高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;7 第1課時(shí) 正切函數(shù)的定義 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含答案

《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;7 第1課時(shí) 正切函數(shù)的定義 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;7 第1課時(shí) 正切函數(shù)的定義 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含答案（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1課時(shí)　正切函數(shù)的定義　正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) [核心必知] 1．正切函數(shù) (1)定義：如果角α滿足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a，b)，唯一確定比值.根據(jù)函數(shù)的定義，比值是角α的函數(shù)，我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z. (2)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：＝tan_x． (3)三角函數(shù)：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)． (4)正切值在各象限內(nèi)的符號(hào)如圖． 2．正切線 單位圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線AT，與角

2、α的終邊或其反向延長線交于點(diǎn)T.則稱線段AT為角α的正切線．當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，角α的正切線不存在． 3．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 　　函數(shù) 性質(zhì)　　 y＝tan x 圖像 續(xù)表 　　函數(shù) 性質(zhì)　　 y＝tan x 定義域 {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 R 周期性 最小正周期為T＝π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的 對(duì)稱性 圖像的對(duì)稱中心(，0)k∈Z [問題思考] 1．你能描述正切曲線的特征嗎？ 提示：正切曲線是被互相平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)所隔開的無窮多支曲線組成的，是間斷的，它沒有

3、對(duì)稱軸，只有對(duì)稱中心． 2．正切曲線在整個(gè)定義域上都是增加的嗎？ 提示：不是．正切函數(shù)定義域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，正切曲線在每一個(gè)開區(qū)間(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的，它是周期函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是增加的． 3．函數(shù)y＝|tan x|的周期是嗎？ 提示：不是．y＝|tan x|的周期仍為π. 講一講 1．已知tan α＝2，利用三角函數(shù)的定義求sin α和cos α. [嘗試解答]　在α的終邊上取一點(diǎn)P(a，2a)且a≠0， 則有x＝a，y＝2a，r＝＝|a|. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 當(dāng)α在第一象限時(shí)，a>0，則

4、r＝a. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. 當(dāng)α在第三象限時(shí)，a<0，則r＝－a. ∴sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. 1．若P(x，y)是角α終邊上任一點(diǎn)，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，其中r＝. 2．當(dāng)角α的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． 練一練 1．角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－b，4)且cos α＝－，求tan α的值． 解：由已知可知點(diǎn)P在第二象限，∴b＞0. ∵cos α＝－，∴－＝－，解得b＝3， tan α＝－. 講一講 2．畫出函數(shù)y＝|tan

5、 x|的圖像，并根據(jù)圖像寫出使y≤1的x的集合． [嘗試解答]　∵y＝|tan x|＝ 畫出其圖像，如圖所示實(shí)線部分． 由圖像可知x的集合為{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}． 1．三點(diǎn)兩線畫圖法 “三點(diǎn)”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝.在三點(diǎn)、兩線確定的情況下，類似于五點(diǎn)法作圖，可大致畫出正切函數(shù)在上的簡圖，然后向右、向左擴(kuò)展即可得到正切曲線． 2．如果由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝f(|x|)及y＝|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對(duì)稱變換法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的圖像，令其關(guān)于y軸對(duì)稱便可以得到y(tǒng)＝f(|x|)(x≤0)的圖像；同理只要

6、作出y＝f(x)的圖像，令圖像“上不動(dòng)下翻上”便可得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像． 3．利用函數(shù)的圖像可直觀地研究函數(shù)的性質(zhì)，如判斷奇偶性、周期性、解三角不等式等． 練一練 2．[多維思考]　根據(jù)講2中函數(shù)y＝|tan x|的圖像，討論該函數(shù)的性質(zhì)． 解：(1)定義域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}． (2)值域：[0，＋∞)． (3)周期性：是周期函數(shù)，最小正周期為π. (4)奇偶性：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)是偶函數(shù)． (5)單調(diào)性：在每一個(gè)區(qū)間(－＋kπ，kπ](k∈Z)上是減少的，在每一個(gè)區(qū)間(k∈Z)上是增加的． (6)對(duì)稱性：對(duì)稱軸x＝，k∈Z. 講一講

7、3．(1)求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間． (2)比較tan與tan的大小． [嘗試解答]　(1)∵y＝tan x，在 (k∈Z)上是增加的，∴－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z. ∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 即函數(shù)y＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是 2kπ，(k∈Z)． (2)tan＝tan＝tan， tan＝tan＝tan. 又∵函數(shù)y＝tan x在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，而0<<<，∴tan

8、的單調(diào)區(qū)間問題，可先由誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”思想，求得x的范圍即可． 3．比較兩個(gè)正切函數(shù)值的大小，要先利用正切函數(shù)的周期性將正切值化為區(qū)間內(nèi)兩角的正切值，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大?。? 練一練 3．函數(shù)f(x)＝tan(2x－)的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析：由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)， 得k×－＜x＜k×＋π(k∈Z)， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，＋)(k∈Z)． 答案：(－，＋)(k∈Z) 求函數(shù)y＝的定義域． [錯(cuò)解]　由1－tan x≠0得tan x≠1， 解得x≠kπ＋，k∈Z， ∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠

