三年高考（2014-2016）數學（理）真題分項版解析—— 專題03 導數

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1、 三年高考（2014-2016）數學（理）試題分項版解析 第三章 導數 一、 選擇題 1. 【2016高考山東理數】若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質.下列函數中具有T性質的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考點：1.導數的計算；2.導數的幾何意義. 【名師點睛】本題主要考查導數的計算、導數的幾何意義及兩直線的位置關系，本題給出常見的三角函數、指數函數、對數函數、冪函數，突出了高考命題注重基礎的原則.解答本題，關鍵在于將直線的位置關系與直線的斜率、切點處的導數值相聯(lián)系，使問題加以轉化，利用特殊化思想

2、解題，降低難度.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力及轉化與化歸思想的應用等. 2. 【2016年高考四川理數】設直線l1，l2分別是函數f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 試題分析：設（不妨設），則由導數的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點為，，，．故選A． 考點：1.導數的幾何意義；2.兩直

3、線垂直關系；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值范圍. 【名師點睛】本題首先考查導數的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關系，同時得出切線方程，從而得點坐標，由兩直線相交得出點坐標，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍．解決本題可以是根據題意按部就班一步一步解得結論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用． 3.【2014新課標，理12】設函數.若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考點定位】利用導數研究函數的極值 【名師點睛】本題主要考查

4、了正弦函數的圖象和性質，函數極值點的含義，函數的零點的定義，體現了轉化的數學思想，屬于中檔偏難題. 4. 【2014新課標，理8】設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因為，所以切線的斜率為，解得，故選D。 【考點定位】導數的幾何意義. 【名師點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，導數公式及求導法則；本題屬于基礎題，解決本題的關健在于正確求出已知函數的導數. 5. (2014山東，理6)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖

5、形的面積為(　　)． A． B． C．2 D．4 答案：D 解析：由解得x＝－2或x＝0或x＝2， 所以直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖形面積應為. 【名師點睛】本題考查定積分的應用，解答此類題的關鍵是明確圍成封閉圖形的曲線，即明確被積函數，應用定積分計算面積. 本題是一道基礎題，考查定積分的應用等基礎知識，同時考查考生的計算能力及應用數學知識，解決問題的能力. 6. 【2014陜西理3】定積分的值為（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：，故選. 考點：定積分. 【名師點晴】本

6、題主要考查的是定積分，屬于容易題.解題時只要正確應運求定積分的運算步驟，準確寫出原函數的解析式，一般就不容易出現錯誤. 7. 【2014陜西理10】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降， 已知下降飛行軌跡為某三次函數圖像的一部分，則函數的解析式為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考點：函數的解析式. 【名師點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的性質，函數的解析式等知識，屬于難題.解題時要認真理解題意，“已知下降飛行軌跡為某三

7、次函數圖像的一部分”，確定函數為三次函數，然后由已知函數圖像，將圖像語言轉化為數學語言，，，，從而確定出參數 8. 【2015福建理10】若定義在上的函數 滿足 ，其導函數 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構造函數，則，故函數在上單調遞增，且，故，所以，，所以結論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構造函數，則，所以函數在上單調遞增，且，所以，即，，選項A,B無法判斷，故選C． 【考點定位】函數與導數． 【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等

8、式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 9. 【2015新課標1理12】設函數=,其中a1，若存在唯一的整數，使得0，則的取值范圍是（ ） (A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 【答案】D 【解析】設=，，由題知存在唯一的整數，使得在直線的下方. 因為，所以當時，＜0，當時，＞0，所以當時，=， 當時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 【考點定位】本題主要通過利用導數研究函數的圖像與性質解決不等式成立問題 【名師點

9、睛】對存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉化為參數小于某個函數（或參數大于某個函數），則參數該于該函數的最大值（大于該函數的最小值）；思路2：數形結合，利用導數先研究函數的圖像與性質，再畫出該函數的草圖，結合圖像確定參數范圍，若原函數圖像不易做，常化為一個函數存在一點在另一個函數上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路. 10. 【2015課標2理12】設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 【考點定位】導數的應用、函數的圖象與性質． 【名師點睛】聯(lián)系已

10、知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題． 11. 【2015陜西理12】對二次函數（為非零常數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（ ） A．是的零點 B．1是的極值點 C．3是的極值 D. 點在曲線上 【答案】A 【解析】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線

