2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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1、 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 題型97 證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系 2013年 1. （2013四川文19）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上異于端點(diǎn)的點(diǎn). （1）在平面內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，說(shuō) 明理由，并證明直線平面； （2）設(shè)（1）中的直線交于點(diǎn)，求三棱錐的體積. （錐體體積公式：，其中為底面面積，為高）. 2. （2013山東文19） 如圖，四棱錐中，，，， ，分別為的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面 3. (20

2、13重慶文19）如圖，四棱錐中，底面，，，. （1）求證：平面； （2）若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足，求三棱 錐的體積. 2014年 1.（2014遼寧文4）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 2.（2014浙江文6）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面（ ）. A．若，，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，，則 3.（2014廣東文9）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）. A． B. C. 既不垂直也不

3、平行 D. 的位置關(guān)系不確定 4.（2014北京文17）（本小題滿分14分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別為，的中點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）求證：平面； （3）求三棱錐的體積. 5.（2014新課標(biāo)Ⅰ文19） 如圖所示，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面. （1）求證：； （2）若，，，求三棱柱的高. 6.（2014遼寧文19） 如圖所示，和所在平面互相垂直，且 ，，，，分別為 ，，的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）

4、求三棱錐的體積. 附：錐體的體積公式，其中為底面面積，為高. 7. （2014廣東文18）如圖1所示，四邊形為矩形，平面，作如圖2所示的折疊：折痕.其中點(diǎn)分別在線段上，沿折疊后點(diǎn)在線段上的點(diǎn)記為，并且. （1） 求證：平面; （2） 求三棱錐的體積. 8.（2014江蘇16）如圖所示，在三棱錐中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．已知，，，． 求證：（1）直線平面；（2）平面平面． 9.（2014重慶文20）如圖所示，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且. （1）求證：平面； （2）若，求四棱

5、錐的體積. 10．（2014湖北文20）如圖所示，在正方體中， 分別是棱，，， ，，的中點(diǎn). 求證： （1）直線平面； （2）直線平面. 2015年 1.（2015湖南文18）如圖所示，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn). （1）證明：平面平面； （2）若直線與平面所成的角為， 求三棱錐的體積. 1. 解析 （1）如圖所示，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以，因此平面，又平面，所以平面平面. （2）設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié). 因?yàn)槭钦切?，所?又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面. 所以為直

6、線與平面所成的角. 由題設(shè)，所以， 在中，，所以. 故三棱錐的體積. 2.（2015天津文17）如圖所示，已知平面， ，， ，， ， 點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn). （1）求證： 平面 ； （2）求證：平面平面. （3）求直線與平面所成角的大小. 2.分析 （1）要證明平面，只需證明且平面； （2）要證明平面平面，可證明，；（3）取 中點(diǎn)， 聯(lián)結(jié) ，則就是直線 與平面所成角，中， 由，得直線與平面所成角為. 解析 （1）如圖所示，聯(lián)結(jié)，在中，因?yàn)楹头謩e是，的 中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?所以平面. （2）因?yàn)椋?為中點(diǎn)，所以. 因?yàn)?/p>

7、平面，，所以平面，從而. 又 ，所以平面 . 又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫? （3）取中點(diǎn)和中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，， 因?yàn)楹头謩e為，中點(diǎn)，所以， ，故，，所以. 又因?yàn)槠矫妫云矫?，從而就是直線與平面所成角. 在中，可得，所以. 因?yàn)?，所以，又由，有，在中，可得?在中，，因此. 所以直線與平面所成角為. 3.（2015全國(guó)1文18）如圖所示，四邊形為菱形，G為與的交點(diǎn)，平面. （1）求證：平面平面； （2）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積. 3. 解析 （1）因?yàn)槠矫?，所? 又為菱形，所以. 又因?yàn)?，，平面? 所以平面.又

