高中數(shù)學必修2教案3_示范教案（2_1_3空間中直線與平面之間的位置關系）

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1、 2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關系 整體設計 教學分析 空間中直線與平面之間的位置關系是立體幾何中最重要的位置關系，直線與平面的相交和平行是本節(jié)的重點和難點.空間中直線與平面之間的位置關系是根據交點個數(shù)來定義的，要求學生在公理1的基礎上會判斷直線與平面之間的位置關系.本節(jié)重點是結合圖形判斷空間中直線與平面之間的位置關系. 三維目標 1.結合圖形正確理解空間中直線與平面之間的位置關系. 2.進一步熟悉文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉換. 3.進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力. 重點難點 正確判定直線與平面的位置關系. 課時安排 1課時

2、 教學過程 導入新課 思路1.(情境導入) 一支筆所在的直線與我們的課桌面所在的平面,可能有幾個交點?可能有幾種位置關系? 思路2.(事例導入) 觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與長方體ABCD—A′B′C′D′的六個面所在平面有幾種位置關系？ 圖1 推進新課 新知探究 提出問題 ①什么叫做直線在平面內？ ②什么叫做直線與平面相交? ③什么叫做直線與平面平行? ④直線在平面外包括哪幾種情況? ⑤用三種語言描述直線與平面之間的位置關系. 活動：教師提示、點

3、撥從直線與平面的交點個數(shù)考慮，對回答正確的學生及時表揚. 討論結果：①如果直線與平面有無數(shù)個公共點叫做直線在平面內. ②如果直線與平面有且只有一個公共點叫做直線與平面相交. ③如果直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行. ④直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外. ⑤ 直線在平面內 aα 直線與平面相交 a∩α=A 直線與平面平行 a∥α 應用示例 思路1 例1 下列命題中正確的個數(shù)是( ) ①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內，則l∥α ②若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行 ③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平

4、行，那么另一條也與這個平面平行 ④若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如圖2, 圖2 我們借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)點在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確； A1B1所在直線平行于平面ABCD，A1B1顯然不平行于BD，所以命題②不正確； A1B1∥AB,A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB平面ABCD,所以命題③不正確； l與平面

5、α平行,則l與α無公共點,l與平面α內所有直線都沒有公共點,所以命題④正確. 答案：B 變式訓練 請討論下列問題： 若直線l上有兩個點到平面α的距離相等，討論直線l與平面α的位置關系. 圖3 解：直線l與平面α的位置關系有兩種情況（如圖3），直線與平面平行或直線與平面相交. 點評：判斷直線與平面的位置關系要善于找出空間模型，結合圖形來考慮，注意考慮問題要全面. 例2 已知一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面. 已知直線a∥b∥c，直線l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C. 求證：l與a、b、c共面. 證明：如圖4,∵a∥b, 圖4

6、 ∴a、b確定一個平面，設為α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα. 同理b、c確定一個平面β，lβ, ∴平面α與β都過兩相交直線b與l. ∵兩條相交直線確定一個平面, ∴α與β重合.故l與a、b、c共面. 變式訓練 已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a， 求證：PQα. 證明：∵PQ∥a，∴PQ、a確定一個平面，設為β. ∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa, 由推論1：過P、a有且只有一個平面, ∴α、β重合.∴PQα. 點評：證明兩個平面重合是證明直線在平面內問題的重要方法. 思路2

7、例1 若兩條相交直線中的一條在平面α內，討論另一條直線與平面α的位置關系. 解：如圖5,另一條直線與平面α的位置關系是在平面內或與平面相交. 圖5 用符號語言表示為：若a∩b=A,bα,則aα或a∩α=A. 變式訓練 若兩條異面直線中的一條在平面α內，討論另一條直線與平面α的位置關系. 分析：如圖6,另一條直線與平面α的位置關系是與平面平行或與平面相交. 圖6 用符號語言表示為：若a與b異面,aα,則b∥α或b∩α=A. 點評：判斷直線與平面的位置關系要善于找出空間模型，結合圖形來考慮，注意考慮問題要全面. 例2 若直線a不平行于平面α,且aα,則下列結

8、論成立的是( ) A.α內的所有直線與a異面 B.α內的直線與a都相交 C.α內存在唯一的直線與a平行 D.α內不存在與a平行的直線 分析：如圖7,若直線a不平行于平面α,且aα,則a與平面α相交. 圖7 例如直線A′B與平面ABCD相交，直線AB、CD在平面ABCD內，直線AB與直線A′B相交，直線CD與直線A′B異面，所以A、B都不正確；平面ABCD內不存在與a平行的直線，所以應選D. 答案：D 變式訓練 不在同一條直線上的三點A、B、C到平面α的距離相等，且Aα,給出以下三個命題： ①△ABC中至

9、少有一條邊平行于α;②△ABC中至多有兩邊平行于α；③△ABC中只可能有一條邊與α相交. 其中真命題是_____________. 分析：如圖8,三點A、B、C可能在α的同側，也可能在α兩側， 圖8 其中真命題是①. 答案：① 變式訓練 若直線aα,則下列結論中成立的個數(shù)是( ) (1)α內的所有直線與a異面 (2)α內的直線與a都相交 (3)α內存在唯一的直線與a平行 (4)α內不存在與a平行的直線 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直線a

10、α,∴a∥α或a∩α=A. 如圖9,顯然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以應選A. 圖9 答案：A 點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維. 知能訓練 已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P. 求證：a與β相交,b與α相交. 證明：如圖10,∵a∩b=P, 圖10 ∴P∈a,P∈b. 又bβ,∴P∈β. ∴a與β有公共點P,即a與β相交. 同理可證,b與α相交. 拓展提升 過空間一點，能否作一個平面與兩條異面直線都平行？ 解：(1)如圖11, C′D′與BD是異面

11、直線，可以過P點作一個平面與兩異面直線C′D′、BD都平行. 如圖12, 圖11 圖12 圖13 顯然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如圖13,當點P與直線C′D′確定的平面和直線BD平行時，不存在過P點的平面與兩異面直線C′D′、BD都平行. 點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維. 課堂小結 本節(jié)主要學習直線與平面的位置關系，直線與平面的位置關系有三種： ①直線在平面內——有無數(shù)個公共點, ②直線與平面相交——有且只有一個公共點, ③直線與平面平行——沒有公共點. 另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點和難點. 作業(yè) 課本習題2.1 A組7、8. 設計感想 本節(jié)內容較少，教材沒有討論線面平行的判定和性質，只介紹了直線與平面的位置關系，因此認為本節(jié)空洞無物，那就錯了.直線與平面的位置關系是立體幾何的重要位置關系，雖沒有嚴格推理和證明，卻正好發(fā)揮我們空間想象能力和發(fā)散思維能力；本節(jié)的設計充分利用空間模型展現(xiàn)直線與平面的位置關系，提出了一些具有挑戰(zhàn)性的問題以激發(fā)學生的空間想象能力和發(fā)散思維能力.