高中數(shù)學(xué)必修1示范教案（3_1單調(diào)性與最大（小）值 第1課時）

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1、 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲? 整體設(shè)計 教學(xué)分析 在研究函數(shù)的性質(zhì)時，單調(diào)性和最值是一個重要內(nèi)容.實際上，在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時，已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義，對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高：給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的，還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)定義進行證明的較為嚴格的方法、最好根據(jù)圖象觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性,這樣就將以上兩種方法

2、統(tǒng)一起來了. 由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，以利于學(xué)生作函數(shù)圖象，有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì).還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性和最值的理解. 三維目標(biāo) 1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過程，在這個過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦，學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力. 3.通過實例，使學(xué)生體會、理解到函數(shù)的最大

3、（?。┲导捌鋷缀我饬x，能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值，培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識. 4.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 重點難點 教學(xué)重點:函數(shù)的單調(diào)性和最值. 教學(xué)難點:增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)形式化定義的形成. 課時安排 2課時 設(shè)計方案（一） 教學(xué)過程 第1課時 函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)入新課 思路1.德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己為實驗對象，共做了163次實驗，每次實驗連續(xù)要做

4、兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再重學(xué)一次，達到與第一次學(xué)會的同樣的標(biāo)準.他經(jīng)過對自己的測試，得到了一些數(shù)據(jù). 時間間隔t 0分鐘 20分鐘 60分鐘 8~9小時 1天 2天 6天 一個月 記憶量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 觀察這些數(shù)據(jù)，可以看出：記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當(dāng)自變量（時間間隔t）逐漸增大時，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值（記憶量y）有什么變化趨勢嗎？描出這個函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的？你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎？通過這個實驗

5、,你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?（可以借助信息技術(shù)畫圖象） 圖1-3-1-1 學(xué)生：先思考或討論，回答：記憶量y隨時間間隔t的增大而增大；以時間間隔t為x軸，以記憶量y為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，描點連線得函數(shù)的草圖——艾賓浩斯遺忘曲線如圖1-3-1-1所示. 遺忘曲線是一條衰減曲線，它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移，記憶保持量在遞減，剛開始遺忘速度最快，我們應(yīng)利用這一規(guī)律，在學(xué)習(xí)新知識時一定要及時復(fù)習(xí)鞏固，加深理解和記憶.教師提示、點撥，并引出本節(jié)課題. 思路2.在第23屆奧運會上，中國首次參加就獲15枚金牌；在第24屆奧運會上，中國獲5枚金牌；在第25屆奧運會上，中國獲16枚

6、金牌；在第26屆奧運會上，中國獲16枚金牌；在第27屆奧運會上，中國獲28枚金牌；在第28屆奧運會上，中國獲32枚金牌.按這個變化趨勢，2008年，在北京舉行的第29屆奧運會上，請你預(yù)測一下中國能獲得多少枚金牌？ 學(xué)生回答(只要大于32就可以算準確),教師：提示、點撥，并引出本節(jié)課題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①如圖1-3-1-2所示為一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律? 圖1-3-1-2 ②函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義？ ③如何理解圖象是上升的？ ④對于二次函數(shù)y=x2，

7、列出x,y的對應(yīng)值表(1).完成表(1)并體會圖象在y軸右側(cè)上升. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)=x2 表(1) ⑤在數(shù)學(xué)上規(guī)定：函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義？ ⑥增函數(shù)的定義中，把“當(dāng)x1x2時，都有f(x1)>f(x2)”,這樣行嗎? ⑦增函數(shù)的定義中，“當(dāng)x1

8、義，請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義？ ⑩函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說明了函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢？ 討論結(jié)果:①函數(shù)y=x的圖象,從左向右看是上升的；函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的. ②函數(shù)圖象上任意點P的坐標(biāo)(x,y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時對應(yīng)的函數(shù)值的大小. ③按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標(biāo)逐漸變大,也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向

9、右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大. ④在區(qū)間(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1x2時，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等號“>

10、”，也就是說前面是“>”，后面也是“>”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù). ⑦函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看,圖象是上升的. ⑧從左向右看,圖象是上升的. ⑨一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義：從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢：函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.總結(jié)：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，

11、區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)遞增(或減)區(qū)間. ⑩函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大（減?。?，幾何意義：從左向右看,圖象是上升（下降）的. 應(yīng)用示例 思路1 例1如圖1-3-1-3是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 圖1-3-1-3 活動：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù). 解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［

12、3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù). 點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片，我們能根據(jù)人的照片來估計其身高，同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性. 圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間. 變式訓(xùn)練 課本P32練習(xí)1、3. 例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們

13、，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時，壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明. 活動：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時，教師再提示,及時糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時，壓強p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時，壓強p將增大的方法是用不等式表達.已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常用單調(diào)性的定義來解決. 解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可. 點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性. 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個

14、自變量x1和x2,通常令x1

15、1-4所示. (2)設(shè)x1、x2∈(-∞,1］，且x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)

