高三數學北師大版理一輪課后限時集訓：21 任意角、弧度制及任意角的三角函數 Word版含解析

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1、 任意角、弧度制及任意角的三角函數 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．角－870°的終邊所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的終邊相同，在第三象限．] 2．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α＝，則點P的坐標為(　　) A．(1，) B．(，1) C．(，) D．(1,1) D　[設P(x，y)，則sin α＝＝sin ，∴y＝1. 又cos α＝＝cos ，∴x＝1，∴P

2、(1,1)．] 3．已知角θ的終邊經過點P(4，m)，且sin θ＝，則m等于(　　) A．－3 B．3 C． D．±3 B　[sin θ＝＝，且m＞0，解得m＝3.] 4．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　[設扇形的半徑為R，則×4×R2＝2， ∴R＝1，弧度l＝4，∴扇形的周長為l＋2R＝6.] 5．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 A　[∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·co

3、s 3·tan 4＜0.] 二、填空題 6．若α＝1 560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________. 120°或－240°　[因為α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.] 7．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于________． 　[設扇形半徑為r，弧長為l， 則解得] 8．函數y＝的定義域為________． ，k∈Z　[利用三角函數線(如圖)， 由sin x≥，可知 2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.] 三、

4、解答題 9．若角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號． [解]　(1)因為角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 當a＞0時，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－. 當a＜0時，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝. (2)當a＞0時，sin θ＝∈， cos θ＝－∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0； 當a＜0時，sin θ＝－∈， cos θ＝∈， 則cos(sin θ)·

5、sin(cos θ)＝cos·sin ＞0. 綜上，當a＞0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負；當a＜0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為正． 10．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號． [解]　(1)因為sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合為. (2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z， 故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z， 當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角． 當k＝2n＋1

6、(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角， 綜上，的終邊在第二或第四象限． (3)當是第二象限角時， tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0， 故tan sin cos ＞0， 當是第四象限角時，tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0， 故tan sin cos ＞0， 綜上，tan sin cos 取正號． 1．點P的坐標為(2,0)，射線OP順時針旋轉2 010°后與圓x2＋y2＝4相交于點Q，則點Q的坐標為(　　) A．(－，) B．(－，1) C．(－1，) D．(1，－) B　[由題意可知Q(2cos(－2 010°)，2si

7、n(－2 010°))， 因為－2 010°＝－360°×6＋150°， 所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－， sin(－2 010°)＝sin 150°＝. 所以Q(－，1)，故選B.] 2.(2019·四川樂山、峨眉山二模)《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為，半徑長為4的弧田(如圖所示)，按照上述公式計算出弧田的面積為________． 4＋2　[由題意可得∠AOB＝，OA＝

8、4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.所以弧田面積＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.] 3．(亮點題)已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從A點出發(fā)，P沿著直線l向右，Q沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當Q運動到點A時，點P也停止運動，連接OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積S1，S2的大小關系是________． S1＝S2　[設運動速度為m，運動時間為t，圓O的半徑為r，則＝AP＝tm，根據切線的性質知OA⊥AP， ∴S1＝tm·r－S扇形AOB， S2＝tm

9、·r－S扇形AOB， ∴S1＝S2恒成立．] 4．已知＝－，且lg(cos α)有意義． (1)試判斷角α所在的象限； (2)若角α的終邊上一點M，且|OM|＝1(O為坐標原點)，求m的值及sin α的值． [解]　(1)由＝－，得sin α＜0， 由lg(cos α)有意義，可知cos α＞0， 所以α是第四象限角． (2)因為|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±. 又α為第四象限角，故m＜0， ∴m＝－，sin α＝＝＝－. 1．已知sin α＞sin β，那么下列命題成立的是(　　) A．若α，β是第一象限的角，則cos α＞cos β B．若α，β是

10、第二象限的角，則tan α＞tan β C．若α，β是第三象限的角，則cos α＞cos β D．若α，β是第四象限的角，則tan α＞tan β D　[如圖，當α在第四象限時，作出α，β的正弦線M1P1，M2P2和正切線AT1，AT2， 觀察知當sin α＞sin β時，tan α＞tan β. ] 2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動． (1)若點B的橫坐標為－，求tan α的值； (2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合； (3)若α∈，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式． [解]　(1)由題意可得B， 根據三角函數的定義得tan α＝＝－. (2)若△AOB為等邊三角形， 則∠AOB＝， 故與角α終邊相同的角β的集合為 . (3)若α∈，則S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α， 故弓形AB的面積 S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.