【2013備考】高考數(shù)學(xué)各地名校試題解析分類匯編（一）7 立體幾何 理

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1、各地解析分類匯編:立體幾何1【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼恳粋€(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，得到這是一個(gè)四棱錐，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，一條側(cè)棱AE與底面垂直，根據(jù)求與四棱錐的對(duì)稱性知，外接球的直徑是AC根據(jù)直角三角形的勾股定理知,半徑為，所以外接球的面積為，選C. 2.【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼吭O(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題： 若，且則； 若，且.則；若

2、，則mn； 若且n,則m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】正確；中當(dāng)直線時(shí)，不成立；中，還有可能相交一點(diǎn)，不成立；正確，所以正確的有2個(gè)，選B.3.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】一個(gè)幾何體的三視圖如圖l所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則該幾何體的體積為（ ） A1B CD 【答案】B【解析】由三視圖可知，此幾何體為三棱錐，如圖1，其中正視圖為，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，底面為等腰直角三角形，所以體積為，故選B. 圖14.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ）A16B4C8D

3、2【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是三棱錐，且三棱錐的高為1，底面為一個(gè)直角三角形，由于底面斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點(diǎn)在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由于頂點(diǎn)到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等則三棱錐的外接球半徑R為1，則三棱錐的外接球表面積，選B.5.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測(cè)試?yán)怼咳鐖D， 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線B1D與平面A1BC1相交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為A1BC1的A垂心B內(nèi)心C外心D重心【答案】D【解析】如圖，,所以,且為的中點(diǎn)，選D.6.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測(cè)試?yán)怼磕硯缀误w的三視圖如圖

4、所示，則該幾何體的表面積為ABCD32【答案】B【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個(gè)四棱臺(tái)，所以表面積為，選B.7.【山東省煙臺(tái)市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè) （理）】設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，則下列命題正確的是A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】A中，與也有可能異面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根據(jù)面面垂直的判定定理可知正確，選D.8.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學(xué)期期初考試 】設(shè)直線m、n和平面,下列四個(gè)命題中，正確的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若【答案】D【解析】因?yàn)檫x項(xiàng)A中，兩條直線同時(shí)平行與同一個(gè)平面，則兩直線的位置關(guān)系有三

5、種，選項(xiàng)B中，只有Mm,n相交時(shí)成立，選項(xiàng)C中，只有m垂直于交線時(shí)成立，故選D9.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】 已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是A B C D 【答案】B【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，B正確?！颈本┦袞|城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】一個(gè)棱錐的三視圖如圖（尺寸的長(zhǎng)度單位為）， 則該棱錐的體積是A B C D 【答案】A【解析】由三視圖可以看出，此幾何體是一個(gè)側(cè)面與底面垂直且底面與垂直于底面的側(cè)面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰直角三角形，高為2，底面邊長(zhǎng)為2，底面面積故此三棱錐的體積為，選A. 10.【云南

6、省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，記。當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}設(shè)可知，以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有，則，得，所以，顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于，即，即，解得，因此的取值范圍是。11.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】已知正三棱錐，點(diǎn)都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為_.【答案】【解析】因?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線

7、的中點(diǎn).球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高.已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為.12.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，且底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則球O的表面積為_ 【答案】【解析】如圖3，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，圖3半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.13.【山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2013屆高三上學(xué)期期中考試 理科】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則

8、該幾何體的體積為 .【答案】4【解析】由三視圖可知，該組合體是由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為2,1，1和1,1,2的兩個(gè)長(zhǎng)方體，所以體積之和為。14.【山東省煙臺(tái)市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè) （理）】一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為_.【答案】【解析】由三視圖可知，該組合體下部是底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱柱，上部是半徑為2的半球，所以它的表面積為。15.【天津市新華中學(xué)2012屆高三上學(xué)期第二次月考理】 如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視為正三角形，AB=2,AA=4，則該幾何體的表面積為_。 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，高是4.所以該三

9、棱柱的表面積為。16.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】（本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體，中，點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).（1）證明：； （2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離； （3）等于何值時(shí)，二面角的大小為.【答案】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則2分（1）4分（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為8分（3）設(shè)平面的法向量，由 令，依題意（不合，舍去）， .時(shí)，二面角的大小為. 12分17.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】（本題12分）如圖6，在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，

10、使得平面?若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；（3）若二面角的大小為30，求的長(zhǎng). 圖6 【答案】解:（1）以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.因?yàn)?11(1)10，所以B1EAD1.（2）假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此時(shí)(0，1，z0).又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z).因?yàn)閚平面B1AE，所以n，n，得取x1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00

11、，解得z0.又DP平面B1AE，所以存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)AP.（3）連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.因?yàn)锽1CA1D，所以AD1B1C.又由（1）知B1EAD1，且B1CB1EB1，所以AD1平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)(0,1,1).設(shè)與n所成的角為，則cos.因?yàn)槎娼茿B1EA1的大小為30，所以|cos|cos30，即，解得a2，即AB的長(zhǎng)為2.18.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】（本小題滿分12分） 如圖5甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB =2, DC=

