 1 考點(diǎn)2直角三角形 1 2018蘇州高新模擬 10 如圖 ABC中 BAC 90 AB 5 AC 12 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) 將 ABD沿AD翻折得到 AED 連接CE 則線段CE的長(zhǎng)等于 A B 9C D 答案D如圖 連接BE交AD于O 作AH BC于H 在Rt ABC中 AC 12 AB 5 BC 13 CD DB AD DC DB 6 5 BC AH AB AC AH AE AB BO EO AD垂直平分線段BE DE DB DC BCE是直角三角形 AD BO BD AH OB BE 2OB 在Rt BCE中 EC 故選D 解題關(guān)鍵本題考查翻折變換 直角三角形的斜邊中線的性質(zhì) 勾股定理等知識(shí) 解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高 屬于中考?？碱}型 2 2018南通通州一模 16 如圖 在Rt ABC中 C 90 點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn) 點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 若AC 6 BC 8 則DE長(zhǎng)度的取值范圍是 答案3 DE 5 解析在Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 AB 10 當(dāng)DE BC時(shí) DE AC 3 此時(shí)DE取得最小值 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí) DE DC AB 5 此時(shí)DE取得最大值 3 DE 5 解題關(guān)鍵本題考查直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì) 找到端點(diǎn)值是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵 3 2018鎮(zhèn)江一模 11 在Rt ABC中 AD是BC邊上的中線 G是 ABC的重心 如果BC 6 那么線段AG的長(zhǎng)為 答案2 解析 AD是斜邊BC邊上的中線 AD BC 6 3 G是 ABC的重心 2 AG AD 3 2 考查要點(diǎn)本題考查了三角形的重心的定義及性質(zhì) 三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn) 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2 1 也考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì) B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 8分鐘分值 10分 一 填空題 共3分 1 2017南京一模 13 如圖 在 ABC中 AD DB BC 若 C n 則 ABC 度 用含n的代數(shù)式表示 答案 解析 C n DB BC BDC C n DBC 180 2n AD DB ABD n ABC 180 2n n 二 解答題 共7分 2 2018南京鼓樓一模 24 如圖 ABC中 AD BC 垂足是D 小莉說(shuō) 當(dāng)AB BD AC CD時(shí) ABC是等腰三角形 她的說(shuō)法正確嗎 如果正確 請(qǐng)證明 如果不正確 請(qǐng)舉反例說(shuō)明 解析小莉說(shuō)法正確 證明 如圖 延長(zhǎng)CB至E 使AB EB 延長(zhǎng)BC至F 使AC FC 連接AE AF 則 E EAB F FAC AB BD AC CD DE DF AD BC ADE ADF 90 DE DF ADE ADF 90 AD AD ADE ADF SAS E F E EAB F FAC ABC ACB AB AC ABC是等腰三角形 解題關(guān)鍵本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì) 等腰三角形的判定等知識(shí) 添加構(gòu)造全等三角形的輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