西北工業(yè)大學高數(shù)(上)期中考試試題及答案.doc

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誠信保證 本人知曉我?？紙鲆?guī)則和違紀處分條例的有關規(guī)定，保證遵守考場規(guī)則，誠實做人。 本人簽字： 編號： 成績 　　　 　西北工業(yè)大學考試試題（卷） 2005-2006學年第一學期期中 開課學院 理學院 課程 高等數(shù)學(上) 學時 90 考試日期 2005/11/17　 考試時間　 2 　小時 考試形式（閉）（）卷 一、填空題(每小題4分, 共32分)答案寫在答題紙上, 寫在題后無效 1.設, , 且, 則. 2.. 3.已知, 則,. 4.設, 則. 5.若, 則. 6.設函數(shù)由方程確定, 則. 7.設函數(shù), 則. 8. 設周期函數(shù)在內可導, 周期為, 又, 則曲線在點處的切線斜率為. 注：1. 命題紙上一般不留答題位置，試題請用小四、宋體打印且不出框。 　　2. 命題教師和審題教師姓名應在試卷存檔時填寫。 　　　　共7頁　第 1頁 西北工業(yè)大學命題專用紙 二、選擇題 (每小題4分, 共32分) 答案寫在答題紙上, 寫在題后無效 1. 下列結論正確的是( ) (A).有界數(shù)列必定收斂; (B).無界數(shù)列必定發(fā)散; (C).發(fā)散數(shù)列必定無界; (D).單調數(shù)列必有極限. 2.設函數(shù), 則( ) (A)., 都是的第一類間斷點; (B)., 都是的第二類間斷點; (C).是的第一類間斷點, 是的第二類間斷點; (D).是的第二類間斷點, 是的第一類間斷點. 3., , , 則當時, 比是( ) (A).高階無窮小; (B).同階無窮小, 但不是等價無窮小; (C).等價無窮小; (D).低階無窮小. 4., 存在是在處可導的( ) (A).充分必要條件; (B).必要非充分條件; (C).充分非必要條件; (D).既非充分又非必要條件. 5.下圖給出了的圖形, 設有以下結論: ①.是的單調區(qū)間; ②.是的單調區(qū)間; ③., , , 是的極值點; ④., , , 是曲線的拐點橫坐標. 則以上結論正確的是( ) (A). ①、②; (B). ②、③; (C). ③、④; (D). ①、④. 教務處印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　共 7頁　　第 2頁 西北工業(yè)大學命題專用紙 6．設, 則方程的根的個數(shù)為( ) (A).1; (B).2; (C).3; (D).不能確定. 7.設, , 為可導函數(shù),, 則( ) (A).; (B).; (C).; (D).. 8.為過原點的一條曲線, 且, 存在, 又知有一條拋物線 與曲線在原點相交, 在該點有相同的切線和曲率, 且在該點鄰近此兩曲線 有相同的凹向, 則拋物線為( ) (A).; (B).; (C).; (D).. 教務處印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　共 7頁　　第 3頁 答題紙 考生班級 學　號 姓　名 題號 一 二 三 四 五 六 總分 得分 一、填空題(每小題4分, 共32分) 1．______________________ 2．______________________ 3．______________________ 4．______________________ 5．______________________ 6．______________________ 7．______________________ 8．______________________ 二、選擇題(每小題4分, 共32分) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、計算(6分2=12分) 1. 求極限 ; 教務處印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　共7頁　　第 4頁 答題紙 2. 設 求. 四、(8分) 設 (1) 為何值時, 在處可導? (2) 若另有在處可導, 討論在處的可導性. 教務處印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　共 7頁　　第 5頁 答題紙 五、(8分) 在圓弧上找一點, 使該點的切線與圓弧及兩坐標 軸所圍成的圖形的面積最小,并求最小面積. 教務處印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　共 7頁　　第 6頁 答題紙 六、(8分) 設在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內可導, , , 證明: (1) 存在, 使得; (2) 對任意的, 必存在, 使得; (3) 在上的最大值大于. 高等數(shù)學05-06學年第一學期期中考試試卷評分標準 一、填空題(每小題4分, 共32分) 1. ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. . 二、選擇題(每小題4分, 共32分) 1. ( B ) ; 2. ( D ) ; 3. ( C ) ; 4. ( B ) ; 5. ( D ) ; 6. ( B ) ; 7. ( B ) ; 8. ( C ). 三、計算(6分2=12分) 1. 求極限 ; 解 .............................1分 ..............................2分 ...........................4分 ....................5分 ................................................6分 2. 設 求. 解 ...................................2分 .........................................4分 .....................................6分 四、(8分) 設 (1) 為何值時, 在處可導? (2) 若另有在處可導, 討論在處的可導性. 解 (1) , , , 在處可導, 則必連續(xù), 故 即...................................2分 又 , , 要使在處可導,必有 .......................................3分 即當,時, 在處可導, 且; (2) ...................................4分 ........................7分 ........8分 故在處可導. 五、(8分) 在圓弧上找一點, 使該點的切線與圓弧及兩坐標 軸所圍成的圖形的面積最小,并求最小面積. 解 設切點坐標為, 切線方程為 ...........................2分 令, 有, 令, 有,.............................3分 目標函數(shù)為 .............................5分 由, 得唯一駐點.............................7分 由于駐點唯一, 依實際意義, 當時, 最小面積...........8分 六、(8分) 設在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內可導, , , 證明: (1) 存在, 使得; (2) 對任意的, 必存在, 使得; (3) 在上的最大值大于. 證明 (1)作 , ...............................1分 , 又, 故, , 故 .............................................2分 由于在上連續(xù), 且, 由零點定理, 在內至少存在一點, 使, 即 ............................3分 (2) 作 ,...........................4分 由于在上連續(xù), 在內可導, 由拉格朗日中值定理, 在內至少存在一點, 使得 , .........................5分 即 ........................6分 (3) 由極限的局部保號性, , , , 故 ,.........................7分 又 在閉區(qū)間上連續(xù), 一定存在最大值, 故..............8分