數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試：第二部分 專題六 滿分示范課 Word版含解析

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1、 滿分示范課——函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問(wèn)題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)．對(duì)于這類綜合問(wèn)題，一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理． 【典例】　(滿分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)； (2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y＝ln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． [規(guī)

2、范解答]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)． 因?yàn)閒′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)單調(diào)遞增． 因?yàn)閒(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零點(diǎn)x1(e

3、x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處切線的斜率也是. 所以曲線y＝ln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． 高考狀元滿分心得 1．得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分．如第(1)問(wèn)中，求導(dǎo)正確，判斷單調(diào)性．利用零點(diǎn)存在定理，定零點(diǎn)個(gè)數(shù)．第(2)問(wèn)中，由f(x0)＝0定切點(diǎn)B，求切線的斜率． 2．得關(guān)鍵分：解題過(guò)程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，如第(1)問(wèn)中，求出f(x)的定義域，f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)性的判斷；第(2)問(wèn)中，找關(guān)系ln x0＝，判定兩曲線在點(diǎn)B處切線的斜率相等． 3．得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證． 如

4、第(1)問(wèn)中，求導(dǎo)f′(x)準(zhǔn)確，否則全盤皆輸，判定f(x1)＝－f＝0；第(2)問(wèn)中，正確計(jì)算kAB等，否則不得分． [解題程序]　第一步：求f(x)的定義域，計(jì)算f′(x)． 第二步：由f(x)在(1，＋∞)上的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理，判斷f(x)在(1，＋∞)上有唯一零點(diǎn)x0. 第三步：證明f＝0，從而f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)． 第四步：由第(1)問(wèn)，求直線AB的斜率k＝. 第五步：求y＝ex在點(diǎn)A、B處的切線斜率k＝，得證． 第六步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.718 28….

5、 (1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； (1)證明：由題意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0， 所以h(1)·h(2)＜0， 所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)． (2)解：由(1)可知，h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x. 由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)， 且h(0)＝0，則x＝0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn)． 又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)． h′(x)

6、＝ex－x－－1，記φ(x)＝ex－x－－1. 則φ′(x)＝ex＋x－， 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上遞增．易知φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)， 所以h(x)在[0，＋∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)， 所以方程f(x)＝g(x)的根的個(gè)數(shù)為2. 2．(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有<＋. (1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝. 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0

7、，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝－. 若x∈，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增； 若x∈，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)證明：由(1)知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足條件． 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極大值為f＝－ln(－a)， 由已知得－ln(－a)＝0，故a＝－1， 此時(shí)f(x)＝ln x－x＋1. 不妨設(shè)01)， 故g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞減， 所以g(x)