高考數(shù)學 17-18版 第9章 第39課 課時分層訓練39

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1、 課時分層訓練(三十九) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．在下列命題中，不是公理的是(　　) ①平行于同一個平面的兩個平面相互平行； ②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面； ③如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)； ④如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． ①　[①不是公理，是個常用的結論，需經(jīng)過推理論證；②③④是平面的基本性質公理．] 2．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c

2、.其中正確的個數(shù)為____________． 1　[法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立． 法二：構造長方體或正方體模型可快速判斷，①②錯，③正確．] 3．(2016·南京模擬)下列命題中正確的是____________．(填序號) ①空間四點中有三點共線，則此四點必共面； ②三個平面兩兩相交的三條交線必共點； ③空間兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ④平面α和平面β可能只有一個交點． ①　[由公理3的推論1可知①正確；其余均錯誤．] 4．已知α，β為兩個不重合的平面，A，B，M，N為相異四點，a為直線，則下

3、列推理錯誤的是____________．(填序號) ①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β； ②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN； ③A∈α，A∈β?α∩β＝A. ③　[由公理1及公理2可知①②正確，③錯誤．] 5．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是棱A1A，C1C的中點．若∠BFC＝60°，則∠ED1D＝____________. 【導學號：62172216】 60°　[∵BF∥D1E，DD1∥CF， ∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°.] 6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB

4、1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為____________． 　[連結DF， 則AE∥DF， ∴∠D1FD即為異面直線AE與D1F所成的角． 設正方體棱長為a，則D1D＝a，DF＝a，D1F＝a， ∴cos ∠D1FD＝＝.] 7.如圖39-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論： 圖39-7 ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線MN與AC所成的角為60°. 其中正確的結論為________．(注：把你認為正確的結論序號都

5、填上) ③④　[由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線． 因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.] 8.如圖39-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________． 圖39-8 60°　[取A1C1 的中點E，連結B1E，ED，AE， 在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求， 設AB＝1，則A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.] 9．如圖39-9，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上

6、，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________. 【導學號：62172217】 圖39-9 4　[取CD的中點為G(圖略)，由題意知平面EFG與正方體的左、右側面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)，所以直線EF與正方體的前、后側面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.] 10.如圖39-10是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中， 圖39-10 ①GH與EF平行； ②BD與MN

7、為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是____________． ②③④　[把正四面體的平面展開還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.] 二、解答題 11.如圖39-11，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于點H. 圖39-11 (1)求AH∶HD； (2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點． [解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF

8、?平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1. (2)證明：∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， 又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH，F(xiàn)G，BD三線共點． 12.如圖39-12，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形. 【導學號：62172218】 圖39-12 證明：設Q是DD1的中點，連結EQ，QC1，如

9、圖．因為E是AA1的中點，Q是DD1的中點，所以EQ綊A1D1. 又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1， 所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綊C1Q. 又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點， 所以QD綊C1F， 所以四邊形DQC1F為平行四邊形， 所以C1Q綊DF. 故B1E綊DF，所以四邊形B1EDF是平行四邊形． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是____________． ①若AC與BD共面，則AD與BC共面； ②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線； ③若AB＝AC，

10、DB＝DC，則AD＝BC； ④若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC. ③　[①中，若AC與BD共面，則A，B，C，D四點共面，則AD與BC共面；②中，若AC與BD是異面直線，則A，B，C，D四點不共面，則AD與BC是異面直線；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以證明AD⊥BC.] 2.如圖39-13，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為________． 圖39-13 　[取DE的中點H，連結HF，GH.

11、由題設，HF綊AD， ∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角)． 在△GHF中，可求HF＝， GF＝GH＝， ∴cos∠GFH＝＝.] 3．空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。? 圖39-14 [解]　如圖，取AC的中點G，連結EG，F(xiàn)G，則EG綊AB，F(xiàn)G綊CD， 由AB＝CD知EG＝FG， ∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角． ∵AB與CD所成的角為30°， ∴∠EGF＝30°或150°. 由EG＝FG知△EFG為等腰三

12、角形， 當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°； 當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°. 故EF與AB所成的角為15°或75°. 4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面． (2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線． [證明]　(1)∵E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點， ∴連結D1B1(圖略)，易知EF∥D1B1. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD. 所以EF，BD確定一個平面． 即D，B，F(xiàn)，E四點共面． (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設平面A1ACC1確定的平面為α， 又設平面BDEF為β， 因為Q∈A1C1，所以Q∈α. 又因為Q∈EF，所以Q∈β，則Q是α與β的公共點， 同理，P點也是α與β的公共點， 所以α∩β＝PQ. 又因為A1C∩β＝R，所以R∈A1C， 則R∈α且R∈β， 則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．