高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 空間向量及其運(yùn)算備考策略

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1、 空間向量及其運(yùn)算備考策略 主標(biāo)題：空間向量及其運(yùn)算備考策略 副標(biāo)題：通過考點(diǎn)分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。 關(guān)鍵詞：空間向量，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積，備考策略 難度：2 重要程度：4 內(nèi)容 考點(diǎn)一　空間向量的線性運(yùn)算 【例1】 如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為________________． 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋－ ＝＋×(＋)－× ＝＋＋， 又＝x＋y＋z， 根據(jù)空間向量的基本定理，x＝，y＝z

2、＝. 答案　，， 【備考策略】 (1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量． (2)首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．所以在求若干向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和． 【訓(xùn)練1】 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且＝，試用，，表示. 解?。剑? ＝＋＝＋(＋) ＝＋＋ ＝－－. 考點(diǎn)二　共線定理、共面定理的應(yīng)用

3、 【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證： (1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)BD∥平面EFGH. 證明　(1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑剑?－)＝，因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 【備考策略】 證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明＝x＋y或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y

4、＋z＝1)即可．共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件． 【訓(xùn)練2】 已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足＝(＋＋)． (1)判斷，，三個(gè)向量是否共面； (2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)． 解　(1)由已知＋＋＝3 ， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，，共面且基線過同一點(diǎn)M， ∴四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi). 考點(diǎn)三　空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 【例3】 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求BD的長(zhǎng)． 思路　由圖形折疊的相關(guān)知識(shí)得到折疊后圖形中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，然后用，，表示，根據(jù)||＝求解． 解　∵AB與CD成60°角，∴<，>＝60°或120°， 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB， ∴||＝＝ ＝ ＝ ＝， ∴||＝2或. ∴BD的長(zhǎng)為2或. 【備考策略】 (1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算． (2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問題． ①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0； ②|a|＝； ③cos＝.