高考數(shù)學復習 17-18版 第5章 第28課 函數(shù)建模問題(二)——三角函數(shù)、解三角形

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1、 第28課 函數(shù)建模問題(二)——三角函數(shù)、解三角形 [最新考綱] 內容 要求 A B C 正(余)弦定理及其應用 √ 1．仰角和俯角 在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖①)． ①　　　　　　?、? 圖28-1 2．方位角和方向角 (1)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)從A處

2、望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.(　　) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　) (3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．(　　) (4)如圖28-2，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，γ進行計算．(　　) 圖28-2 [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)如圖28-3，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為________m. 圖28

3、-3 50　[因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．] 3．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為________米． 　[如圖所示，山的高度MN＝200米，塔高為AB，CN＝MB＝，AC＝＝＝.所以塔高AB＝200－＝(米)．] 4．如圖28-4，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y)．若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系式為________． 圖28-4 y＝sin　

4、[設點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系式為y＝sin(ωt＋φ)．由題意可得，函數(shù)的初相位是.又函數(shù)周期是60(秒)且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，所以y＝sin.] 5．(教材改編)點P在直徑AB＝1的半圓上移動(如圖28-5所示)，過P作圓的切線PT且PT＝1，∠PAB＝α，則α＝________時，四邊形ABTP面積最大． 圖28-5 　[∵AB是圓的直徑，∴∠APB＝90°， 又AB＝1，故PA＝cos α，PB＝sin α. ∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝sin αcosα＋sin2α ＝sin 2α＋ ＝sin＋. ∵α∈，

5、－<2α－<， ∴當2α－＝，即α＝時 S四邊形ABTP最大．] 測量問題 角度1　測量距離 　如圖28-6，A，B兩點在河的同側，且A，B兩點均不可到達，要測出AB的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，若測得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點間的距離． 圖28-6 [解]　在△ADC中，CD＝，∠ACD＝60°，∠ADC＝30°＋30°＝60°， ∴△ADC為正三角形，即AC＝CD＝. 在△BDC中，∠DBC＝180°－30°－45°－60°＝45°. 由正弦定理得， ＝， ∴BC＝＝. 在△

6、ABC中，由余弦定理得 AB2＝＋－2×××＝， ∴AB＝(km)． 所以A，B的距離為km. 角度2　測量高度 　如圖28-7，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m. 圖28-7 100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ＝10

7、0(m)．] 角度3　測量角度 　在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船．同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長時間？ 【導學號：62172152】 [解]　設緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 根據(jù)余弦定理，可得 BC＝ ＝， 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC

8、＝45°，因此BC與正北方向垂直． 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°，又＝， 即＝，得t＝.∴當緝私船沿北偏東60°的方向能最快追上走私船，最少要花小時． [規(guī)律方法]　1.研究測量距離(高度)問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解． 2．測量角度問題應關注以下三點 (1)測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義． (2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解應用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實

9、際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點. 方案設計的問題 　(2017·蘇州期中)如圖28-8，在海岸線l一側C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設立了A，B兩個報名點，滿足A，B，C中任意兩點間的距離為10 km.公司擬按以下思路運作：先將A，B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處(點D異于A，B兩點)，然后乘同一艘輪游輪前往C島．據(jù)統(tǒng)計，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元．設∠CDA＝α，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本為S元． 圖28-8 (1)寫出S

10、關于α的函數(shù)表達式，并指出α的取值范圍； (2)問：中轉點D距離A處多遠時，S最??？ 【導學號：62172153】 [解]　(1)由題知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α. 由正弦定理知＝＝， 即CD＝，AD＝， 所以 S＝4AD＋8BD＋12CD＝12CD－4AD＋80＝＋80 ＝20＋60. (2)S′＝20， 令S′＝0得cos α＝. 當cos α>時，S′<0；當cos α<時，S′>0， 所以當cos α＝時，S取得最小值， 此時sin α＝，AD＝＝5＋， 所以中轉點C距A處 km時，運輸成本S最?。? [規(guī)律方法]　此類問