11、上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A． 【考點定位】1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值． 【名師點晴】本題主要考查的是函數的零點和利用導數研究函數的極值，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”和“錯誤”，否則很容易出現錯誤．解推斷結論的試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導論證外，利用特殊值進行檢驗，也可作必要的合情推理． 二、填空題 1. 【2016高考新課標3理數】已知為偶函數，當時，，則曲線 在點處的切線方程是_______________． 【答案】 【解析】 試題分析：當時，，則．

12、又因為為偶函數，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即． 考點：1、函數的奇偶性與解析式；2、導數的幾何意義． 【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數，則當時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數為偶函數，則當時，函數的解析式為；若為奇函數，則函數的解析式為． 2. 【2014廣東理10】曲線在點處的切線方程為 . 【答案】或. 【解析】，所求切線的斜率為， 故所求切線的方程為，即或. 【考點定位】本題考查利用導數求函數圖象的切線問題，屬于容易題. 【名師點晴】本題主要考查的是導數的幾何意義和直線的方程，屬于容易題．解題時一定要抓住重要

13、字眼“在點處”，否則很容易出現錯誤．解導數的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：①切點在曲線上；②切點在切線上；③切點處的導數值等于切線的斜率． 3. 【2014江蘇理11】在平面直角坐標系中，若曲線（為常數）過點，且該曲線在點處的切線與直線平行，則 . 【答案】 【解析】曲線過點，則①，又，所以②，由①②解得所以． 【考點定位】導數與切線斜率． 【名師點晴】導數的幾何意義是每年高考的重點，求解時應把握導數的幾何意義是切點處切線的斜率，利用這一點可以解決有關導數的幾何意義等問題.歸納起來常見的命題角度有： (1)求切線方程；(2)求切點坐標；3)求參數的值. 4.

14、 【2015湖南理11】 . 【答案】. 【解析】 試題分析：. 【考點定位】定積分的計算. 【名師點睛】本題主要考查定積分的計算，意在考查學生的運算求解能力，屬于容易題，定積分的計算通常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解. 5. 【2015陜西理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 ． 【答案】 【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示： 原始的最大流量是，設拋物線的方程為（），因為該拋物線過點，所以，解得，所以

15、，即，所以當前最大流量是，故原始的最大流量與當前最大流量的比值是，所以答案應填：． 【考點定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義． 【名師點晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“原始”和“當前”，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是定積分的幾何意義，即由直線，，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是． 6. 【2015天津理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 . 【答案】 【解析】在同一坐標系內作出兩個函數的圖象，解議程組得兩曲線的交點坐標為，由圖可知峽谷曲線所圍成的封閉圖

16、形的面積 . 【考點定位】定積分幾何意義與定積分運算. 【名師點睛】本題主要考查定積分幾何意義與運算能力.定積分的幾何意義體現數形結合的典型示范，既考查微積分的基本思想又考查了學生的作圖、識圖能力以及運算能力. 三、解答題 1【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）已知函數有兩個零點. (I)求a的取值范圍； (II)設x1,x2是的兩個零點,證明：. 【答案】 試題解析;（Ⅰ）． （i）設,則,只有一個零點． （ii）設,則當時,；當時,．所以在上單調遞減,在上單調遞增． 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個零點． （iii）設,由得或． 若,則,故當

17、時,,因此在上單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 若,則,故當時,；當時,．因此在單調遞減,在單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設,由（Ⅰ）知,,在上單調遞減,所以等價于,即． 由于,而,所以 ． 設,則． 所以當時,,而,故當時,． 從而,故． 考點：導數及其應用 【名師點睛】,對于含有參數的函數單調性、極值、零點問題,通常要根據參數進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；,解決函數不等式的證明問題的思路是構造適當的函數,利用導數研究函數的單調性或極值破解. 2. 【2016高考山東理數】(本小題滿分13分)

18、 已知. （I）討論的單調性； （II）當時，證明對于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導函數，對a進行分類討論，求的單調性； （Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據單調性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域為； . 當， 時，，單調遞增； ，單調遞減. 當時，. （1），， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減； （2）時，，在內，，單調遞增； （3）時，， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減. 綜上所述， 當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減； 當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；

19、當時，在內單調遞增； 當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時， ，， 令，. 則， 由可得，當且僅當時取得等號. 又， 設，則在單調遞減， 因為， 所以在上存在使得 時，時，， 所以函數在上單調遞增；在上單調遞減， 由于，因此，當且僅當取得等號， 所以， 即對于任意的恒成立。 考點：1.應用導數研究函數的單調性、極值；2.分類討論思想. 【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函數的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討

