中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五章基本圖形 第24課 矩形、菱形與正方形課件

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1、第24課矩形、菱形與正方形 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)1有一個(gè)角是 的平行四邊形是矩形矩形的四個(gè)角都是 ，對(duì)角線 矩形的判定方法： (1)有三個(gè)角是 的四邊形； (2)是平行四邊形且有一個(gè)角是 ； (3) 的平行四邊形； (4) 的四邊形要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理直角直角直角直角相等且互相平分相等且互相平分直角直角直角直角對(duì)角線相等對(duì)角線相等對(duì)角線相等且互相平分對(duì)角線相等且互相平分2有一組 的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都 ，對(duì)角線 ，且每一條對(duì)角線 菱形的判定方法： (1)四條邊都 ； (2)有一組 的平行四邊形； (3)對(duì)角線 的平行四邊形； (4)對(duì)角線 的四邊形鄰邊相等鄰邊相等相等相等互相垂直平分互相

2、垂直平分平分一組對(duì)角平分一組對(duì)角相等相等鄰邊相等鄰邊相等互相垂直互相垂直互相垂直平分互相垂直平分3有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的四個(gè)角都是 ，四條邊都 ，兩條對(duì)角線 ，并且 每一條對(duì)角線 正方形的判定方法： (1)鄰邊相等的 ； (2)有一角是直角的 直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一組對(duì)角平分一組對(duì)角相等相等矩形矩形菱形菱形難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系與區(qū)別 以平行四邊形為基礎(chǔ)，從邊、角、對(duì)角線等不同角度進(jìn)行演變，我們可得出矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別 矩形判定方法的使用：在平行四邊形的基

3、礎(chǔ)上，增加“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個(gè)角是直角(第四個(gè)角必是直角)則可判定為矩形 菱形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對(duì)角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需有四邊相等則可判定為菱形 正方形的判定可簡(jiǎn)記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)基礎(chǔ)自測(cè)1(2011烏蘭察布)如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為 M

4、 和 N ，則 MN 不可能是() A360 B540 C720 D630 答案D 解析當(dāng)直線將矩形分割成兩個(gè)三角形時(shí)，有MN180，MN360；當(dāng)直線將矩形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形時(shí)，不妨設(shè)M180，N360，則MN540；當(dāng)直線將矩形分割成兩個(gè)四邊形，有MN360，則MN720.所以MN不可能是630.2(2011大理)用兩塊邊長(zhǎng)為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是() A等腰梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案B 解析兩個(gè)等邊三角形可拼成菱形3(2011天津)如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD上，得折痕BE、BF，則EBF的大小為() A15 B30 C45

5、 D60 答案C4(2011茂名)如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A、B、D，已知 ABBC CDDA5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是() A3公里 B4公里 C5公里 D6公里 答案B 解析連接AC，因?yàn)锳BBCCDDA，所以四邊形ADCD是菱形，CA平分DAB，點(diǎn)C到l1的距離等于點(diǎn)C到l2的距離，故選B.答案答案A題型分類 深度剖析【例 1】如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點(diǎn)，且DEAB，過C作CFDE，垂足為F. (1)猜想：AD與CF的大小關(guān)系； (2)請(qǐng)證明上面的結(jié)論題型一矩形題型一矩形解(1)

6、ADCF. (2)在矩形ABCD中， ABCD，且ABCD ，A90， CDFAED. 又DEAB， DECD. CFDE， ADFC90， ADE FCD， ADCF.探究提高探究提高矩形四個(gè)角都是直角，抓住這一特征，證兩矩形四個(gè)角都是直角，抓住這一特征，證兩個(gè)直角三角形全等；矩形的對(duì)角線將其分成若干個(gè)特殊個(gè)直角三角形全等；矩形的對(duì)角線將其分成若干個(gè)特殊三角形三角形知能遷移1(2011濱州)如圖，ABC中，點(diǎn)O是AC邊上(端點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC.設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF.那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你

7、的結(jié)論解當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)(或OAOC)時(shí)，四邊形AECF是矩形 證明：CE平分BCA， 12. 又MNBC, 13， 32，EOCO. 同理，F(xiàn)OCO. EOFO. 又OAOC, 四邊形AECF是平行四邊形 12，45， 1524. 又1524180， 2490. AECF是矩形題型二菱形【例 2】如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長(zhǎng)線于E，DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于F.請(qǐng)你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想 解DEDF. 證明：連接BD， 在菱形ABCD中， BD平分ABC， DEAB，DFBC， DEDF.探究提高此題可以證明ADE CDF，得DEDF；或者連

