《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第五章特征值與特征向量.ppt

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幾何與代數(shù) 主講 關(guān)秀翠 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 東南大學(xué)線性代數(shù)課程 教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配 第五章特征值與特征向量 5 2相似矩陣 一 相似矩陣 可逆陣P s t P 1AP B 相似是相抵的特例 相似必相抵 反之不然 相似是一等價(jià)關(guān)系 A B 則 多項(xiàng)式f x f A f B 相似則特征多項(xiàng)式相同 但反之不然 不變量為特征值 跡 行列式 秩 相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為 diag 1 2 n 注 不變量都只是必要條件 而非充要條件 若A B都可相似對(duì)角化 且特征多項(xiàng)式相同 則A B相似 tr f A tr f B f A f B r f A r f B 5 2相似矩陣 二 方陣的相似對(duì)角化 一 相似矩陣的定義 可逆陣P s t P 1AP B 相似是相抵的特例 相似必相抵 反之不然 相似是一等價(jià)關(guān)系 不變量為特征值 跡 行列式 秩 相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為 diag 1 2 n n階方陣A A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 n階方陣A 復(fù) r iE A n ni A有n個(gè)不同的特征值 A P 1AP diag 1 n A屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量仍線性無(wú)關(guān) 問(wèn)題 是否有一類(lèi)特殊矩陣必可與對(duì)角陣相似 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 一 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì) 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 二 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化 通常 實(shí)矩陣的特征值不一定是實(shí)數(shù) 比如 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值均為實(shí)數(shù) 第五章特征值與特征向量 1 復(fù)矩陣的共軛矩陣 設(shè)A aij m n aij C A的共軛矩陣 共軛運(yùn)算的性質(zhì) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 一 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì) 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 性質(zhì)5 1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù) 證明 一 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì) a1 an T Cn 則存在非零復(fù)向量 設(shè)復(fù)數(shù) 為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的特征值 滿足A 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 性質(zhì)5 1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù) 一 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì) 滿足A E A x 有實(shí)的基礎(chǔ)解系 A對(duì)應(yīng)于 有實(shí)的特征向量 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 此外 1TA 2 1TAT 2 A 1 T 2 1 1T 2 于是 1 2 1T 2 0 從而 1TA 2 1T 2 2 2 1T 2 證明 設(shè) 1 2 1 2 s t A 1 1 1 A 2 2 2 但是 1 2 故 1T 2 0 Th5 4 A對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān) 性質(zhì)5 2 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交 即 0 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 定理5 7 對(duì)于任意n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A 存在正交矩陣Q 使得Q 1AQ QTAQ diag 1 2 n 其中 1 2 n為A的全部特征值 Q q1 q2 qn 的列向量組是A的對(duì)應(yīng)于 1 2 n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組 二 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化 推論 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的ni重特征值都有ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 再由施密特正交化方法知 必有ni個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 求 E A 0的根 得到所有特征值 1 2 s 注 特征向量要與特征值的順序相對(duì)應(yīng) 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交相似對(duì)角化 則Q 1AQ QTAQ diag 1 1 s s 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 例1 把 正交相似對(duì)角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 將 2 3正交化 4E A x 0的基礎(chǔ)解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值為 1 2 2 3 4 2E A x 0的基礎(chǔ)解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 解 所以A的特征值為 1 2 2 3 4 2E A x 0的基礎(chǔ)解系 1 1 1 2 T 4E A x 0的基礎(chǔ)解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T 取 2 2 將 2 3正交化 再單位化 即得 例1 把 正交相似對(duì)角化 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 例1 把 正交相似對(duì)角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 將 2 3正交化 4E A x 0的基礎(chǔ)解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值為 1 2 2 3 4 2E A x 0的基礎(chǔ)解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 一個(gè)非零解為 2 0 1 1 2 T 設(shè)另一解為 3 2 3 5 1 2 T 再單位化 Q不唯一 例1 把 正交相似對(duì)角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 將 2 3正交化 4E A x 0的基礎(chǔ)解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值為 1 2 2 3 4 2E A x 0的基礎(chǔ)解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 一個(gè)非零解為 2 0 1 1 2 T 設(shè)另一解為 3 2 3 5 1 2 T 再單位化 Q不唯一 正交特征向量組的幾何含義 1垂直于 2 3所在平面 2 