【2013備考】高考數(shù)學(xué)各地名校試題解析分類匯編（一）7 立體幾何 理

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1、 各地解析分類匯編:立體幾何 1【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼恳粋€幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的 等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，得到這是一個四棱錐，底面是一個邊長是1的正方形，一條側(cè)棱AE與底面垂直，∴根據(jù)求與四棱錐的對稱性知，外接球的直徑是AC根據(jù)直角三角形的勾股定理知,半徑為，所以外接球的面積為，選C. 2.【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼吭O(shè)表示

2、不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題： ①若∥，且則； ②若∥，且∥.則∥； ③若，則∥m∥n； ④若且n∥,則∥m. 其中正確命題的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①正確；②中當(dāng)直線時，不成立；③中，還有可能相交一點，不成立；④正確，所以正確的有2個，選B. 3.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】一個幾何體的三視圖如圖l所示，其中正視圖是一個正三角形，則該幾何體的體積為 （ ） A．1 B． C． D．

3、 【答案】B 【解析】由三視圖可知，此幾何體為三棱錐，如圖1，其中正視圖為，是邊長為2的正三角形，，且，底面為等腰直角三角形，，所以體積為，故選B. 圖1 4.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ） A．16 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【解析】由三視圖可知該幾何體是三棱錐，且三棱錐的高為1，底面為一個直角三角形，由于底面斜邊上的中線長為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由于頂點到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等則三棱錐的外接球半徑R為1，則三棱錐的外接球表面

4、積，選B. 5.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試?yán)怼咳鐖D， 在長方體ABCD—A1B1C1D1中，對角線B1D與平面A1BC1相交于點E，則點E為△A1BC1的 A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】如圖，,所以,且為的中點，選D. 6.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試?yán)怼磕硯缀误w的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D．32 【答案】B 【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個四棱臺，，，所以表面積為，選B. 7.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測 （理）】設(shè)b，c表示兩條

5、直線，表示兩個平面，則下列命題正確的是 A.若 B.若 C.若 D.若 【答案】D 【解析】A中，與也有可能異面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根據(jù)面面垂直的判定定理可知正確，選D. 8.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學(xué)期期初考試 】設(shè)直線m、n和平面,下列四個命題中，正確的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 【答案】D 【解析】因為選項A中，兩條直線同時平行與同一個平面，則兩直線的位置關(guān)系有三種，選項B中，只有Mm,n相交時成立，選項C中，只有m垂直于

6、交線時成立，故選D 9.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，B正確。 【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為）， 則該棱錐的體積是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖可以看出，此幾何體是一個側(cè)面與底面

7、垂直且底面與垂直于底面的側(cè)面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰直角三角形，高為2，底面邊長為2，底面面積 故此三棱錐的體積為，選A. 10.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記。當(dāng)為鈍角時，則的取值范圍是 。 【答案】 【解析】由題設(shè)可知，以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則有，，，，則，得，所以， 顯然不是平角，所以為鈍角等價于，即，即，解得，因此的取值范圍是。 11.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，

8、則球心到截面的距離為________. 【答案】 【解析】因為在正三棱錐ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點.球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高.已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為. 12.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】正三棱錐A－BCD內(nèi)接于球O，且底面邊長為，側(cè)棱長為2，則球O的表面積為____ ．

9、【答案】 【解析】如圖3，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，圖3 半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2， ，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以. 13.【山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2013屆高三上學(xué)期期中考試 理科】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 . 【答案】4 【解析】由三視圖可知，該組合體是由兩個邊長分別為2,1，1和1,1,2的兩個長方體，所以體積之和為。 14.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測 （理）】一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積

10、為__________. 【答案】 【解析】由三視圖可知，該組合體下部是底面邊長為2，高為3的正四棱柱，上部是半徑為2的半球，所以它的表面積為。 15.【天津市新華中學(xué)2012屆高三上學(xué)期第二次月考理】 如圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視為正三角形，AB=2,AA=4，則該幾何體的表面積為_______。 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為2，高是4.所以該三棱柱的表面積為。 16.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】（本小題滿分12分）如圖，在長方體，中，，點在棱AB上移動. （1）證明：； （2）當(dāng)為的中點時，求點到

11、面的距離； （3）等于何值時，二面角的大小為. 【答案】解：以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則…………2分 （1）………………4分 （2）因為為的中點，則，從而， ，設(shè)平面的法向量為，則 也即，得，從而，所以點到平面的距離為 ………………………………………………8分 （3）設(shè)平面的法向量， ∴ 由 令， ∴ 依題意 ∴（不合，舍去）， . ∴時，二面角的大小為. …………………………12分 17.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】（本題12分）如圖6，在長方體中，，為中點. （1）求證：； （2）

12、在棱上是否存在一點，使得平面?若存在，求的長；若不存在，說明理由； （3）若二面角的大小為30°，求的長. 圖6 【答案】解:（1）以A為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. 因為·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝

13、0， 所以B1E⊥AD1. （2）假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE.此時＝(0，－1，z0). 又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z). 因為n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得 取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝. 又DP?平面B1AE，所以存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝. （3）連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. 因為B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C. 又由（1）知B1E⊥AD1，且

14、B1C∩B1E＝B1， 所以AD1⊥平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一個法向量，此時＝(0,1,1). 設(shè)與n所成的角為θ， 則cosθ＝＝. 因為二面角A－B1E－A1的大小為30°， 所以|cosθ|＝cos30°，即＝， 解得a＝2，即AB的長為2. 18.【云南師大附中2013屆高三高考適應(yīng)性月考卷（三）理科】（本小題滿分12分） 如圖5甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB =2, DC=1，BC=，AB =AD=．將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A － BD －C為60o（如圖乙）． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BDC; （Ⅱ