8、接BD，由“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”證明DEDF.知能遷移2(2011濟(jì)寧)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過點(diǎn)O作直線EFBD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形解證明：四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC，OBOD， EDOFBO, OEDOFB， OED OFB， DEBF. 又EDBF， 四邊形BEDF是平行四邊形 EFBD， 平行四邊形BEDF是菱形題型三正方形【例 3】(2010青海)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F. (1)求證：

9、AOE BOF； (2)如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a，那么正方形A1B1C1O繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為 什么？解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！探究提高正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點(diǎn)知能遷移3(2011舟山)以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH. (1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀(不要

10、求證明)； (2)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC(090). 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HEHG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由. 解(1)四邊形EFGH是正方形 (2)HAE90. 證明：在 ABCD中，ABCD， BAD180ADC180. HAD和EAB都是等腰直角三角形， HADEAB45， HAE360HADEABBAD 3604545(180)90.四邊形EFGH是正方形理由如下： 由同理可得：GHGF，F(xiàn)GFE. HEHG(已證)， GHGFEHFE，四邊形EFGH是菱形 HAE HDG(已證)， DHGAHE. 又AHDAHGDHG90，

11、 EHGAHGAHE90， 菱形EFGH是正方形題型四特殊平行四邊形綜合題探究提高在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來(lái)求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法，這里方程的思想很重要知能遷移4(2011宿遷)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DQt(0t2)，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N，過Q作QEAB于點(diǎn)E，過M作MFBC于點(diǎn)F. (1)當(dāng)t1時(shí)，求證：PEQ NFM； (2)順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN

12、的面積為S， 求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值解(1)證明：四邊形ABCD是正方形， ABD90， ADAB. QEAB，MFBC， AEQMFB90. 四邊形ABFM、AEQD都是矩形 MFAB，QEAD，MFQE. 又PQMN， EQPFMN. 又QEPMFN90， PEQ NFM.易錯(cuò)警示試題在ABC的兩邊AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH， 過點(diǎn)A作BC的垂線分別交BC于點(diǎn)D，交FH于M，求證：FMMH.學(xué)生答案展示 如圖，四邊形ABEF與四邊形ACGH都是正方形， AFAB，AHAC. 又FAHBAC， AFH ABC.52. 3190，3290， 12，1

13、5. 14，45. AMFM.同理，AMAH， 故FMMH.15不認(rèn)真畫圖導(dǎo)致錯(cuò)誤剖析上述解法錯(cuò)在將BAC畫成了直角(題中沒有這個(gè)條件！)從而導(dǎo)致FAH、BAC和1、4分別成為對(duì)頂角，不認(rèn)真畫圖，匆匆忙忙進(jìn)行推理，就很容易犯錯(cuò)誤正解分別過F、H畫FKMD，HLMD，垂足為K、L. 四邊形ACGH是正方形， ACAH，CAH90，1290. ADBC，2390，13. 又HLAADC90， AHL CAD.HLAD. 同理：AFK BAD. FKAD.FKHL. 又FMKHML， FKMHLM90， FMK HML. FMMH.批閱筆記證明一個(gè)幾何命題時(shí)，一般要先根據(jù)題意畫出圖形，但畫圖時(shí)應(yīng)嚴(yán)格

14、根據(jù)題設(shè)條件，不能將一般的圖形畫成一個(gè)特殊圖形，否則在證明時(shí)就容易受所畫圖形干擾而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 思想方法 感悟提高方法與技巧 1. 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，這是它的本質(zhì)特征矩形、菱形、正方形作為特殊的平行四邊形，不僅具有平行四邊形的特征，而且它們都是軸對(duì)稱圖形，分別具有一些獨(dú)特的性質(zhì) 2. 利用一般與特殊的關(guān)系，明確各四邊形的從屬關(guān)系，系統(tǒng)掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理失誤與防范 1在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來(lái)求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解決此類問題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關(guān)鍵 2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，常將它與直角三角形的其他性質(zhì)聯(lián)合運(yùn)用，解決直角三角形中的計(jì)算或論證問題完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練24