高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測（七）函數(shù)的奇偶性及周期性

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1、 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測（七） 函數(shù)的奇偶性及周期性 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．(2016·肇慶三模)在函數(shù)y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　y＝xcos x是奇函數(shù)，y＝lg和y＝xsin x是偶函數(shù)，y＝ex＋x2是非奇非偶函數(shù)，所以偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選B. 2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ex C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x 解析：選D　對(duì)于A，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不符合要求；對(duì)于B，f

2、(－x)≠－f(x)，故不符合要求；對(duì)于C，滿足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；對(duì)于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D. 3．(2017·江南十校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝x＋sin x(x∈R)，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在R上單調(diào)遞增 C．f(x)的值域?yàn)镽 D．f(x)是周期函數(shù) 解析：選D　因?yàn)閒(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)閒′(x)＝1＋cos x≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；

3、f(x)的值域?yàn)镽，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選D. 4．奇函數(shù)f(x)的周期為4，且x∈[0,2]，f(x)＝2x－x2，則f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值為________． 解析：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期為4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1 5．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)＝＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝______

4、__. 解析：∵f(x)為奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)＝＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0時(shí)，f(x)＝－(＋1)＝－－1. 答案：－－1 [練常考題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、選擇題 1．(2017·石家莊質(zhì)量檢測)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝ B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝ln |x| 解析：選B　A項(xiàng)，“是偶函數(shù)”與“在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”均不滿足，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，均滿足，B正確；C項(xiàng)，不滿足“是偶函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，不滿足“在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”．故

5、選B. 2．(2017·泰安模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：選A　設(shè)g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)為偶函數(shù)，則g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故選A. 3．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x

6、＋π)＝f(x)＋sin x．當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f(x)＝0，則f＝(　　) A. B. C．0 D．－ 解析：選A　∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故選A. 4．(2016·天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是(　　) A. B.∪ C. D. 解析：選C　因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)

7、，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜. 5．(2016·山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＞時(shí)，f＝f，則f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：選D　由題意知當(dāng)x＞時(shí)，f＝f，則f(x＋1)＝f(x)．又當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x3－1，

8、∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故選D. 6．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且f(2)＝4，則f(2 014)＝(　　) A．0 B．－4 C．－8 D．－16 解析：選B　由題可知，函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的圖象向左平移1個(gè)單位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的圖象，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴f(2 014)＝f(167×12

9、＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故選B. 二、填空題 7．(2017·揭陽模擬)已知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1)，則f＋lg 18＝________. 解析：由函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)得f＝f＝f＝－f， 又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1)， 所以f＝－f＝－lg＝lg， 故f＋lg 18＝lg＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：1 8．函數(shù)f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示為奇函數(shù)h(x)與偶函數(shù)g(x)的和，則g(0)＝________. 解析：由題意可知h(x)＋g

10、(x)＝ex＋x?、伲? 用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x， 因?yàn)閔(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)， 所以－h(huán)(x)＋g(x)＝e－x－x　②. 由(①＋②)÷2得g(x)＝， 所以g(0)＝＝1. 答案：1 9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析： ∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 答案：

11、(－2,1) 10．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x－1.則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 解析：依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝. 答案： 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)

12、＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1＜a≤3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 12．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．

13、 解：(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. (2)f(x)為偶函數(shù)． 證明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． (3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|)