8、平面，所以平面平面. （2）在菱形中，取， 又，所以，. 在中，，所以， 所以在中，， 所以，解得. 在中， 可得. 所以. 4．（2015山東文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，，分別為的中點(diǎn). （1）求證：∥平面； （2）若，，求證：平面平面. 4. 解析 （1）證法一：聯(lián)結(jié).設(shè)，聯(lián)結(jié)，如圖所示. 在三棱臺(tái)中，，為的中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn). 又是的中點(diǎn)，所以. 又平面，平面，所以平面. 證法二：在三棱臺(tái)中，由，為的中點(diǎn)，可得，所以為平行四邊形，可得. 在中，分別為，的中點(diǎn)，所以.又， 所以平面平面

9、，因?yàn)槠矫?，所以平? （2）證明：聯(lián)結(jié)，如圖所示. 因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以. 由，得. 又為的中點(diǎn)，，所以，因此四邊形是平行四邊形，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5. (2015浙江文18) 如圖所示，在三棱柱中，， ，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線和平面所成的角的正弦值. 此題無(wú)答案 26.(2015重慶文20) 如題（20）圖，三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)，在線段上，且，，點(diǎn)在線段上，且. （1）證明：平面. （2

10、）若四棱錐的體積為7，求線段的長(zhǎng). 26. 解析 （1）由，知點(diǎn)為等腰中底邊的中點(diǎn)， 故． 又平面平面，平面平面，平面，所以 平面，從而． 因?yàn)?，，? 從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面． （2）設(shè)，則在中，， 從而. 由，知，得，故，即． 由，， 從而四邊形的面積為 ． 由（1）知，平面，所以為四棱錐的高． 在中，， 體積，故得，解得或． 由于，可得或，所以或． 2016年 1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，，則（ ）. A. B. C. D. 1.C

11、解析 對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以與平行或異面.故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B和D，因?yàn)?，，所以?又因?yàn)椋耘c的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗裕蔬x項(xiàng)C正確，故選C. 2.（2016全國(guó)甲文19）如圖所示，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上， ，交于點(diǎn).將沿折到的位置. （1）證明：； （2）若 ，求五棱錐的體積. 2.解析 （1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以，所以，所? 又因?yàn)?，所以，所?所以. （2）由得， 由得 所以 于是故 由（1）知，又，所以平面，于是 又由，所以平面. 又由得， 五邊形

12、的面積 . 3.（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由. 3.解析 （1）因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)椋?所以平面. （2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面 （3）棱上存在點(diǎn)，使得平面.證明如下. 取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫妫云矫? 4.（2016山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點(diǎn)，. （1）已知，. 求證：； （2）已知分別是和的中點(diǎn).求證：平面. 4.解析 （1）證明：因?yàn)?，所以與

13、確定一個(gè)平面，連接，如圖1所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；同理可得. 又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所? （2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖2所示. 在中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以；在中，是的中點(diǎn)， 所以.又，，所以平面平面. 因?yàn)槠矫?，所以平? 5（2016江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，. 求證：（1）直線平面； （2）平面平面. 5.解析 （1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以. 又因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，所? 又因?yàn)槠矫?，且，故平? （2）三棱柱為直棱柱，所以平面. 又平面，故.又，

14、且，平面，所以平面. 又因?yàn)槠矫妫? 又因?yàn)?，，且平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平? 6.（2016全國(guó)乙文18）如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn).聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn). （1）求證：是的中點(diǎn)； （2）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積. 6.解析 （1）由題意可得為正三角形，故. 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面. 又平面，所以. 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面. 又平面，所以. 因?yàn)?，，，平面，所以平?又平面，所以. 因?yàn)?，所以是的中點(diǎn).