11、題常以正、余弦定理為解題切入點，通過引入?yún)⒆兞俊唉痢苯㈥P于三角函數(shù)的解析式，在此基礎上，借助最值工具(如：三角函數(shù)的有界性、導數(shù)或基本不等式)求解函數(shù)最值，從而解決實際問題． [變式訓練1]　如圖28-9，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9 m和15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝45°. 圖28-9 (1)求BC的長度； (2)在線段BC上取一點P(點P與點B，C不重合)，從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點P在何處時，α＋β最?。? [解]　(1)作AE⊥CD，垂足E，則CE＝9

12、，DE＝6，設BC＝x， 則tan∠CAD＝tan(∠CAE＋∠DAE)＝＝＝1， 化簡得x2－15x－54＝0， 解得x＝18或x＝－3(舍)． 所以，BC的長度為18 m. (2)設BP＝t，則CP＝18－t(00，f(t)是增函數(shù)， 所以，當t＝15－27時，f(t)取得最小值，即tan(α＋β)取得最小值， 因為－t2＋18t－135<

13、0恒成立，所以f(t)<0， 所以tan(α＋β)<0，α＋β∈， 因為y＝tan x在上是增函數(shù)，所以當t＝15－27時，α＋β取得最小值． 答：當BP為(15－27)m時，α＋β取得最小值. 三角函數(shù)模型的簡單應用 　如圖28-10，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪逆時針旋轉且每分鐘轉動5圈．如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間． 圖28-10 (1)將點P距離水面的高度z m表示為時間t s的函數(shù)，求其解析式； (2)求點P第一次到達最高點時所需要的時間． [解]　(1)以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立直角坐標系

14、(圖略)，設角φ是以Ox為始邊，OP0為終邊的角，OP每分鐘內所轉過的角為5×2π，OP每秒鐘內所轉過的角為＝， 得z＝4sin＋2， 當t＝0時，z＝0，得sin φ＝－， 即φ＝－，故所求的函數(shù)關系式為z＝4sin＋2. (2)令z＝4sin＋2＝6， 得sin＝1， 所以t－＝，得t＝4， 故點P第一次到達最高點大約需要4 s. [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面：一是用已知的模型去分析解決實際問題，二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題，建立三角函數(shù)模型解決問題，其關鍵是合理建模． 2．建模的方法是認真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學

15、語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程． [變式訓練2]　某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)． (1)求實驗室這一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于11 ℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？ [解]　(1)因為f(t)＝10－2 ＝10－2sin， 又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 當t＝2時，sin＝1； 當t＝14時，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故實驗室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4

16、℃. (2)依題意，當f(t)＞11時實驗室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin＞11， 即sin＜－. 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18. 故在10時至18時實驗室需要降溫． [思想與方法] 解三角形應用題的兩種情形 (1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． [易錯與防范] 1．“方位角”與“方向

17、角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是. 2．在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤． 課時分層訓練(二十八) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．(2017·淮海中學模擬)如圖28-11，有一塊半徑為R的半圓形空地，開發(fā)商計劃征地建一個矩形游泳池ABCD和其附屬設施，附屬設施占地形狀是等腰△CDE，其中O為圓心，A，B在圓的直徑上，C，D，E在圓周上． 圖28-11 (1)設∠BOC＝θ，征地面積記為f(θ)，求f(θ)的表達式； (2

18、)當θ為何值時，征地面積最大？ 【導學號：62172154】 [解]　(1)連結OE，OC，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC＝Rsin θ；θ∈. ∴f(θ)＝2S梯形OBCE＝R2(sin θcos θ＋cos θ)θ∈. (2)f′(θ)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1)． 令f′(θ)＝0， ∴sin θ＋1＝0(舍)或者sin θ＝. ∵θ∈， 當θ∈時， f′(θ)>0；當θ∈時，f′(θ)<0， ∴當θ＝時，f(θ)取得最大值． 答：θ＝時，征地面積最大． 2. (2017·鎮(zhèn)江期中)廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣傳畫，根據(jù)該設施的外觀，設

