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1、章末歸納總結章末歸納總結 導數是微積分的初步知識，是研究函數，解決實際問題的有力工具 1導數的應用主要有以下幾個方面： (1)利用導數研究函數的單調性，求單調區(qū)間； (2)利用導數求函數的極值和最值； (3)利用導數研究函數、方程、不等式和曲線切線問題； (4)利用導數研究實際問題 利用導數刻畫函數的方法比初等方法精確細微；利用導數可用于研究平面曲線的切線；在實際問題中，主要是利用導數求實際問題的最大(小)值，將實際問題數學化后，常見的情形是，該數學問題用初等方法求解往往技巧性要求較高，而用導數方法則顯得簡便 另外，導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型高考中常用這種題目考查學生的綜
2、合能力 1應熟練掌握導數的四則運算法則 2熟練掌握導數在常見問題中的一般方法，這是正確解題的關鍵 2導數的意義 (1)幾何意義：函數yf(x)在點x0處的導數f(x0)就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0) (2)物理意義：函數ss(t)在點t處的導數s(t)，就是當物體的運動方程為ss(t)時，物體運動在時刻t時的瞬時速度v，即vs(t)而函數vv(t)在t處的導數v(t)，就是物體運動在時刻t時的瞬時加速度a，即av(t) 答案4xy40 用導數解決不等式問題是指運用導數求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導數研究方程問題，主要是指根據方程構造函數，然
3、后利用導數，研究得到函數的單調性、極值、最值，從而結合函數圖象來研究方程的根的個數、大小等問題這是導數的重要應用之一，也是高考的重點和熱點內容 xx0是其方程的唯一實數根 即方程f(x)g(x)3在區(qū)間1，)上恰有一個實數根 利用導數研究函數的極大(小)值，函數在閉區(qū)間a，b上的最大(小)值是本章的重點，求函數的最大值和最小值需要先確定函數的極大值和極小值，因此，求函數的極值是關鍵 求函數極值的一般步驟： (1)確定函數的定義域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區(qū)間，并判斷f(x)在各區(qū)間的符號； (4)結合f(x)在方程f(x)0的根
4、左右兩側的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況，并求出這個極值 (2010安徽理，17)設a為實數，函數f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調區(qū)間及極值； (2)求證：當aln21且x0時，exx22ax1. 解析本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區(qū)間，求函數的極值和證明函數不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力 解題思路是：(1)利用導數的符號判定函數的單調性，進而求出函數的極值(2)將不等式轉化構造函數，再利用函數的單調性證明 (1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變
5、化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)單調遞減2(1ln2a)單調遞增 故f(x)的單調遞減區(qū)間是(，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，)， f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a) (2)證明：設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知當aln21時，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)0. 于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增 于是當aln21時，對任意x(0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.
高中數學 3章末課件 新人教B版選修1