15、 （2）如圖所示，過(guò)作交于，則即為所要尋找的正投影. 理由如下，因?yàn)?，，?同理， 又，平面，所以平面， 故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影. 所以. 在中，，，，故由等面積法知.由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故. 7.（2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，，，，. （1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說(shuō)明理由； （2）證明：平面平面 7.解析（1）取棱的中點(diǎn)平面，點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).證明如下： 因?yàn)?，所以，且所以四邊形是平行四邊形，從? 又平面，平面，所以平面 (說(shuō)明：取棱的中點(diǎn)，則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)). （2）

16、由已知，，因?yàn)椋灾本€與相交，所以平面從而 因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形. 所以，所以又，所以平面 又平面，所以平面平面 2017年 1.（2017全國(guó)3文10）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（ ）. A． B． C． D． 解析 因?yàn)?，，且，所以平面? 又因?yàn)槠矫?所以.故選C. 評(píng)注 本題屬于線面關(guān)系定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，有一定難度，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和公式定理的實(shí)際應(yīng)用能力，問(wèn)題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于找到與包含的平面垂直的直線！ 2.（2017全國(guó)1文18）如圖所示，在四棱錐中，，且. (1)證明：平

17、面平面； (2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積. 解析 （1）因?yàn)?，所? 因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕? 又，所以平面. 因?yàn)槠矫?，所以平面平面? （2）由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面? 如圖所示，取中點(diǎn).因?yàn)?，，所? 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 所以平面． 由，得四邊形為平行四邊形.又因?yàn)槠矫?，得，即四邊形是矩? 不妨設(shè)，則，所以，且． 因此四棱錐的體積為，解得． 所以． 3.（2017全國(guó)3文19）如圖所示，四面體中，是正三角形，． （1）證明：； （2）已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點(diǎn)， 且，求四面體與四面體的

18、體積比． 解析 （1）設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 由，得，由，得. 又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所? (2)設(shè)，則. 由，得，故. 又因?yàn)?，所?所以，所以，可得. 即點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，所以，所以體積比為. 評(píng)注 本題第一問(wèn)考查線線垂直的證明，屬于常規(guī)題型；第二問(wèn)用相似或解三角形的方法求解直線長(zhǎng)度，特別是用相似在高中階段比較少見，但16年全國(guó)卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說(shuō)明，雖然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個(gè)固定的選作題出現(xiàn)，但其主要知識(shí)點(diǎn)仍然可以作為考點(diǎn)，在高考中進(jìn)行考查，筆者提醒各位老師在今后的教學(xué)中要特別注意到這一點(diǎn). 4.（20

19、17北京文18）如圖所示，在三棱錐中，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)． （1）求證：； （2）求證：平面平面； （3）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積． 解析 （1）因?yàn)椋?，，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?. （2）因?yàn)椋?，為線段的中點(diǎn)，所以在等腰中，.又 由（1）可知，，所以平面.由為線段上一點(diǎn)，則平面，所以又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫? （3）當(dāng)平面時(shí)，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知，為邊的中點(diǎn).故而，，因?yàn)槠矫妫云矫? 由，，為邊中點(diǎn)知，又，有，即因此，. 5.（2017山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平

20、面. （1）證明：平面； （2）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所

21、以平面平面. 6.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，且. 又因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平? （2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 因?yàn)椋謩e是，，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面.

22、 過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，聯(lián)結(jié). 是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角. 設(shè).在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點(diǎn)，得. 在中，，，所以， 所以直線與平面所成角的正弦值是. 7.（2017江蘇15）如圖所示，在三棱錐中，，， 平面平面， 點(diǎn)（與不重合）分別在棱上，且． 求證：（1）平面； （2）． 解析 （1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以. 又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平? （2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面? 平面，，所以平面. 因?yàn)槠矫?，所? 又，，平面，平面， 所以平面.又因?yàn)槠矫?，所? 題型9

23、8 與垂直有關(guān)的開放性、探究性問(wèn)題 2015年 1.(2015安徽文19) 如圖所示，在三棱錐中，平面，. （1）求三棱錐的體積； （2）求證：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值. 1.分析 （1）在中，由三角形的面積公式，求出三角形面積.又因?yàn)槊?，所以是三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式即可求出結(jié)果； （2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可知此點(diǎn)即為所求，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果. 解析 （1）在中，，，， 所以. 又因?yàn)槊妫允侨忮F的高， 所以. （2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖所示.因?yàn)槊?，所以? 又面，得. 又，