3為平面上任意兩個(gè)垂直的向量 求 E A 0的根 得到所有特征值 1 2 s 注 特征向量要與特征值的順序相對(duì)應(yīng) 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交相似對(duì)角化 則Q 1AQ QTAQ diag 1 1 s s 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 解 令 1 2為對(duì)應(yīng)于 1兩個(gè)正交的特征向量 將正交向量組 1 2 3單位化得正交矩陣 因?yàn)?1 2都與 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 0 1 1 T 2 4 1 1 T 基礎(chǔ)解系為 由QTAQ Q 1AQ 可得A Q QT 對(duì)稱(chēng) 正交相似對(duì)角化 1 0 1 1 T 2 4 1 1 T 基礎(chǔ)解系為 由P 1AP 得A P P 1 A 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 解 令 1 2為對(duì)應(yīng)于 1兩個(gè)正交的特征向量 因?yàn)?1 2都與 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 相似對(duì)角化 基礎(chǔ)解系為 由P 1AP 得A P P 1 P不唯一A唯一 A 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 解 令 1 2為對(duì)應(yīng) 1兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 因?yàn)?1 2都與 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 2 1 0 T 2 2 0 1 T 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 將正交向量組 1 2 3單位化得正交矩陣 因?yàn)?1 2都與 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 2 1 2 T 2 2 2 1 T 基礎(chǔ)解系為 由QTAQ Q 1AQ 可得A Q QT Q不唯一A唯一 解 令 1 2為對(duì)應(yīng) 1兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 此時(shí)A唯一 若已知 1 2 1 2 T是對(duì)應(yīng)于 1的特征向量 能否唯一求出A呢 1 2可取為 3垂面上任意兩個(gè)l i 垂直 的向量 2 3可取為 1垂面上任意兩個(gè)l i 垂直 的向量 但無(wú)法確定 2 3中哪個(gè)是對(duì)應(yīng)于 1的特征向量 哪個(gè)是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 發(fā)散思維 變換問(wèn)題的條件 否 例2 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 1 2 10 且 3 1 2 2 T是對(duì)應(yīng)于 10的特征向量 求A 若已知 1 2 1 2 T是對(duì)應(yīng)于 1的特征向量 能否唯一求出A呢 比如取 2 2 2 1 T 3 1 2 2 T 分別對(duì)應(yīng)于1 10 則A 比如取 2 2 2 1 T 3 1 2 2 T 分別對(duì)應(yīng)于10 1 則A 否 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值均為實(shí)數(shù) 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交 Th5 7任意n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣總可以正交相似對(duì)角化 存在正交陣Q 使得Q 1AQ diag 1 2 n 其中Q q1 q2 qn 的列向量組是A的對(duì)應(yīng)于特征值 1 2 n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組 正交特征向量 1 l i 特征向量再由Schmidt正交化法正交 2 由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特量 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的反問(wèn)題 Q 1AQ QTAQ A Q QT Q Q 1 P 1AP A P P 1 無(wú)需正交標(biāo)準(zhǔn)化 但需求逆 正交標(biāo)準(zhǔn)化 但不需求逆 f f A Qf QT 關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的反問(wèn)題 Q 1AQ QTAQ A Q QT Q Q 1 不是任一個(gè)方陣A都可以相似對(duì)角化 只有當(dāng)A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可正交相似對(duì)角化 也可以相似對(duì)角化 若實(shí)方陣A可以正交相似對(duì)角化 則A必是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 AT Q QT T Q TQT Q QT A一般方陣若能相似對(duì)角化 不一定能正交相似對(duì)角化 只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化 P 1AP A P P 1 無(wú)需正交標(biāo)準(zhǔn)化 但需求逆 正交標(biāo)準(zhǔn)化 但不需求逆 f f A Qf QT 例3 A 可以相似對(duì)角化但不能正交相似對(duì)角化 解 易知A的特征值為 1 1 2 1 A對(duì)應(yīng)于 1 1的特征向量為 1 k1 1 0 T k1 0 110 1 A對(duì)應(yīng)于 2 1的特征向量為 2 k2 1 2 T k2 0 k1 k2 0 k1k2 0 若將 1 2正交化 得 1 1 0 T 2 0 2 T 但這里的 2 0 2 T已經(jīng)不再是 2 1的特征向量 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 k1 k2 0 1 2都只是線性無(wú)關(guān) 而不會(huì)正交 解 2 若A B是一般方陣 特征多項(xiàng)式相同 不一定相似也不一定正交相似 比如 因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A B的特征多項(xiàng)式相同 所以它們的特征值相同 A B都與 diag 1 n 相似并且正交相似 事實(shí)上存在Q1 Q2正交 使得 正交 所以A B正交相似 例4 若A B是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 E A E B A B是否相似 是否正交相似 也是等價(jià)關(guān)系 若A B是一般實(shí)方陣呢 等價(jià)關(guān)系匯總 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 實(shí)對(duì)稱(chēng) 相抵標(biāo)準(zhǔn)形 為初等陣 i為特征值 秩 特征值 跡 行列式 秩 若A可相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 解法3 所以A的全部特征值為0 n 1重根 例5 設(shè) 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A可正交相似對(duì)角化 即存在正交陣Q和對(duì)角陣 0 使得 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 因?yàn)锳的全部特征值為0 n 1重根 例5 設(shè) 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 并求 E A3 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 所以E A3的特征值為1 n 1重根 解 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量 例5 設(shè) 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 并求 E A3 A與 相似 f f A 與f 相似 解2 因?yàn)榇嬖谡魂嘠和對(duì)角陣 使得 5 3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化 第五章特征值與特征向量