15、）求點B到平面ACD的距離． 【答案】圖4 （Ⅰ）證明：如圖4，取BD中點M，連接AM，ME. 因為AB=AD=，所以AM⊥BD， 因為DB=2，DC=1，BC=，滿足：DB2+DC2=BC2， 所以△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC， 因為E是BC的中點，所以ME為△BCD的中位線， ＝ ME?∥， ME⊥BD，ME=，…………………………………………………………………（2分） ∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°. ，且AM、ME是平面AME內(nèi)兩條相交于點M

16、的直線， ，平面AEM，.………………………………（4分） ，， 為等腰直角三角形，， 在△AME中，由余弦定理得：， ， .………………………………………………………………………（6分） 圖5 （Ⅱ）解法一：等體積法. 解法二：如圖5，以M為原點，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ………………………………………………（7分） 則由（Ⅰ）及已知條件可知B(1，0，0)，， ，D，C. 則 ……………………………………（8分） 設(shè)平面ACD的法

17、向量為=， 則令則z=-2， …………………………………………………………………（10分） 記點到平面的距離為d， 則，所以d. …………………………（12分） 19.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】（本小題滿分分） 已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點． （Ⅰ）證明：//平面； （Ⅱ）證明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 【答案】解： （Ⅰ） 證明：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)EO． ……………………1分 O為BD中點，E為PD中點， ∴EO

18、//P B． ……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C． （Ⅱ） 證明： PA⊥平面ABC D． 平面ABCD， ∴． ……………………4分 又在正方形ABCD中且， ……………………5分 ∴CD平面PA D．

19、 ……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如圖，以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空 間直角坐標(biāo)系． ………8分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為 A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ．

20、 ……………9分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）． 設(shè)平面AEC的法向量為, , 則 即 ∴ ∴ 令,則． ………………11分 ∴, …………………12分 二面角的正弦值為 …………………13分 20.【云南省玉溪一中2013屆高三上學(xué)期期中考試?yán)怼浚ū拘☆}滿分12分） 在直三棱柱中， ∠ACB=90°,Ｍ是 的中點，Ｎ是的中點

21、（Ⅰ）求證：MN∥平面 ； （Ⅱ）求點到平面BMC的距離； （Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值大小。 【答案】（1）如圖所示，取B1C1中點D，連結(jié)ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1 又DN＝ ∴四邊形A1MND為平行四邊形。 ∴MN∥A1 D 又 MN 平面A1B1C1 AD1平面A1B1C1 ∴MN∥平面--------------------------4分 (2)因三棱柱為直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1 在平面ACC1 A1中，過C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1

22、H，故C1H為C1點到平面BMC的距離。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M= ∴.--------------------------8分 (3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于點E，A1C1于點F, 則CE為BE在平面ACC1A1上的射影， ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF為二面角B-C1M-A的平面角, 在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC= ∴ cos∠BEC=. 二面角的平面角與∠BEC互補(bǔ)，所以二面角的余弦值為--------------------12分 法2：（1）同上。如圖所示建系， （2）可得，,,設(shè)是平面BMC的

23、法向量，C1點到平面BMC的距離h。 可求得一個法向量為，, （3）可知是平面 的法向量，設(shè)是 平面的法向量，求得一個法向量 設(shè)是為二面角的平面角,則，又因為二面角的平面角是鈍角，所以。 21.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質(zhì)量檢測 （理）】（本題滿分12分） 如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱， 折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于.對于圖2，完成以下各小題： （1）求A，C兩點間的距離； （2）證明：AC⊥平面BCD； （3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值. 【答案】 22.【天津市耀華中學(xué)2013屆高三第一次月考理科

24、】(本小題滿分13分)在如圖所示的多面體中，EF平面AEB，AEEB，AD//EF， EF//BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點。 (1)求證：AB//平面DEG； (2)求證：BDEG； (3)求二面角C—DF—E的正弦值。 【答案】 23.【山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2013屆高三上學(xué)期期中考試 理科】（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB。 Ⅰ、求證：CE⊥平面PAD； Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，

25、 求四棱錐P-ABCD的體積. Ⅲ、在滿足（Ⅱ）的條件下求二面角B-PC-D的 余弦值的絕對值. 【答案】(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE, 因為AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分 (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD. 又因為AB=CE=1,AB∥CE,所以四邊形ABCE為矩形,所以 ==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱錐P-ABCD的體積等于……………7分 （3）建立以A為原點，AB,AD,AP為x,y,z軸的空間坐標(biāo)系，取平

26、面PBC的法向量為n1=(1,01)，取平面PCD的法向量為n2=(1,1,3)， 所以二面角的余弦值的絕對值是………………………………………………….12分 24.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學(xué)期期初考試 】本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，． （1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由． 【答案】解：（1）證明：取中點，連結(jié)，． 因為，所以． 因為四邊形為直角梯形，，， 所以

27、四邊形為正方形，所以． 所以平面． 所以 ． ………………4分 （2）解法1：因為平面平面，且 所以BC⊥平面 則即為直線與平面所成的角 設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以 則直角三角形CBE中， 即直線與平面所成角的正弦值為． ………………8分 解法2：因為平面平面，且 ， 所以平面，所以． 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 因為三角形為等腰直角三角形，所以，設(shè)， 則． 所以 ，平面的一個法向量為． 設(shè)直線與平面所成的角為， 所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為． ………8分 （3）解：存在點，且時，有// 平面． 證明如下：由 ，，所以． 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得． 因為 ，且平面，所以 // 平面． 即點滿足時，有// 平面． ………………12分 - 23 -