20、論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等. 3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數. 設. （1）求方程的根; （2）若對任意,不等式恒成立，求實數的最大值； （3）若，函數有且只有1個零點，求的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 試題解析：（1）因為，所以. ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因為對于恒成立，且， 所以對于恒成立. 而，且， 所以，故實數的最大值為4. （2）因為函數只有1個零點，而， 所以0是函數的唯一

21、零點. 因為，又由知， 所以有唯一解. 令，則， 從而對任意，，所以是上的單調增函數， 于是當，；當時，. 因而函數在上是單調減函數，在上是單調增函數. 下證. 若，則，于是， 又，且函數在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數的唯一零點”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 考點：指數函數、基本不等式、利用導數研究函數單調性及零點 【名師點睛】對于函數零點個數問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數

22、的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關系，要充分利用零點存在定理及函數單調性嚴格說明函數零點個數. 4. 【2016高考天津理數】（本小題滿分14分） 設函數,，其中 (I)求的單調區(qū)間； (II) 若存在極值點，且，其中，求證：； （Ⅲ）設，函數，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數的導數：，再根據導函數零點是否存在情況，分類討論：①當時，有恒成立，所以的單調增區(qū)間為.②當時，存在三個單調區(qū)間 試題

23、解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分兩種情況討論： （1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為. （2）當時，令，解得，或. 當變化時，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即， 進而. 又 ，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足 ，且，因此，所以； （Ⅲ）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況同理： （1）當時，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞減，所以

24、在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ，所以. （2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . 考點：導數的運算，利用導數研究函數的性質、證明不等式 【名師點睛】1.求可導函數單調區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導函數f′(x)； (3)在函數f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數f(x)的單調增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數時，可分類討論求得單調區(qū)間． 2．由函數f(x)在(a，b)上的單調性，求參數范圍問題，

25、可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 5．(本小題滿分14分)設函數f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R). (1)當k＝1時,求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)當k∈時,求函數f(x)在[0,k]上的最大值M. 【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析 【解析】(1)當k＝1時, f(x)＝(x－1)ex－x2,f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln 2, 當x變化時,f′(x),f(x)的變化如下表： x (－∞,0) 0 (0,ln 2) l

26、n 2 (ln 2,＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 由表可知,函數f(x)的遞減區(qū)間為(0,ln 2),遞增區(qū)間為(－∞,0),(ln 2,＋∞). (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln(2k), 令g(k)＝ln(2k)－k,k∈, 則g′(k)＝－1＝≥0, 所以g(k)在上單調遞增. 所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0. 從而ln(2k)＜k,所以ln(2k)∈(0,k). 所以當x∈(0,ln(2k)

27、)時,f′(x)＜0； 當x∈(ln(2k),＋∞)時,f′(x)＞0； 所以M＝max{f(0),f(k)} ＝max{－1,(k－1)ek－k3}. 令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1, 則h′(k)＝k(ek－3k), 令φ(k)＝ek－3k,則φ′(k)＝ek－3≤e－3＜0. 所以φ(k)在上單調遞減, 而·φ(1)＝(e－3)＜0, 所以存在x0∈使得φ(x0)＝0,且當k∈時,φ(k)＞0, 當k∈(x0,1)時,φ(k)＜0, 所以φ(k)在上單調遞增,在(x0,1)上單調遞減. 因為,h(1)＝0, 所以h(k)≥0在上恒成立,當且僅當k＝1時取得

28、“＝”. 綜上,函數f(x)在[0,k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3. 【考點定位】本題考查導數的應用,屬于拔高題 【名師點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“單調區(qū)間”，否則很容易出現錯誤．利用導數求函數的單調區(qū)間的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間．求函數在上的最大值與最小值的步驟：①求函數在內的極值；②將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 6. 【2016高考新課標3理數】設函數，其中，記的

29、最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分兩種情況，結合三角函數的有界性求出，但須注意當時還須進一步分為兩種情況求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三種情況證明． 試題解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）當時， 因此，． ………4分 當時，將變形為． 令，則是在上的最大值，，，且當時，取得極小值，極小值為． 令，解得（舍去），． （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 當時，. 當時，，所以. 當時，，所以. 考點：1、三角恒等變換；2、導數的計算；3、三角函數的有界性． 【歸納總結】