12、1，BC=，AB =AD=將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A BD C為60o（如圖乙） （）求證：AE平面BDC; （）求點(diǎn)B到平面ACD的距離【答案】圖4（）證明：如圖4，取BD中點(diǎn)M，連接AM，ME.因?yàn)锳B=AD=，所以AMBD， 因?yàn)镈B=2，DC=1，BC=，滿足：DB2+DC2=BC2， 所以BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BDDC， 因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以ME為BCD的中位線，ME， MEBD，ME=，（2分） AME是二面角A-BD-C的平面角，=. ，且AM、ME是平面AME內(nèi)兩條相交于點(diǎn)M的直線，平面AEM，.（4分） ，為等腰直角三角形，在AME中，由余弦定理得：

13、， ，.（6分）圖5（）解法一：等體積法.解法二：如圖5，以M為原點(diǎn)，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， （7分）則由（）及已知條件可知B(1，0，0)，D，C.則 （8分）設(shè)平面ACD的法向量為=，則令則z=-2，（10分）記點(diǎn)到平面的距離為d，則，所以d. （12分）19.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】（本小題滿分分） 已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，且，為中點(diǎn)（）證明：/平面；（）證明：平面平面；（）求二面角的正弦值【答案】解： （）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO 1分O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，E

14、O/PB 2分EO平面AEC，PB平面AEC， 3分 PB/平面AEC （）證明： PA平面ABCD平面ABCD， 4分又在正方形ABCD中且， 5分CD平面PAD 6分又平面PCD，平面平面 7分（）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系 8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） 9分PA平面ABCD，是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）設(shè)平面AEC的法向量為, , 則 即 令,則 11分, 12分二面角

15、的正弦值為 13分20.【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼浚ū拘☆}滿分12分） 在直三棱柱中， ACB=90,是 的中點(diǎn)，是的中點(diǎn) （）求證：MN平面 ； （）求點(diǎn)到平面BMC的距離； （）求二面角的平面角的余弦值大小?！敬鸢浮浚?）如圖所示，取B1C1中點(diǎn)D，連結(jié)ND、A1D DNBB1AA1 又DN 四邊形A1MND為平行四邊形。 MNA1 D 又 MN 平面A1B1C1 AD1平面A1B1C1 MN平面-4分(2)因三棱柱為直三棱柱， C1 C BC，又ACB=90BC平面A1MC1在平面ACC1 A1中，過C1作C1HCM，又BCC1H，故C1H為C1點(diǎn)到平面BMC的距離

16、。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=.-8分(3)在平面ACC1A1上作CEC1M交C1M于點(diǎn)E，A1C1于點(diǎn)F,則CE為BE在平面ACC1A1上的射影，BEC1M, BEF為二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,tanBEC= cosBEC=.二面角的平面角與BEC互補(bǔ)，所以二面角的余弦值為-12分法2：（1）同上。如圖所示建系，（2）可得，,設(shè)是平面BMC的法向量，C1點(diǎn)到平面BMC的距離h?？汕蟮靡粋€(gè)法向量為，, （3）可知是平面的法向量，設(shè)是平面的法向量，求得一個(gè)法向量設(shè)是為二面角的平面角,則，又因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，所以。21.【

17、山東省煙臺(tái)市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè) （理）】（本題滿分12分）如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對(duì)稱，折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于.對(duì)于圖2，完成以下各小題：（1）求A，C兩點(diǎn)間的距離；（2）證明：AC平面BCD；（3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.【答案】22.【天津市耀華中學(xué)2013屆高三第一次月考理科】(本小題滿分13分)在如圖所示的多面體中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點(diǎn)。 (1)求證：AB/平面DEG； (2)求證：BDEG； (3)求二面角CDFE的正弦值。 【

18、答案】23.【山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2013屆高三上學(xué)期期中考試 理科】（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB。、求證：CE平面PAD；、若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45， 求四棱錐P-ABCD的體積.、在滿足（）的條件下求二面角B-PC-D的余弦值的絕對(duì)值.【答案】(1)證明:因?yàn)镻A平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因?yàn)锳BAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.3分(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因?yàn)锳B=CE=1,ABCE

19、,所以四邊形ABCE為矩形,所以=,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱錐P-ABCD的體積等于7分（3）建立以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP為x,y,z軸的空間坐標(biāo)系，取平面PBC的法向量為n1=(1,01)，取平面PCD的法向量為n2=(1,1,3)，所以二面角的余弦值的絕對(duì)值是.12分24.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學(xué)期期初考試 】本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）線段上是否存在點(diǎn)，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由 【答案】解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所?因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危运倪呅螢檎叫?，所?所以平面 所以 4分（2）解法1：因?yàn)槠矫嫫矫?，且所以BC平面則即為直線與平面所成的角設(shè)BC=a，則AB=2a，所以則直角三角形CBE中，即直線與平面所成角的正弦值為 8分解法2：因?yàn)槠矫嫫矫?，?，所以平面，所以 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切?，所以，設(shè)，則所以 ，平面的一個(gè)法向量為設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為 8分 （3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有/ 平面 證明如下：由 ，所以設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得因?yàn)?，且平面，所以 / 平面 即點(diǎn)滿足時(shí)，有/ 平面 12分- 23 -