《數(shù)學分析III》期中考試試題及參考答案.doc

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數(shù)學分析下冊期末試題（模擬） 一、填空題（每小題3分，共24分） 1、重極限___________________ 2、設，則全微分_______________________ 3、設，則___________________ 4、設是以原點為中心，為半徑的上半圓周，則________. 5、曲面和所截出的曲線在點處的法平面方程是___________________________. 6、已知，則_____________. 7、改變累次積分的順序，______________________. 8、第二型曲面積分______________，其中為球面，取外側. 得分 評卷人 二、單項選擇題（每小題2分，共16分） 1、下列平面點集，不是區(qū)域的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、下列論斷，正確的是（ ） （A）函數(shù)在點處的兩個累次極限都不存在，則該函數(shù)在處重極限必定不存在. （B）函數(shù)在點處的兩個累次極限都存在且相等，則該函數(shù)在處重極限必定存在. （C）函數(shù)在點處的偏導數(shù)都存在，則該函數(shù)在處可微. （D）函數(shù)在點處可微，則該函數(shù)在處必定連續(xù). 3、方程在原點附近能確定連續(xù)可微的隱函數(shù)形式是（ ） (A) (B) (C) (D) 以上選項都不對. 4、設，其中，，則等于（ ） （A） （B） （C） （D） 5、設平面曲線：在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且點與的坐標分別為與，又設和為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從 到的第二型曲線積分等于 （ ） 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學班號： 姓名： 學號： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ （A） （B） （C） 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學班號： 姓名： 學號： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ （D） 6、變換：，所對應的函數(shù)行列式為（ ） (A) (B) (C) (D) 7、對于任意光滑封閉曲線中，以下第二型曲線積分中為零的是（ ） （A） （B） （C） （D） 8、下列積分區(qū)域中，既是型又是型的是（ ） (A)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域. (B)是由直線和曲線所圍成的閉區(qū)域. (C)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域. (D)是由直線，和曲線所圍成的閉區(qū)域. 得分 評卷人 三、計算題（每小題8分，共48分） 1、討論函數(shù)在原點處的連續(xù)性，計算和. 2、設，求 3、設方程組確定了隱函數(shù)組，求和 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學班號： 姓名： 學號： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 4、利用含參量積分計算，其中. 5、計算，其中是以為半徑，圓心在原點的右半圓周從最上面一點到最下面一點. 6、利用極坐標變換計算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域. 得分 評卷人 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學班號： 姓名： 學號： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 四、應用題（每小題6分，共12分） 1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積. 2、某工廠打算建造一個容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r為200元/，倉庫底面造價為300元/，倉庫四周造價為100元/，問如何設計可以使倉庫的建造成本最小. 參考答案及評分標準 一、填空題（每小題3分，共24分） 1、2 2、 3、 4、 5、 （即） 6、 7、 8、 二、單項選擇題（每小題2分，共16分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A B C B B 三、計算題（每小題8分，共48分） 1、討論函數(shù)在原點處的連續(xù)性，計算和. 解 首先考慮， 當點沿直線趨于時，則有 ………………（2分） 由此可見，該極限值隨的變化而變化，故此極限不存在，從而函數(shù)在原點不連續(xù). …………（4分） 由偏導數(shù)的定義， …………（6分） …………（8分） 2、設，求. 解 記，，，， 則由復合函數(shù)鏈式法則， . …………………（2分） 再記，，，…… …………………（3分） ……………（6分） …………………（7分） …………………（8分） 3、設方程組確定了隱函數(shù)組，求和. 解 方程組關于求偏導數(shù)得 …………………（3分） 解此方程組得， ………………（4分） 方程組關于求偏導數(shù)得 …………………（7分） 解此方程組得，. …………（8分） 4、利用含參量積分計算，其中. 解 因為，所以 …………………………（2分） . 由于被積函數(shù)在上連續(xù)，………………………（4分） 故由含參量積分連續(xù)性定理，交換積分順序得 …………………（6分） …………………（8分） 5、計算，其中是以為半徑，圓心在原點的右半圓周從最上面一點到最下面一點. 解 題設中的右半圓周從點到點的參數(shù)方程為 ， 其中從到. ………………………（3分） 又，，故第二型曲線積分 …………（4分） ……（6分） …………………（8分） 6、利用極坐標變換計算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域. 解 引入極坐標變換 ， ， …………………………（2分） 則積分區(qū)域在此極坐標變換下變?yōu)? ，………………………（4分） 所以， ………………（6分） ……………（8分） 四、應用題（每小題6分，共12分） 1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積. 解 設所求區(qū)域的體積為，則. …………………（2分） 引入柱面坐標變換， ， ，則球面方程變?yōu)?，拋物面方程變?yōu)? …………………（3分） 由方程組，消去得在平面上的投影區(qū)域的邊界曲線方程，. 于是，在柱面坐標下可表示為 ，………………（4分） 所以， ………………（6分） 2、某工廠打算建造一個容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r為200元/，倉庫底面造價為300元/，倉庫四周造價為100元/，問如何設計可以使倉庫的建造成本最小. 解 設倉庫的長寬高分別為，，，則由題設有. 又設建造倉庫的成本為，則 …………（2分） 因此，所求問題可歸結為在約束條件下，函數(shù)的最小值問題. 構造拉格朗日函數(shù) ………（3分） 令，解之得 ………（5分） 即倉庫的長、寬、高分別為10，10，25時，造價最小，為150000元. ………（6分）