《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章§5.1第一與第二可數(shù)性公理

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1、 第5章有關(guān)可數(shù)性的公理 § 5.1 第一與第二可數(shù)性公理 本節(jié)重點(diǎn): 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系; 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、 有限可積性、可遺傳性 等問題; 掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì); 掌握常見的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間 ,哪些是第二可數(shù)性公理空間. 從§ 2.6節(jié)的討論可知,基和鄰域基對(duì)于確定拓?fù)淇臻g的拓?fù)浜万?yàn)證映射的連續(xù)性都有 著重要的意義,它們的元素的“個(gè)數(shù)”越少,討論起來越是方便.因此我們?cè)噲D對(duì)拓?fù)淇臻g 的基或鄰域基的元素“個(gè)數(shù)”加以限制, 但又希望加了限制的拓

2、撲空間仍能包容絕大多數(shù)常 見的拓?fù)淇臻g,如:歐氏空間、度量空間等.以下的討論表明,將基或鄰域基的元素的“個(gè) 數(shù)”限定為可數(shù)是恰當(dāng)?shù)? 某拓?fù)淇臻g的一個(gè)基或在某一點(diǎn)處的一個(gè)鄰域基, 如果是一個(gè)可數(shù)族, 我們則分別稱之 為一個(gè)可數(shù)基和一個(gè)可數(shù)鄰域基. 定義一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基, 則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù) 性公理的空間,或簡(jiǎn)稱為 V空間. 定理實(shí)數(shù)空間R滿足第二可數(shù)性公理 證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個(gè)端點(diǎn)的開區(qū)間構(gòu)成的族?顯然 B是一個(gè)可數(shù)族. ■ F 設(shè)U是R中的一個(gè)開集,對(duì)于每一個(gè)x€ U,存在實(shí)數(shù) ?>0,使得以x為中心以?為半 徑的球形鄰域 B (

3、x, ) =(x- ■ ,x+ ) _ U 選取有理數(shù) 使得:扛丄 于是我們有 ?這也就是說 U可以表示為B中某些成 員之并?這證明了 B是R的一個(gè)基. R有可數(shù)基B,所以R滿足第二可數(shù)性公理. 由于離散空間中的每一個(gè)單點(diǎn)子集都是開集, 而一個(gè)單點(diǎn)集不能表為異于自身的非空集 合的并,因此離散空間的每一個(gè)基必定包含著它的所有單點(diǎn)子集. 所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn) 的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間. 定義一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基, 則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g 是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡(jiǎn)稱為 :空間. 定理每一個(gè)度量空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明

4、設(shè)X是一個(gè)度量空間,x€X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成 x 處的一個(gè)可數(shù)鄰域基. 例不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子. 設(shè)X是包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間. 我們證明X在它的任一點(diǎn)處都沒有可數(shù)鄰域 基?因此X不滿足第一可數(shù)性公理. 用反證法來證明這一點(diǎn).設(shè)X在點(diǎn)x€X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基 則對(duì)于任何y€ X,y豐x, ■匚八"…八\ ■工,,因此.一':,將這個(gè)包含關(guān)系式的兩邊分別 對(duì)于X中所有的異于x的點(diǎn)求并,可見 ' 由于X是一個(gè)不可數(shù)集,因此上式的左邊是一個(gè)不可數(shù)集; 由于“中只有可數(shù)個(gè)元素, 并且每一個(gè)元素的補(bǔ)集都是可數(shù)集,因此上式的右邊是一個(gè)可數(shù)集.矛

5、盾. 定理每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間, B是它的一個(gè)可數(shù)基.對(duì)于每一個(gè)x€ X, 根據(jù)定理, D E ={B € Bx € B} 是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基,它是B的一個(gè)子族所以是可數(shù)族. 于是X在點(diǎn)x處有可數(shù)鄰域 基B. 定理,而前面已經(jīng)說過包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理. 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,f:X -Y是一個(gè)滿的連續(xù)開映射. 如果X滿 足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理),則 Y也滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可 數(shù)性公理).(這是關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì) ) 證明 設(shè)X滿足

6、第二可數(shù)性公理,,一是它的一個(gè)可數(shù)基?由于 f是一個(gè)開映射, J ={f(B)|B € ■ _}是由Y中開集構(gòu)成的一個(gè)可數(shù)族.只需證明 J是Y的一個(gè)基.設(shè)U是Y中 的一個(gè)開集,則」'(U)是X中的一個(gè)開集.因此存在 由于f是一個(gè)滿射,我們有 即U是 Bo中某些元素的并.這完成 Bq是 Y的一個(gè)基的證明. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似,請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理,拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可數(shù)性公理的性質(zhì)都是拓?fù)洳蛔冃?質(zhì). 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為可遺傳性質(zhì), 如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一 個(gè)子空間也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如離散性,平庸性都是

