新編數(shù)學(xué)人教A版必修4 第二章　平面向量 單元測試2 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 (時(shí)間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的) 1.＋－＋化簡后等于(　　) A．3　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B.原式＝(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝0＝，故選B. 2．已知i＝(1，0)，j＝(0，1)，則與2i＋3j垂直的向量是(　　) A．3i＋2j B．－2i＋3j C．－3i＋2j D．2i－3j 解析：選C.2i＋3j＝(2，3)，C中－3i＋2j＝(－3，2)．因?yàn)?×(－3)＋3×2＝0，所以2i＋3j與－3i＋

2、2j垂直． 3．下列說法正確的是(　　) A．兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為1 B．若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c C.＝－ D．若b⊥c，則(a＋c)·b＝a·b 解析：選D.A中，兩向量的夾角不確定，故A錯(cuò)；B中，若a⊥b，a⊥c，b與c反方向，則不成立，故B錯(cuò)；C中，應(yīng)為＝－，故C錯(cuò)；D中，因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正確． 4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：選D.因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3

3、，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，由于a＋b與4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2. 5．已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 解析：選B.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，選B. 6．已知向量a＝(3，4)，b＝(－3，1)，a與b的夾角為θ，則tan θ等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：選D.由題意，得a·b＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a|＝5，|b|＝，

4、 則cos θ＝＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝， ∴tan θ＝＝－3. 7．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　) A．(2，) B．(2，－) C．(3，2) D．(1，3) 解析：選A.設(shè)D(x，y)， 則＝(4，3)，＝(x，y－2)．又＝2， 故解得 8．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力的大小為20 N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力的大小為(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D. N 解析：選B.對(duì)于兩個(gè)大小相等的

5、共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°，合力的大小為20 N時(shí)，由三角形法則可知，這兩個(gè)力的大小都是10 N；當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為10 N. 9．A，B，C，D為平面上四個(gè)互異點(diǎn)，且滿足(＋－2)·(－)＝0，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 解析：選B.∵(＋－2)·(－) ＝(－＋－)·(－) ＝(＋)·(－)＝2－2＝0， ∴||＝||，∴△ABC為等腰三角形． 10．在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)在同一直線上的等價(jià)

6、條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此時(shí)稱實(shí)數(shù)λ為“向量關(guān)于和的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”．若已知P1(3，1)，P2(－1，3)，且向量與向量a＝(1，1)垂直，則“向量關(guān)于和的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：選D.設(shè)＝(x，y)，則由⊥a知x＋y＝0， 于是＝(x，－x)， 設(shè)＝λ＋(1－λ)， (x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1. 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．已知點(diǎn)A(－1，－5)，a＝(2，3)，若＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．

7、 解析：設(shè)B(x，y)，(x＋1，y＋5)＝3(2，3)， 解得 答案：(5，4) 12．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2.若以a，b為基底表示向量e1＋2e2，即e1＋2e2＝λa＋μb，則λ＋μ＝________． 解析：由a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2， 得e1＝a＋b，e2＝a－b， ∴e1＋2e2＝a－b，即λ＋μ＝－＝. 答案： 13．向量a＝(1，2)，b＝(－1，m)，向量a，b在直線y＝x＋1上的投影相等，則向量b＝________． 解析：直線y＝x＋1的方向向量為c＝(1，1)，則可知＝，則a·c＝b·c，所以

8、1＋2＝－1＋m，解得m＝4，所以b＝(－1，4)． 答案：(－1，4) 14. 如圖所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則·的最大值是________． 解析：∵·＝||·||·cos∠BAN，||·cos∠BAN表示在方向上的投影．又||＝2，∴·的最大值是4. 答案：4 15．設(shè)向量a，b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為________． 解析：由題意可知該三角形為直角三角形，其內(nèi)切圓半徑恰好為1，它與半徑為1的圓最多有4個(gè)交點(diǎn)． 答案：4

9、 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影． 解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6. ∴|a＋b|＝＝＝. (2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10. ∴向量a在向量a＋b方向上的投影為＝＝. 17．已知向量a與b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝. (1)當(dāng)a∥b時(shí)，求

10、(a－b)·(a＋2b)的值； (2)當(dāng)θ＝時(shí)，求|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)的值； (3)定義ab＝|a|2－a·b，若ab≥7，求θ的取值范圍． 解：(1)∵a∥b，∴cos θ＝±1. ∴(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2 ＝－2＋2cos θ＝－2±2. (2)∵|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝16－4×2××cos ＋3＝31，∴|2a－b|＝， 又(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝1， ∴|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)＝＋1. (3)∵ab＝|a|2－a·b＝4－×2×cos θ≥7， ∴cos

11、θ≤－， 又θ∈[0，π]，∴θ∈[，π]． 18．在△OAB的邊OA，OB上分別有一點(diǎn)P，Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，連接AQ，BP，設(shè)它們交于點(diǎn)R，若＝a，＝b. (1)用a與b表示； (2)若|a|＝1，|b|＝2，a與b夾角為60°，過R作RH⊥AB交AB于點(diǎn)H，用a，b表示. 解：(1)＝＝a，＝b， 由A，R，Q三點(diǎn)共線，可設(shè)＝m. 故＝＋＝a＋m＝a＋m(－) ＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb. 同理，由B，R，P三點(diǎn)共線，可設(shè)＝n. 故＝＋＝b＋n(－)＝a＋(1－n)b. 由于a與b不共線，則有解得 ∴＝a＋b. (2)由A

12、，H，B三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ， 則＝λa＋(1－λ)b， ＝－＝(λ－)a＋(－λ)b. 又⊥，∴·＝0. ∴[(λ－)a＋(－λ)b]·(b－a)＝0. 又∵a·b＝|a||b|cos 60°＝1， ∴λ＝，∴＝a＋b. 19．已知a＝(2＋sin x，1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)． (1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值； (2)若函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最小值； (3)是否存在實(shí)數(shù)k和x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)∵b＋c＝(sin

13、 x－1，－1)，又a∥(b＋c)， ∴－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－. 又x∈[－，]，∴x＝－. (2)∵a＝(2＋sin x，1)，b＝(2，－2)， ∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2. 又x∈R， ∴當(dāng)sin x＝－1時(shí)，f(x)有最小值，且最小值為0. (3)a＋d＝(3＋sin x，1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)， 若(a＋d)⊥(b＋c)，則(a＋d)·(b＋c)＝0， 即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0， ∴k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5. 由

14、sin x∈[－1，1]，得sin x＋1∈[0，2]， ∴(sin x＋1)2∈[0，4]， 故k∈[－5，－1]． ∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)． 20．在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點(diǎn)． (1)求點(diǎn)C(s，t)； (2)設(shè)點(diǎn)C(s，t)是第一象限的點(diǎn)，若＝－m，m∈R，則m為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二象限？ 解：(1)由已知得⊥，∴·＝0. ∵＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， ＝(s，t)－(2，3)＝(s－2，t－3)， ∴(1，2)·(s－2，t－3)＝0，即s＋2t－8＝0.① 又||＝||，即＝， 即s2＋t2－4s－6t＋8＝0.② 將①代入②消去s，得t2－6t＋8＝0.解得t＝2或4， 相應(yīng)的s＝4或0，所以點(diǎn)C為(0，4)或(4，2)． (2)由題意取C(4，2)，∴＝(x－1，y－1)， －m＝(1，2)－m(3，1)＝(1－3m，2－m)． ∵＝－m， ∴ ∴ 若點(diǎn)P在第二象限，則解得