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1、
課時分層訓練(二)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
1．(2016·江蘇高考)(1)求7C－4C的值；
(2)設m，n∈N＋，n≥m，求證：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.
[解] (1)7C－4C＝7×－4×＝0.
(2)證明：當n＝m時，結(jié)論顯然成立．
當n>m時，(k＋1)C＝＝(m＋1)·
＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.
又因為C＋C＝C，
所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[
2、(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]
＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]
＝(m＋1)C.
2．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有多少種？ 【導學號：62172320】
[解] 贈送1本畫冊，3本集郵冊．需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有C種方法．
贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有C種方法．
由分類加法計數(shù)原理，不同的贈送方法有C＋C＝10種．
3．將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人
3、，且甲、乙在同一路口的分配方案共有多少種？
[解] 1個路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA種.1個路口1人，2個路口各2人的分配方法有CCA種，
由分類計數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CCA＋CCA＝36種．
4．男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)至少有1名女運動員；
(2)既要有隊長，又要有女運動員．
[解] (1)法一：至少有1名女運動員包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為
CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)．
法二：“至少
4、有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解．
從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種．
所以“至少有1名女運動員”的選法為C－C＝246(種)．
(2)當有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法．
不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法．其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時共有C－C種選法，所以既有隊長又有女運動員的選法共有C＋C－C＝191(種)．
5．7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？
(1)兩個女生必須相鄰而站；
(2)4名男生互不相鄰；
(3)老師不站中間，女生甲不站左
5、端. 【導學號：62172321】
[解] (1)∵兩個女生必須相鄰而站，
∴把兩個女生看做一個元素，
則共有6個元素進行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列共有AA＝1 440種站法．
(2)∵4名男生互不相鄰，
∴應用插空法，
對老師和女生先排列，形成四個空再排男生共有AA＝144種站法．
(3)當老師站左端時其余六個位置可以進行全排列共有A＝720種站法．
當老師不站左端時，老師有5種站法，女生甲有5種站法，余下的5個人在五個位置進行排列共有A×5×5＝3 000種站法．根據(jù)分類計數(shù)原理知共有720＋3 000＝3 720種站法．
6．用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有
6、重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有多少個？
[解] 個位、十位和百位上的數(shù)字為3個偶數(shù)的有CAC＋AC＝90(個)；個位、十位和百位上的數(shù)字為1個偶數(shù)2個奇數(shù)的有CAC＋CCAC＝234(個)，所以共有90＋234＝324(個)．
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．設有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入五個盒子內(nèi)．
(1)只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？
(2)沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？
(3)每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒
7、子編號是相同的，有多少種投放方法？
[解] (1)CA＝1 200種；(2)A－1＝119種．
(3)滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種；
第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種；
第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：10種；
第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法，2C＝20種．
故滿足條件的放法數(shù)為：1＋10＋20＝31種．
2．(1)3人坐在有八個座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數(shù)為幾種？
(2)現(xiàn)有10個保送上大學的名額，分配給7所學校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？
[解] (1)由題
8、意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有A＝24種．
(2)法一：每個學校至少一個名額，則分去7個，剩余3個名額分到7所學校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù)，分類：若3個名額分到一所學校有7種方法；
若分配到2所學校有C×2＝42種；
若分配到3所學校有C＝35種．
∴共有7＋42＋35＝84種方法．
法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當于用6塊檔板插在9個間隔中，共有C＝84種不同方法．
所以名額分配的方法共有84種．
3．(2017·南京模擬)已知整數(shù)n≥3，集合M＝{1,2,
9、3，…，n}的所有含有3個元素的子集記為A1，A2，A3，…，AC，設A1，A2，A3，…，AC中所有元素之和為Sn.
(1)求S3，S4，S5，并求出Sn；
(2)證明：S3＋S4＋…＋Sn＝6C.
[解] (1)當n＝3時，集合M只有1個符合條件的子集，
S3＝1＋2＋3＝6，
當n＝4時，集合M每個元素出現(xiàn)了C次．
S4＝C(1＋2＋3＋4)＝30.
當n＝5時，集合M每個元素出現(xiàn)了C次，
S5＝C(1＋2＋3＋4＋5)＝90.
所以 ，當集合M有n個元素時，每個元素出現(xiàn)了C，故Sn＝C·.
(2)證明：因為Sn＝C·＝＝6C.
則S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6(C
10、＋C＋C＋…＋C)
＝6(C＋C＋C＋…＋C)＝6C.
4．(2017·蘇州期末)如圖58-1，由若干個小正方形組成的k層三角形圖陣，第一層有1個小正方形，第二層有2個小正方形，依此類推，第k層有k個小正方形．除去最底下的一層，每個小正方形都放置在它下一層的兩個小正方形之上．現(xiàn)對第k層的每個小正方形用數(shù)字進行標注，從左到右依次記為x1，x2，…，xk，其中xi∈{0,1}(1≤i≤k)，其它小正方形標注的數(shù)字是它下面兩個小正方形標注的數(shù)字之和，依此規(guī)律，記第一層的小正方形標注的數(shù)字為x0.
圖58-1
(1)當k＝4時，若要求x0為2的倍數(shù)，則有多少種不同的標注方法？
(2)當k
11、＝11時，若要求x0為3的倍數(shù)，則有多少種不同的標注方法？
[解] (1)當k＝4時，第4層標注數(shù)字依次為x1，x2，x3，x4，第3層標注數(shù)字依次為x1＋x2，x2＋x3，x3＋x4，第2層標注數(shù)字依次為x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4，
所以x0＝x1＋3x2＋3x3＋x4.
因為x0為2的倍數(shù)，所以x1＋x2＋x3＋x4是2的倍數(shù)，則x1，x2，x3，x4四個都取0或兩個取0兩個取1或四個都取1，所以共有1＋C＋1＝8種標注方法.
(2)當k＝11時，第11層標注數(shù)字依次為x1，x2，…，x11，第10層標注數(shù)字依次為x1＋x2 ，x2＋x3，…，x10＋x11，第9層標注數(shù)字依次為x1＋2x2＋x3，x2＋2x3＋x4，…，x9＋2x10＋x11，以此類推，可得x0＝x1＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx10＋x11.
因為C＝C＝45，C＝C＝120，C＝C＝210，C＝252均為3的倍數(shù)，所以只要x1＋Cx2＋Cx10＋x11是3的倍數(shù)，即只要x1＋x2＋x10＋x11是3的倍數(shù)，
所以x1，x2，x10，x11四個都取0或三個取1一個取0，而其余七個x3，x4，…，x9可以取0或1，這樣共有(1＋C)
×27＝640種標注方法．
高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第1章 第58課 課時分層訓練2