30、求三角函數的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導公式將解析式化為形如的形式；（2）結合自變量的取值范圍，結合正弦曲線與余弦曲線進行求解． 7. 【2016高考浙江理數】（本小題15分）已知，函數F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， 其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍； （II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（I）；（II）（i）；（ii）． 【解析】 試題分析：（I）分別對和兩種情況討論，進而可得使得

31、等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數，的最小值，再根據的定義可得的最小值；（ii）分別對和兩種情況討論的最大值，進而可得在區(qū)間上的最大值． 試題解析：（I）由于，故 當時，， 當時，． 所以，使得等式成立的的取值范圍為 ． （II）（i）設函數，，則 ，， 所以，由的定義知，即 ． （ii）當時， ， 當時， ． 所以， ． 考點：1、函數的單調性與最值；2、分段函數；3、不等式． 【思路點睛】（I）根據的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數和的最小值，再根據的定義可得；（ii）根據的取值范圍求出的最大值，進而可得．

32、8. 【2016高考新課標2理數】(Ⅰ)討論函數的單調性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數有最小值.設的最小值為，求函數的值域． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求定義域，用導數法求函數的單調性，當時，證明結論；（Ⅱ）用導數法求函數的最值，在構造新函數，又用導數法求解. （II） 由（I）知，單調遞增，對任意 因此，存在唯一使得即， 當時，單調遞減； 當時，單調遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調遞增 所以，由得 因為單調遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當時，有，的值域是 考點： 函數的

33、單調性、極值與最值. 【名師點睛】求函數單調區(qū)間的步驟： (1)確定函數f(x)的定義域； (2)求導數f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應的x的范圍． 當f′(x)＞0時，f(x)在相應的區(qū)間上是增函數；當f′(x)＜0時，f(x)在相應的區(qū)間上是減函數，還可以列表，寫出函數的單調區(qū)間． 注意：求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論；另外注意函數最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念． 9【2016年高考北京理數】（本小題13分） 設函數，曲線在點處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調區(qū)間.

34、【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區(qū)間為. 【解析】 試題分析：（1）根據題意求出，根據，，求，的值； （2）由題意知判斷，即判斷的單調性，知，即，由此求得的單調區(qū)間. 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調遞增區(qū)間為. 考點：導數的應用. 【名師點睛】用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區(qū)間．在對函數劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內的間斷點． 10. 【2016年高考四川理數】（本小題滿分14分） 設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

35、 （Ⅰ）討論f(x)的單調性； （Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內恒成立(e=2.718…為自然對數的底數). 【答案】（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，>0，單調遞增；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（I） <0，在內單調遞減. 由=0，有. 此時，當時，<0，單調遞減； 當時，>0，單調遞增. （II）令=，=. 則=. 而當時，>0， 所以在區(qū)間內單調遞增. 又由=0，有>0， 從而當時，>0. 當，時，=. 故當>在區(qū)間內恒成立時，必有. 當時，>1. 由（I）有,從而， 所以此時>在區(qū)間內不恒成立. 當時，令， 當時，，

36、 因此，在區(qū)間單調遞增. 又因為，所以當時， ，即 恒成立. 綜上，． 考點：導數的計算、利用導數求函數的單調性，最值、解決恒成立問題. 【名師點睛】本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性，最值、解決恒成立問題，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力．求函數的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明函數不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數的單調性．本題中注意由于函數有極小值沒法確定，因此要利用已經求得的結論縮小參數取值范圍．比較新穎，學生不易想到．有一定的難度． 11. 【2014安徽理18】（本小題滿分12分） 設函數,其中． （1）

37、討論在其定義域上的單調性； （2） 當時，求取得最大值和最小值時的的值． 【答案】（1）在和內單調遞減，在內單調遞增；（2）所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 【解析】 試題分析：（1）對原函數進行求導，，令，解得，當或時；從而得出，當時，．故在和內單調遞減，在內單調遞增．（2）依據第（1）題，對進行討論，①當時，，由（1）知，在上單調遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當時，．由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，因此在處取得最大值．又，所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 試題解析：（1）的

38、定義域為，．令，得，所以．當或時；當時，．故在和內單調遞減，在內單調遞增． （2） 因為，所以． ①當時，，由（1）知，在上單調遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當時，．由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，因此在處取得最大值．又，所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 考點：1．含參函數的單調性；2．含參函數的最值求解． 【名師點睛】含參函數的單調性求解步驟如下：第一步，求函數的定義域；第二步，求導函數；第三步，以導函數的零點存在性進行討論；第四步，當導函數存在多個零點時，討論它們的大小關系及區(qū)間位置關系；第五步，畫出導函數的同號函數草