19、計成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB＝，記該設施平面圖的面積為S(x) m2，∠AOB＝x rad，其中＜x＜π. 圖28-12 (1)寫出S(x)關于x的函數(shù)關系式； (2)如何設計∠AOB，使得S(x)有最大值？ [解]　(1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x， 在△BCO中，由正弦定理可得： ＝，所以CO＝2(sin x－cos x)， 從而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sin xcos x， 所以S(x)＝2sin2x－2sin xcos x＋2x＝2sin x(s

20、in x－cos x)＋2x. (2)S′(x)＝2(sin 2x－cos 2x)＋2＝2sin＋2， 由S′(x)＝0，解得x＝， 令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增區(qū)間是； 令S′(x)＜0，解得＜x＜π，所以減區(qū)間是； 所以S(x)在x＝處取得最大值是2＋ m2. 答：設計成∠AOB＝時，該設施的平面圖面積最大是2＋ m2. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·無錫期中)如圖28-13，某自行車手從O點出發(fā)，沿折線O－A－B－O勻速騎行，其中點A位于點O南偏東45°且與點O相距20千米．該車手于上午8點整到達點A,8點20分騎至點C，其中點C位于

21、點O南偏東(45°－α)(其中sin α＝，0°＜α＜90°)且與點O相距5千米(假設所有路面及觀測點都在同一水平面上)． 圖28-13 (1)求該自行車手的騎行速度； (2)若點O正西方向27.5千米處有個氣象觀測站E，假定以點E為中心的3.5千米范圍內有長時間的持續(xù)強降雨．試問：該自行車手會不會進入降雨區(qū)，并說明理由. 【導學號：62172155】 [解]　(1)由題意知，OA＝20，OC＝5，∠AOC＝α，sin α＝. 由于0°＜α＜90°，所以cos α＝＝. 由余弦定理，得AC＝＝5. 所以該自行車手的行駛速度為＝15(千米/小時)． (2)如圖，設直線OE與A

22、B相交于點M.在△AOC中，由余弦定理，得： cos∠OAC＝＝＝， 從而sin∠OAC＝＝＝. 在△AOM中，由正弦定理，得： OM＝＝＝20. 由于OE＝27.5＞20＝OM，所以點M位于點O和點E之間，且ME＝OE－OM＝7.5. 過點E作EH⊥AB于點H，則EH為點E到直線AB的距離. 在Rt△EHM中， EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×＝＜3.5. 所以該自行車手會進入降雨區(qū)． 2．(2017·啟東中學高三第一次月考)如圖28-14，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半

23、徑為1百米的扇形，∠ABC＝.管理部門欲在該地從M到D修建小路：在弧MN上選一點P(異于M，N兩點)，過點P修建與BC平行的小路PQ.問：點P選擇在何處時，才能使得修建的小路與PQ及QD的總長最??？并說明理由． 圖28-14 [解]　連結BP，過P作PP1⊥BC垂足為P1，過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1. 設∠PBP1＝θ，＝－θ 若0<θ<，在Rt△PBP1中，PP1＝sin θ，BP1＝cos θ， 若θ＝，則PP1＝sin θ，BP1＝cos θ， 若<θ<，則PP1＝sin θ，BP1＝cos(π－θ)＝－cos θ， ∴PQ＝2－cos θ－sin θ. 在Rt△QBQ1中， QQ1＝PP1＝sin θ，CQ1＝sin θ，CQ＝sin θ， DQ＝2－sin θ. 所以總路徑長 f(θ)＝－θ＋4－cos θ－sin θ， f′(θ)＝sin θ－cos θ－1＝2sin－1 令f′(θ)＝0，得θ＝. 當0<θ<時，f′(θ)<0， 當<θ<時，f′(θ)>0. 所以當θ＝時，總路徑最短． 答：當BP⊥BC時，總路徑最短．