24、所以面. 又面，所以. 此時(shí)點(diǎn)即為所找點(diǎn)，在中，由題意可得，所以. 由，可得，所以，所以. 2.（2015北京文18） 如圖所示，在三棱錐中，平面平面，三角形 為等邊三角形，，且，，分別為，的中點(diǎn). （1） 求證：平面. （2） 求證：平面平面 . （3） 求三棱錐的體積. 2.解析 （1）依題意，，分別為，的中點(diǎn)，則是的中位線， 所以，平面，平面，故平面. （2）因?yàn)樵谥?，，且為的中點(diǎn)，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故平面平面. （3）由（2）知，平面， 所以 3．（2015福建文20）如圖所

25、示，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且． （1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面； （2）求三棱錐體積的最大值； （3）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值． 3.分析 （1）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線．首先由垂直于圓所在的平面，可證明.又，為的中點(diǎn)，可證明，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）三棱錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當(dāng)邊上的高最大，此時(shí)高為半徑，進(jìn)而求三棱錐體積的最大值；（3）將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使 之與平面共面，此時(shí)線段的長(zhǎng)度即為的最小值． 解析 （1）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以． 又垂直于圓所在的平面，所以.因?yàn)?，所以平面?/p>

26、 （2）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為1． 又，所以面積的最大值為． 又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為． （3）解法一：在中，，，所以．同理，所以． 在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面， 如圖所示． 當(dāng)共線時(shí)，取得最小值． 又因?yàn)?，，所以垂直平分，即為中點(diǎn)． 從而，即的最小值為． 解法二：由解法一可知，， ， 所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與同時(shí)取得最小值. 故. 所以的最小值為. 4.（2015湖北文20）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑

27、.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、、. (1)證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑. 若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明 理由； (2)記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為， 求的值. 4.解析 (1)因?yàn)榈酌?，所? 由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面.由平面，平面. 可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是 (2)由已知，是陽(yáng)馬的高，所以. 由(1)知，是鱉臑的高，，所以. 在中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以，于是 5.（2015江

28、蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng)． 5.解析 由平面，，故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，． （1）易知平面，故平面的一個(gè)法向量為． 又，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，. 所以，取，則，，故， 因此. 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為． （2）因，設(shè)，． 所以， 因此， 設(shè)， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所

29、以當(dāng)時(shí)，有最大值， 即有最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，故． 評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決． 在求解的最大值時(shí)，也可以處理成： ，設(shè)，則， 所以， 所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值， 此時(shí)直線與所成的角最小，即，解得，故． 6.（2015四川文18）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. （1）請(qǐng)按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處（不需要說(shuō)明理由）； （2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說(shuō)明你的結(jié)論； （3）求證：直線平面. 6.解析 （1）點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示. （2）平面平面.證明如下： 因?yàn)闉檎?/p>

30、體，所以，. 又，，所以，.所以為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面.同理平面. 又，所以平面平面. （3）聯(lián)結(jié)，因?yàn)闉檎襟w，所以平面.因?yàn)槠矫妫? 又，，所以平面. 又平面，所以. 同理，.又，所以平面. 題型99 空間角與空間距離 2013年 1．（2013江西文19）如圖，直四棱柱中，，，，，， 為上一點(diǎn)，，. （1）證明：⊥平面; （2）求點(diǎn)到平面的距離 2. (2013天津文17） 如圖， 三棱柱中， 側(cè)棱⊥底面，且各棱長(zhǎng)均相等.分別為棱的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）證明：平面⊥平面； （3）求直

31、線與平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17） 如圖2.在直棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng). （1）證明：； （2）當(dāng)異面直線， 所成的角為時(shí)，求三棱錐的體積. 4.(2013浙江文20）如圖，在在四棱錐中，⊥面，，， ，，為線段上的點(diǎn). （1）證明：⊥平面; （2）若是的中點(diǎn)，求與所成的角的正切值； （3）若滿足⊥ 面，求的值. 2014年 1.（2014大綱文4）已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）. A． B． C． D．