39、圖，從而判斷其導函數的符號；第六步，根據第五步的草圖列出，隨變化的情況表，寫出函數的單調區(qū)間；第七步，綜合上述討論的情形，完整地寫出函數的單調區(qū)間. 12. 【2014北京理18】(本小題13分)已知函數f(x)＝xcos x－sin x，. (1)求證：f(x)≤0； (2)若對恒成立，求a的最大值與b的最小值． 分析：(1)先求出導函數f′(x)，利用導函數在上的符號判斷f(x)在上的單調性，并求 出其最大值，即可證得結論；(2)根據x＞0，將不等式轉化為整式不等式，進而轉化為 與0的大小關系，注意對參數c的取值要分c≤0，c≥1和0＜c＜1三種 情況進行分類討論，然后利用邊

40、界值求出a的最大值與b的最小值． 解析：(1)證明：由f(x)＝xcos x－sin x得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 因為在區(qū)間上f′(x)＝－xsin x＜0，所以f(x)在區(qū)間上單調遞減． 從而f(x)≤f(0)＝0. (2)解：當x＞0時，“”等價于“sin x－ax＞0”；“”等價于“sin x－bx＜0”． 令g(x)＝sin x－cx，則g′(x)＝cos x－c. 當c≤0時，g(x)＞0對任意恒成立． 當c≥1時，因為對任意，g′(x)＝cos x－c＜0， 所以g(x)在區(qū)間上單調遞減． 從而g(x)＜g(0)＝0對任

41、意恒成立． 當0＜c＜1時，存在唯一的使得g′(x0)＝cos x0－c＝0. g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下： x (0，x0) x0 \a\vs4\al\co1(x0，\f(π2)) g′(x) ＋ 0 － g(x) 因為g(x)在區(qū)間[0，x0]上是增函數， 所以g(x0)＞g(0)＝0. 進一步，“g(x)＞0對任意恒成立”當且僅當，即. 綜上所述，當且僅當時，g(x)＞0對任意恒成立；當且僅當c≥1時，g(x)＜0對任意 恒成立． 所以，若對任意恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1. 考點定位：本題考點為導數的應用，利用導數工

42、具研究函數，主要考查利用導數研究函數的單調性、 最值，本題還涉及構造函數，利用構造的函數解決問題. 【名師點睛】本題本題考點為導數的應用，本題屬于中偏難問題，學生解答有一定的困難，分兩步，第 一步為利用導數研究函數單調性，進而求最值，利用最值證明不等式，這是一步常規(guī)題，容易入手容易 得分，但第二步構造函數解題較難，近幾年高考在導數命題上難度較大，命題方向也較多，常常要構造 函數，思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學生的功能. 13. 【2014福建,理20】（本小題滿分14分） 已知函數（為常數）的圖象與軸交于點，曲線在點處 的切線斜率為-1. （I）求的值及函數的極值； （II）證明：

43、當時，； （III）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有. 【答案】（I）,極值參考解析;（II）參考解析;（III）參考解析 【解析】 試題解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值. （II）令,則.由（I）得,故在R上單調遞增,又,因此,當時, ,即. （III）①若,則.又由（II）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有. ②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒

44、有. 綜上，對任意給定的正數c，總存在,當時,恒有. 解法三: （I）同解法一. （II）同解法一. （III）首先證明當時,恒有.證明如下:令則.由（II）知,當時, .從而在單調遞減,所以即.取,當時,有.因此,對任意給定的正數,總存在,當時,恒有. 注:對c的分類不同有不同的方式，只要解法正確，均相應給分. 考點：1.函數的極值.2.構建新函數證明不等式.3.開放性題.4.導數的綜合應用.5.運算能力.6.分類討論的數學思想. 【名師點睛】本題把導數的幾何意義、極值、不等式證明結合在一起考查，綜合性強，難度大，后兩問涉及到不等式證明，利用導數證明不等式是近幾年高考的一個熱點

45、,解決此類問題的基本思路是構造適當的函數,利用導數研究函數的單調性和極值破解. 14. 【2014廣東理21】(本小題滿分14分)設函數，其中. (1)求函數的定義域(用區(qū)間表示)； (2)討論函數在上的單調性； (3)若，求上滿足條件的的集合(用區(qū)間表示). 【答案】(1)； (2) 函數在，上單調遞增， 在，上單調遞減； (3) . 【解析】(1)可知， ， 或， 或， 或， 或或， 所以函數的定義域為 ； (2)， 由得，即， 或，結合定義域知或， 所以函數在，上單調遞增， 在，上單調遞減； (3)由得， ， ， ， 或或或， ，，