9、kπ＋，k∈Z}． [錯(cuò)因]　求函數(shù)的定義域不僅考慮使函數(shù)式有意義，還得考慮正切函數(shù)本身固有的x≠kπ＋，k∈Z這一條 件．上面的解法只考慮了1－tan x≠0，而沒有考慮x≠kπ＋，k∈Z，因而是錯(cuò)誤的． [正解]　由 得x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z. ∴函數(shù)的定義域?yàn)? 1．函數(shù)y＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函數(shù)　　　　　　　　　B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 解析：選A　∵y＝tan(x＋π)＝tan x. ∴此函數(shù)是奇函數(shù)． 2．函數(shù)y＝tan(x＋)的定義域是(　　) A.　　　　 B. C.

10、D. 解析：選D　由x＋≠kπ＋，k∈Z得，x≠kπ＋，k∈Z，∴函數(shù)的定義域?yàn)? 3．已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－2，1)，則tan α＝(　　) A. B．2 C．－2 D．－ 解析：選D　tan α＝＝＝－. 4．函數(shù)y＝tan x，x∈的值域是________． 解析：∵函數(shù)y＝tan x在上為增加的， ∴0≤tan x≤1. 答案：[0，1] 5．比較大?。簍an 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而＜2＜－2π＋9＜π，且y＝tan x在(，π)內(nèi)是增加的． ∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜

11、tan 9. 答案： ＜ 6．利用正切函數(shù)的圖像作出y＝tan x＋|tan x|的圖像，并判斷此函數(shù)的周期性． 解：∵當(dāng)x∈(kπ－，kπ]時(shí)，y＝tan x≤0， 當(dāng)x∈(kπ，kπ＋)時(shí)，y＝tan x＞0， ∴y＝tan x＋|tan x|＝ 圖像如圖所示． 由y＝tan x＋|tan x|的圖像可知，它是周期函數(shù)，周期為π. 一、選擇題 1．已知θ是第二象限角，則(　　) A．tan＞0 B．tan＜0 C．tan≤0 D．tan的符號(hào)不確定 解析：選A　∵θ是第二象限角， ∴是第一或第三象限角， ∴tan＞0. 2．函數(shù)y＝2tan

12、(2x－)的定義域是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由2x－≠kπ＋，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z. 3．函數(shù)y＝tan(sin x)的值域是(　　) A. B. C．[－tan 1，tan 1] D．[－1，1] 解析：選C　∵－1≤sin x≤1， ∴－<－1≤sin x≤1<. ∵y＝tan x在(－，)上是增加的． ∴y∈[－tan 1，tan 1]． 4．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－π，π]內(nèi)的大致圖像是下列圖中的(　　) 解析：選C　f(x)＝ ＝ ＝ 二、填空題 5．若tan x≥－，則x的取值范圍是________． 解

13、析： 作出y＝tan x，x∈的圖像，如圖所示． 令y＝－，得x＝－， ∴在(－，)中滿足不等式tan x≥－的x的取值范圍為. 由正切函數(shù)周期性，可知： 原不等式的解集為(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 6．函數(shù)y＝lg(tan x)的單調(diào)增區(qū)間是________． 解析：函數(shù)y＝lg(tan x)有意義，則tan x>0， ∴函數(shù)的增區(qū)間為(kπ，kπ＋)(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 7．函數(shù)y＝sin x與y＝tan x的圖像在上交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 解析：在x∈時(shí)，tan x>sin x，x∈時(shí)，tan x

14、 x在上只有一個(gè)交點(diǎn)(0，0)． 答案：1 8．已知函數(shù)y＝2tan ，則函數(shù)的對(duì)稱中心是________． 解析：y＝2tan＝－2tan . ∵y＝tan x的對(duì)稱中心為， ∴令x－＝，得x＝kπ＋，k∈Z. ∴y＝2tan的對(duì)稱中心為，k∈Z. 答案：(k∈Z) 三、解答題 9．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1，f(－)＝7， 求f()． 解：設(shè)g(x)＝asin x＋btan x，因?yàn)閟in x與tan x都是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，即g(－x)＋g(x)＝0，故f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋1＋g(x)＋1＝2，又易得f＝f＝f，∵f

15、＋f＝2，且f＝7， ∴f＝f＝－5. 10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1， ]，其中θ∈. (1)當(dāng)θ＝－時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值； (2)求θ的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－1， ]上是單調(diào)函數(shù)． 解：(1)當(dāng)θ＝－時(shí)， f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1， ]． ∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)的最小值為－； 當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)的最大值為. (2)函數(shù)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的圖像的對(duì)稱軸為x＝－tan θ. ∵y＝f(x)在區(qū)間[－1，]上是單調(diào)函數(shù)， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥， 即tan θ≥1或tan θ≤－. 又θ∈， ∴θ的取值范圍是∪.