16、1，即實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］. 點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi). 判斷函數(shù)單調(diào)性時，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明. 判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲： 第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢； 第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 第三步，用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),是高考的必

17、考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運用單調(diào)性解決一些問題，會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點題型. 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)； (2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形. 活動：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；（2）證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點關(guān)于點(,0)的對稱點還是在函數(shù)y

18、=F(x)的圖象上即可. 解：（1）設(shè)x1、x2∈R，且x1

19、的對稱點M′(a-x0,-F(x0)). 又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)) ＝f(a-x0)-f(x0) ＝-［f(x0)-f(a-x0)］ =-F(x0), ∴點M′(a-x0,-F(x0))也在函數(shù)F(x)圖象上， 又∵點M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點， ∴函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形. 例2(1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? (2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? 圖1-

20、3-1-5 (3)定義在［-4,8］上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖1-3-1-5所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點? (4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明. 活動：學(xué)生先思考，再回答，教師適時點撥和提示: （1）畫出二次函數(shù)y=x2-2x的圖象，借助于圖象解決；（2）類似于（1）；（3）根據(jù)軸對稱的含義補全函數(shù)的圖象，也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間；（4）歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用軸對稱的定義證明. 解：(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

21、∞,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-∞,1)和區(qū)間(1,+∞)關(guān)于直線x=1對稱,而單調(diào)性相反. (2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-∞,0)和區(qū)間(0,+∞)關(guān)于直線x=0對稱,而單調(diào)性相反. (3)函數(shù)y=f(x),x∈［-4,8］的圖象如圖1-3-1-6. 圖1-3-1-6 函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-4,-1］,［2,5］;單調(diào)遞減區(qū)間是［5,8］,［-1,2］;區(qū)間［-4,-1］和區(qū)間［5,8］關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反,區(qū)間［-1,2］和區(qū)間［2,5］

22、關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反. (4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下: 不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間［a,b］上是增函數(shù),區(qū)間［a,b］關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是［2m-b,2m-a］. 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x). 設(shè)2m-b≤x12m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函數(shù)y=f(x)在［a,b］上是增函數(shù),∴f(2m-

23、x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［2m-b,2m-a］上是減函數(shù). ∴當(dāng)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)時,其在［a,b］關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間［2m-b,2m-a］上是減函數(shù),即單調(diào)性相反. 因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性. 點評：本題通過歸納——猜想——證明得到了正確的結(jié)論,這是我們認識世界發(fā)現(xiàn)問題的主要方法,這種方法的難點是猜想,突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記

24、住，可以提高解題速度.圖象類似于人的照片，看見人的照片就能估計這個人的身高、五官等特點，同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細致的觀察能力. 變式訓(xùn)練 函數(shù)y=f(x)滿足以下條件: ①定義域是R; ②圖象關(guān)于直線x=1對稱; ③在區(qū)間［2,+∞)上是增函數(shù). 試寫出函數(shù)y=f(x)的一個解析式f(x)=(只需寫出一個即可,不必考慮所有情況). 活動：根據(jù)這三個條件，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖（只要能體現(xiàn)這三個條件即可），再根據(jù)圖象簡圖，聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗寫出. 解：定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式，常是整式；圖象關(guān)于直線x

25、=1對稱的函數(shù)解析式滿足：f(x)=f(2-x)，基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù)，則由①②想到了二次函數(shù)；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，在區(qū)間［2,+∞)上是增函數(shù)說明開口必定向上，且正好滿足二次函數(shù)的對稱軸直線x=1不在區(qū)間［2,+∞)內(nèi)，故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知這三條都可滿足開口向上的拋物線，故有： 形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或為y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一. 知能訓(xùn)練 課本P32練習(xí)2. 【補充練習(xí)】 1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性. 解：①正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)

26、當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù). ②反比例函數(shù)：y=(k≠0) 當(dāng)k>0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間. ③一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0) 當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù). ④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0) 當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,］，單調(diào)遞增區(qū)間是［,+∞)； 當(dāng)a<0時，函數(shù)y

27、=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,］. 點評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度. 2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍. 答案：k∈(0,+∞). 3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的值. 答案：a=2. 4.2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷，8已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)1. ∵f

28、(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)， ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0. ∴0

29、滿足當(dāng)x1＜x2時f(x1)

30、保持其任意性. 點評：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì)，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”；函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)和(b,c)上均是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間(a,b)∪(b,c)上的單調(diào)性不能確定. 課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法. 活動：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價. 引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié). 作業(yè) 課本P39習(xí)題1.3A組2、3、4. 設(shè)計感想 “函數(shù)單調(diào)性”是一個重要的數(shù)學(xué)概念，以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主，在單調(diào)性的定義教學(xué)中，往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過

31、程，即缺少“意義建構(gòu)”.本設(shè)計致力于展示概念是如何生成的.在概念的發(fā)生、發(fā)展中，通過層層設(shè)問，調(diào)動學(xué)生的思維，突出培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了教師是用教材教，而不是教教材. 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當(dāng)?shù)难诱?加深對定義的理解,同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. (設(shè)計者：張建國) 設(shè)計方案（二） 教學(xué)過程 第1課時