46、， ，， 結合函數的單調性知的解集為 . 【考點定位】本題以復合函數為載體，考查函數的定義域.單調區(qū)間以及不等式的求解，從中滲透了二次不等式的求解，在求定義域時考查了分類討論思想，以及利用作差法求解不等式的問題，綜合性強，屬于難題. 【名師點晴】本題主要考查的是函數的定義域、函數的單調區(qū)間和解不等式，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“單調性”和“用區(qū)間表示”，否則很容易出現錯誤．利用導數求函數的單調區(qū)間的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間． 15. 【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】（本題滿分

47、14分） 為圓周率，為自然對數的底數. （1）求函數的單調區(qū)間； （2）求，，，，，這6個數中的最大數與最小數； （3）將，，，，，這6個數按從小到大的順序排列，并證明你的結論. 【答案】（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）最大數為，最小數為；（3），，，，，. 【解析】 試題分析：（1）先求函數的定義域，用導數法求函數的單調區(qū)間；（2）利用（1）的結論結合函數根據函數、、的性質，確定，，，，，這6個數中的最大數與最小數；（3）由（1），（2）的結論只需比較與和與的大小，時，，即，在上式中，令，又，則，即得，整理得，估算的值，比較與3的大小，從而確定與

48、的大小關系，再根據，確定與的大小關系，最后確定6個數從小到大的順序. （2）因為，所以，，即，， 于是根據函數、、在定義域上單調遞增， 所以，， 故這6個數的最大數在與之中，最小數在與之中， 由及（1）的結論得，即， 由得，所以， 由得，所以， 綜上，6個數中的最大數為，最小數為. （3）由（2）知，，，又由（2）知，， 故只需比較與和與的大小， 由（1）知，當時，，即， 在上式中，令，又，則，即得① 由①得，， 即，亦即，所以， 又由①得，，即，所以， 綜上所述，，即6個數從小到大的順序為，，，，，. 考點：導數法求函數的單調性、單調區(qū)間，對數函數的性質

49、，比較大小. 【名師點睛】作為一道壓軸大題，以函數作為主線，重點考查導數在研究函數的單調性與極值中的應用，其解題思路為：第一問直接對函數進行求導并分別令導數大于0、小于0即可求出相應的單調區(qū)間；第二問 運用函數、、在定義域上單調性及（1）的結論構造不等式逐個進行比較，確定出其最大的數和最小的數即可；第三問合理地運用第一問的結論，運用賦值法建立不等關系，進而判斷其大小關系即可. 16. 【2014湖南理22】已知常數,函數. (1)討論在區(qū)間上的單調性; (2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍. 【答案】(1)詳見解析 (2) 【解析】 試題分析:(1)首先對函數求導并化簡得

50、到導函數,導函數的分母恒大于0,分子為含參的二次函數,故討論分子的符號,確定導函數符號得到原函數的單調性,即分和得到導函數分子大于0和小于0的解集進而得到函數的單調性. (2)利用第(1)可得到當時,導數等于0有兩個根,根據題意即為兩個極值點,首先導函數等于0的兩個根必須在原函數的可行域內,把關于的表達式帶入,得到關于的不等式,然后利用導函數討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題. 試題解析:(1)對函數求導可得 ,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數在單調遞增,當時, ,則函數在區(qū)間單調遞減,在單調遞增的. (2)函數的定義域為,由(1)可得當時,,則 ,即,則為函數的兩個極值點,

51、代入可得 = 令,令,由知: 當時,, 當時,, 當時,,對求導可得,所以函數在上單調遞減,則,即不符合題意. 當時, ,對求導可得,所以函數在上單調遞減,則,即恒成立, 綜上的取值范圍為. 【考點定位】利用導數研究函數的性質 【名師點睛】本題主要考查學生對含有參數的函數的單調性及極值的判斷，考查利用導數判斷函數的單調性及求極值的能力，考查分類討論思想及轉化劃歸思想的運用和運算能力，邏輯性綜合性強，屬難題．1．函數的單調性在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數． f′(x)≤0?f(x)