32、2.（2014天津文17）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點(diǎn). （1） 求證：平面； （2） 若二面角為， ① 求證：平面平面； ② 求直線與平面所成角的正弦值. 3.（2014浙江文20）如圖所示，在四棱錐中，平面平面；，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成的角的正切值. 4.（2014大綱文19）如圖所示，三棱柱中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，. （1）求證：； （2）設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小. 5. （2014新課標(biāo)Ⅱ文18）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn). （1）

33、求證：平面； （2）設(shè)，，三棱錐的體積，求到平面的距離. 5.（2014湖南文18）如圖所示，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，，是的中點(diǎn)，面，垂足為. （1）求證：平面； （2）求異面直線與所成角的余弦值. 2015年 1.（2015江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng)． 1.

34、解析 由平面，， 故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，． （1）易知平面， 故平面的一個(gè)法向量為． 又，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，， 所以，取， 則，，故， 因此， 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為． （2）因，設(shè)，． 所以， 因此， 設(shè)， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，有最大值， 即有最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，故． 評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決． 在求解的最大值時(shí)，也可以處理成： ，設(shè)，則， 所以， 所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值， 此時(shí)直線與

35、所成的角最小，即，解得，故． 2016年 1.（2016全國(guó)乙文11）平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）. A. B. C. D. 1.A 解析 解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示.通過(guò)尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 解法二（原理同解法一）：過(guò)平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 2.（2016浙江文

36、14）如圖所示，已知平面四邊形，，，，.沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是______. 2. 解析 設(shè)直線與所成角為.設(shè)是中點(diǎn)由已知得，如圖所示，以為軸，為軸，過(guò)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，有，，. 作于，翻折的過(guò)程中，始終與垂直，且的長(zhǎng)度始終不變，，則，，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為. 所以， 所以時(shí)，取最大值. 3.（2016上海文19）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè). （1）求圓柱的體積與側(cè)面積； （2）求異面直線與所成的角的大小. 3.解析 （

37、1）由題意可知，圓柱的母線長(zhǎng)，底面半徑. 圓柱的體積， 圓柱的側(cè)面積. （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則， 所以或其補(bǔ)角為與所成的角. 由長(zhǎng)為，可知， 由長(zhǎng)為，可知，， 所以異面直線與所成的角的大小為. 4.（2016浙江文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的余弦值. 4.解析 （1）因?yàn)榇藥缀误w三棱臺(tái)，延長(zhǎng)可相交于一點(diǎn)，如圖所示. 因?yàn)槠矫?，平面為，，且，所以，因? 又因?yàn)?，可以求得? 所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則. 因?yàn)椋?，所以平? （2）因?yàn)槠矫妫允侵本€與

38、平面所成的角，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以.在中，，，得.所以直線與平面所成的角的余弦值為. 5.（2016天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，，，，為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 5.解析 （1）如圖所示，取的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且. 又因?yàn)椋?，所以且，即四邊形是平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面 （2）證明：在中，，，. 由余弦定理可得，進(jìn)而可得，即. 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平? 又因?yàn)槠矫?，所以平面平? （3）因?yàn)椋?/p>

39、所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角. 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示. 又因?yàn)槠矫嫫矫?，由?）知平面，所以直線與平面所成角即為. 在中，. 由余弦定理可得，所以. 因此. 在中，， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 2017年 1.（2017天津文17）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，，，. （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）求證：平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，由已知，故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫?，平面，所? 在中，由勾股定理，得，故. 所以異面直線與所成角的

40、余弦值為. （2）證明：因?yàn)槠矫?，直線平面，所以. 又因?yàn)椋? 又，且，所以平面. （3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角. 因?yàn)镻D⊥平面，平面，所以PD⊥，所以為在平面上的射影，所以為直線和平面所成的角. 因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所? 由，得. 因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所? 在中，由勾股定理得，所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 2.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）

41、如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，且. 又因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平? （2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 因?yàn)椋?，分別是，，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面. 過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，聯(lián)結(jié). 是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角. 設(shè).在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點(diǎn)，得. 在中，，，所以， 所以直線與平面所成角的正弦值是.