32、函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)入新課 思路1. 為了預(yù)測北京奧運會開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年每年這一天的天氣情況，如圖1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖. 圖1-3-1-7 問題：觀察圖1-3-1-7，能得到什么信息？ (1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻； (2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考回答.教師：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.歸納：用函數(shù)觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自

33、變量的變化，函數(shù)值是變大或變小. 思路2.如圖1-3-1-8所示,觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律： 圖1-3-1-8 隨x的增大，y的值有什么變化？ 引導(dǎo)學(xué)生回答，點撥提示，引出課題. 設(shè)計意圖:創(chuàng)設(shè)情景，引起學(xué)生興趣. 推進新課 新知探究 提出問題 問題①:分別作出函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律. 如圖1-3-1-9所示: 圖1-3-1-9 問題②:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 設(shè)計意圖:從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識：直

34、觀感知. 問題③:如圖1-3-1-10是函數(shù)y=x+(x>0)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 圖1-3-1-10 設(shè)計意圖:使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 問題④:如何從解析式的角度說明f(x)=x2在［0,+∞)上為增函數(shù)？ 設(shè)計意圖:把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊. 問題⑤:你能用準確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 設(shè)計意圖:讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念

35、的第三次認識. 活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 引導(dǎo)方法與過程：問題①：引導(dǎo)學(xué)生進行分類描述圖象是上升的、下降的(增函數(shù)、減函數(shù))，同時明確函數(shù)的圖象變化（單調(diào)性）是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì). 問題②：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認識. 學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置. 問題③：通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究. 問題④：對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖

36、形語言和文字語言進行辨析,使學(xué)生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量x1、x2. 問題⑤：師生共同探究：利用不等式表示變大或變小,得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義. 歸納總結(jié)：1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間D上的圖象是上升的（下降的）. 2.函數(shù)單調(diào)性的定義：略.可以簡稱為步調(diào)一致增函數(shù)，步調(diào)相反減函數(shù). 討論結(jié)果：①(1)函數(shù)y=x+2，在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)y=-x+2，在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.(2)函數(shù)y=x2，在［0,+∞)上y隨x的增大

37、而增大，在(-∞,0)上y隨x的增大而減小.(3)函數(shù)y=，在(0,+∞)上y隨x的增大而減小，在(-∞,0)上y隨x的增大而減小. ②如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù). ③不能. ④(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3，因為22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上為增函數(shù). (2)仿(1)，取多組數(shù)值驗證均滿足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上為增函數(shù). (3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1

38、-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0,即x12

39、評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性. 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（定義法） ①任取x1、x2∈D，且x1

40、x)在區(qū)間(1,2］和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù). ④因為函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù)，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù). 活動：教師強調(diào)以下三點后,讓學(xué)生判斷. 1.單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. 2.有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)). 3.函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在A∪B上是增（或減）函數(shù). 答案：這四個判斷都是

41、錯誤的. 思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 證明一個命題成立時，需要有嚴格的邏輯推理過程，而否定一個命題只需舉一個反例即可.也就是說，只要找到兩個特殊的自變量，不符合定義就行. 思路2 例1證明函數(shù)f(x)=x+在(2,+∞)上是增函數(shù). 思路分析：利用單調(diào)性的定義證明.可以利用信息技術(shù)，先畫出函數(shù)的圖象，體會一下再證明. 點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性. 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論. 答案：略. 變式訓(xùn)練 證明函數(shù)f(x)=x在［0,+∞)上是增函數(shù). 思路分析：此函數(shù)是一個具體的函數(shù)，用定義法證明. 思考：除了用定

42、義外，如果證得對任意的x1、x2∈(a,b)，且x1≠x2有分 f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能斷定函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)嗎? 活動：引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性.讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)f(x)=x在［0,+∞)上是增函數(shù). 討論結(jié)果：能. 例2用計算機畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明. 思路分析：在圖象上觀察在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是上升的，在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是下降的，借助于單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再用定義證明. 教師畫出圖象，學(xué)生回答，如果遇到障礙，就提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間. 點評：討論函數(shù)單調(diào)

43、性的三部曲： 第一步，畫函數(shù)的圖象； 第二步，借助單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間； 第三步，利用定義加以證明. 答案：略. 變式訓(xùn)練 畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用變換法（也可以用計算機）畫出圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再利用定義法證明. 答案：略. 知能訓(xùn)練 課本P32練習(xí)2. 拓展提升 試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性. 活動：先用計算機畫出圖象，找出單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明. 答案：略. 課堂小結(jié) 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié). (1)概念探究過程：直觀到抽象

44、、特殊到一般、感性到理性. (2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論. (3)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合. (4)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義是:函數(shù)值的變化趨勢,即圖象是上升的或下降的. 設(shè)計感想 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認識. 考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 作業(yè):課本P39習(xí)題1.3A組2、3、4. (設(shè)計者：張新軍)