52、在(a，b)上為減函數． 2．函數的極值(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為

53、極值． 3．函數的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值． 4．重難點剖析：(1)f′(x)>0與f(x)為增函數的關系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數，但反之不一定．如函數f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數的充分 不必要條件．(2)可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，即

54、f′(x0)＝0是可導函數f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件．例如函數y＝x3在x＝0處有y′|x＝0＝0，但x＝0不是極值點．此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點． (3)可導函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區(qū)間上的情況，是對函數在整個區(qū)間上的函數值的比較． 17. 【2014江蘇理19】（滿分16分）已知函數，其中是自然對數的底數. （1）證明：是上的偶函數； （2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍； （3）已知正數滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結論. 【答案】（1）證明見解析；（2）

55、；（3）當時，，當時，，當時，． 【解析】 （3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當時，（因為），故函數在上增函數，，于是在上有解，等價于，即．考察函數，，當時，，當時，，當時，即在上是增函數，在上是減函數，又，，，所以當時，，即，，當時，，，即，，因此當時，，當時，，當時，． 【考點定位】（1）偶函數的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數的交匯；（3）導數與函數的單調性，比較大?。? 【名師點晴】解決含參數問題及不等式問題中的兩個轉化 1．利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用． 2．將不等式的證明、方程根的個數的

56、判定轉化為函數的單調性、極值問題處理． 18. 【2014遼寧理21】（本小題滿分12分） 已知函數，. 證明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且對（1）中的. 【答案】（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）當時，，函數在上為減函數，又，所以存在唯一，使.（Ⅱ）考慮函數，令，則時，， 記，則 ，有（Ⅰ）得，當時，，當時，.在上是增函數，又，從而當時，，所以在上無零點.在上是減函數，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因為當時，，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.因，所以，即命題得證. 試題解析：（Ⅰ）當時，，函數在

57、上為減函數，又，所以存在唯一，使. （Ⅱ）考慮函數， 令，則時，， 記，則 ， 因，所以 考點：1.零點唯一性的判斷；2.函數的單調性的應用. 【名師點睛】本題考查應用導數研究函數的性質、零點唯一性的判斷、不等式的證明等.解答本題的主要困難是構造函數，并進一步應用導數研究函數的單調性等. 本題是一道能力題，屬于難題.在考查應用導數研究函數的性質、零點唯一性的判斷、不等式的證明等基礎知識、基本方法的同時，考查考生的計算能力、應用數學知識分析問題解決問題的能力，考查轉化與化歸思想想. 19. 【2014全國1理21】（12分）設函數，曲線在點處的切線方程為 （I）求 （II）證

58、明： 【答案】（I）；（II）詳見解析. 【解析】 試題解析：（I）函數的定義域為．． 由題意可得，．故． （II）由（I）知，，從而等價于，設函數，則．所以當時，；當時，．故在遞減，在遞增，從而在的最小值為．設，則．所以當時，；當時，．故在遞增，在遞減，從而在的最大值為．綜上，當時，，即． 【考點定位】1、導數的幾何意義；2、利用導數判斷函數的單調性；3、利用導數求函數的最值． 【名師點睛】本題主要靠導數的幾何意義、不等式的證明，考查分類討論思想，意在考查考生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.導函數解答題中貫穿始終的數學思想方法，在含有參數的試題中分類與整合思想是必要的

59、，解題時常把不等式問題轉化為函數的最值問題，把方程的根轉化為函數的零點等. 20. 【2014全國卷2理21】（本小題滿分12分） 已知函數=. （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）設，當時，,求的最大值； （Ⅲ）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001） （2）當時，若滿足，即時，，而， 因此當時，， 綜上，的最大值為2. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，， 當時，，； 當時，，， ，所以的近似值為. 【考點定位】1. 利用導數研究函數的單調性；2. 利用導數證明不等式． 【名師點睛】本題考查利用導數求函數的的單調性、切線、函數的值域，等價轉化，綜合性強，屬于難題，第二問，需利用對數

60、函數的單調性將不等式進行等價轉化后，再利用導數研究函數的單調性、最值即可．第三問，要求適當的放縮與估值，要求學生有較強的推理能力和計算能力． 21. 【2014陜西理21】（本小題滿分14分） 設函數，其中是的導函數. （1） ，求的表達式； （2） 若恒成立，求實數的取值范圍； （3）設，比較與的大小，并加以證明. 【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）易得，且有，當且僅當時取等號，當時，，當時，由，得，所以數列是以為首項，以1為公差的等差數列，繼而得，經檢驗，所以； （2） 在范圍內恒成立，等價于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況