7、可遺傳的性質(zhì),但連通性卻明顯是不可遺傳的. 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為對(duì)于開子空間 (或閉子空間)可遺傳的性質(zhì),如果一個(gè)拓?fù)淇? 間具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一個(gè)開子空間(閉于空間)也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如,局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì), 但對(duì)于開子空間卻是可遺傳的. (參見§ 4.4 習(xí)題第3題)將來我們會(huì)接觸到一些對(duì)閉子空間可遺傳的性質(zhì). 緊接著的兩個(gè)定理表明拓?fù)淇臻g滿足第一 (或第二)可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的, 也 是有限可積的. 定理滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理)的空間的任何一個(gè)子空 間是滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理)的空間. 證明 設(shè)X是一個(gè)滿足第二

8、可數(shù)性公理的空間, B是它的一個(gè)可數(shù)基.如果 Y是X的一 個(gè)子集,根據(jù)定理 ,集族- I ={BA Y|B€ B}是子空間丫的一個(gè)基,它明顯是可數(shù)族. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似,請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 定理設(shè)■--J是n個(gè)滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理) 的空間?則積空間 -< -―:滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理). 證明 我們只要證明n = 2的情形. 設(shè) 都是滿足第二可數(shù)性公理的空間, 月1,^2分別是它們的可數(shù)基?根據(jù)定理 3. 2 ? 4,集族 是積空間■- j的一個(gè)基,它明顯是一個(gè)可數(shù)族. 本定理當(dāng)n=2時(shí)關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證

9、明類似,請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理,定理,我們立即可知:(事實(shí)上,這個(gè)推論也容易直接證明(參見習(xí) 題 1).) 推論維歐氏空間'、的每一個(gè)子空間都滿足第二可數(shù)性公理. 本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì). 讀者將會(huì)看到在這 種拓?fù)淇臻g中序列的性質(zhì)與我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中見到過的有著較多的類似之處,特別是定理 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果在 x€X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基,則在點(diǎn) x 處有一個(gè)可數(shù)鄰域基 ■-使得對(duì)于任何i €有 即 證明 設(shè)「:}是點(diǎn)x €X處的一個(gè)可數(shù)鄰域基?對(duì)于每一個(gè) i € ' ?,令 容易直接驗(yàn)證 ■' 便是點(diǎn)x處的滿足定理要求的一個(gè)可數(shù)鄰

10、域基. (即、:?是個(gè)鄰域基套,一個(gè)套一個(gè)的?這個(gè)定理常用來選取趨向于 x的序列中的 點(diǎn)?) 定理設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間, A —X.則點(diǎn)x€X是集合A 的一個(gè)凝聚點(diǎn)的充分必要條件是在集合 A— {x}中有一個(gè)序列收斂于 x ? 證明 定理的充分性部分的證明已見于第二章定理 ,以下完成必要性部分的證 明. 設(shè)x€X是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn),并且根據(jù)定理 ,滿足條件:對(duì)于每一個(gè),i € ;., 由于-「二';L ' ,可選取■:--:'上:,.序列「;}是在 A一{x} 中的.我們證明lim ; =x(x )如下: 如果U是x的一個(gè)鄰域,則由于 -■- > :.是x

11、處的一個(gè)鄰域基套,所以存在 N>0使得 .于是當(dāng)i時(shí),我們有 定理 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,其中X滿足第一可數(shù)性公理;x € X.則映射f:X fY 在點(diǎn)x€X處連續(xù)的充分必要條件是:如果X中的序列{ :}收斂于X,則Y中的序列{f( : )} 收斂于f(x). 證明 定理的必要性部分的證明已見于定理 ,以下完成充分性部分的證明. 假設(shè)定理中陳述的條件成立,我們要證明映射 f:X fY在點(diǎn)x處連續(xù)?用反證法?假設(shè) 映射f在點(diǎn)x處不連續(xù),這也就是說 f(x)有一個(gè)鄰域V,使得「(V)不是x的鄰域.而這 又意味著,x的任何一個(gè)鄰域 U都不能包含在「' (V)中,即對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域

12、 U,包 含關(guān)系不成立,也就是說 丿n 忑 總括上一段的論證可見: f (x)有一個(gè)鄰域 V使得對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域 U有 /(!7)nr^0 現(xiàn)在設(shè) 是點(diǎn)x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基, 滿足條件:對(duì)于每一個(gè) J 一 -:-.選取":-■:使得 f( :) € f(U) n /',即」」汀 ?明顯地,序列{ :} 收斂于x.然而序列{f( ;)}在f (x)的鄰域V中卻沒有任何一個(gè)點(diǎn),所以不收斂于f (x) ?這 與反證假設(shè)矛盾?因此反證假設(shè)不成立,所以映射 f在點(diǎn)x處連續(xù). 定理 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,其中X滿足第一可數(shù)性公理. 則映射f:X fY是 I. 一個(gè)連續(xù)映射的充分必要條件是:如果 X中的序列{ ;}收斂于x€ X,貝V Y中的序列 X, {f( ;)}收斂于 f (x). 證明 這是因?yàn)橐粋€(gè)映射是一個(gè)連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)映射在它的定義域的每一個(gè)點(diǎn) 處連續(xù)?(參見定理 作業(yè): P139 1. 6 .

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