61、討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍； （3）由題設知：，，比較結果為：，證明如下：上述不等式等價于 在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結論. 試題解析：，， （1） ，，，，即，當且僅當時取等號 當時， 當時 ，，即 數列是以為首項，以1為公差的等差數列 當時， （2）在范圍內恒成立，等價于成立 令，即恒成立， 令，即，得 當即時，在上單調遞增 所以當時，在上恒成立； 當即時，在上單調遞增，在上單調遞減， 所以 設 因為，所以，即，所以函數在上單調遞減 所以，即 所以不恒成立 綜上所述，實數的取值范

62、圍為 （3）由題設知：， 比較結果為： 證明如下： 上述不等式等價于 在（2）中取，可得 令，則，即 故有 上述各式相加可得： 結論得證. 考點：等差數列的判斷及通項公式；函數中的恒成立問題；不等式的證明. 【名師點晴】本題主要考查的是等差數列的判斷及通項公式；函數中的恒成立問題；不等式的證明和利用導數研究函數的單調性，屬于難題．解題時一定要抓住重要條件“”，逐步推到才能得到的表達式，對于第（2）問可構造新函數，即恒成立，討論其單調性即可得到所要求的結果；第（3）問實際上是一個累加的過程 22. 【2014高考重慶理第20題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小

63、問4分，（Ⅱ）小問3分，（Ⅲ）小問5分） 已知函數的導函數為偶函數，且曲線在點處的切線的斜率為. （Ⅰ）確定的值； （Ⅱ）若，判斷的單調性； （Ⅲ）若有極值，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數；（Ⅲ）. 【解析】 試題解析： 解：（Ⅰ）對求導得，由為偶函數，知， 即，因，所以 又，故. （Ⅱ）當時，，那么 故在上為增函數. （Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當時等號成立. 下面分三種情況進行討論. 當時，對任意，此時無極值； 當時，對任意，此時無極值； 當時，令，注意到方程有兩根， 即有兩個根或. 當時，；又當時，從而在處取得極小值. 綜上，若有極值

64、，則的取值范圍為. 考點：1、導數的幾何意義及導數在研究函數性質中的應用；2、分類討論的思想. 【名師點睛】本題考查利用導數求函數的的單調性、切線、函數的值域，等價轉化，綜合性強，屬于較難題，第二問，需用基本不等式判斷導數的符號，再利用導數研究函數的單調性即可．第三問，要注意分類計論，要求學生有較強的推理能力和計算能力． 23 【2015安徽理21】（本小題滿分13分） 設函數. （Ⅰ）討論函數在內的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值； （Ⅱ）記，求函數在上的最大值D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足時的最大值. 【答案】（Ⅰ）極小值為；（Ⅱ）；

65、（Ⅲ）1. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）將代入為，. 求導得，.因為，所以.按的范圍分三種情況進行討論：①當時，函數單調遞增，無極值.②當時，函數單調遞減，無極值.③當，在內存在唯一的，使得.時，函數單調遞減；時，函數單調遞增.因此，，時，函數在處有極小值.（Ⅱ）當時，依據絕對值不等式可知，從而能夠得出函數在上的最大值為.（Ⅲ）當，即，此時，從而.依據式子特征取，則，并且.由此可知，滿足條件的最大值為1. （Ⅱ）時，， 當時，取，等號成立， 當時，取，等號成立， 由此可知，函數在上的最大值為. （Ⅲ），即，此時，從而. 取

66、，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1. 【考點定位】1.函數的單調性、極值與最值；2.絕對值不等式的應用. 【名師點睛】函數、導數解答題中貫穿始終的是數學思想方法，在含有參數的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數問題，所以函數思想、數形結合思想也是必要的，把不等式問題轉化為函數最值問題、把方程的根轉化為函數零點問題等，轉化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數、導數的解答題要充分注意數學思想方法的應用. 24. 【2015北京理18】（本小題13分）已知函數． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求證：當時，； （Ⅲ）設實數使得對恒成立，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2. 【解析】 試題解析：（Ⅰ），曲線在點處的切線方程為； （Ⅱ）當時，，即不等式，對成立，設，則，當時，，故在（0，1）上為增函數，則，因此對，成立； （Ⅲ）使成立，，等價于，；， 當時，，函數在（0，1）上位增函數，，符合題意； 當時，令， - 0 + 極小值 ，顯然不成立， 綜上所述可知：的