（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 考點(diǎn)規(guī)范練22 平面向量的概念及線性運(yùn)算.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練22　平面向量的概念及線性運(yùn)算 基礎(chǔ)鞏固組 1.如圖,向量a-b等于(　　) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 答案C 解析由題圖可知a-b=e1-3e2.故選C. 2.在△ABC中,AB=c,AC=b,若點(diǎn)D滿足BD=2DC,則AD= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.23b+13c B.53c-23b C.23b-13c D.13b+23c 答案A 解析AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故選A. 3.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使a|a|=b|b|成立的充分條件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 答案C 解析a|a|=b|b|?a=|a|b|b|?a與b共線且同向?a=λb且λ>0.B,D選項(xiàng)中a和b可能反向.A選項(xiàng)中λ<0,不符合λ>0.故選C. 4.在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB= (　　) A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 答案A 解析如圖所示,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得 BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC, 所以EB=34AB-14AC,故選A. 5.(2017浙江嘉興測(cè)試)設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)C在直線AB外,|AB|=6,|CA+CB|=|CA-CB|,則|CM|=(　　) A.12 B.6 C.3 D.32 答案C 解析∵|CA+CB|=2|CM|,|CA-CB|=|BA|, ∴2|CM|=|BA|=6,∴|CM|=3,故選C. 6.給出下列命題: ①若兩個(gè)單位向量的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同; ②若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b; ③λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線; ④0a=0. 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為　　　　　. 答案①②③ 解析①不正確.單位向量的起點(diǎn)相同時(shí),終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心的單位圓上;②不正確,兩向量不能比較大小;③不正確.當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可能不共線;④正確. 7.設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且BC+BA=2BP,則PC+PA=　　　　　. 答案0 解析因?yàn)锽C+BA=2BP,由平行四邊形法則知,點(diǎn)P為AC的中點(diǎn),故PC+PA=0. 8.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1=　　　　　,λ2=　　　　　. 答案-16　23 解析如圖所示,DE=BE-BD=23BC-12BA=23(AC-AB)+12AB=-16AB+23AC.又DE=λ1AB+λ2AC,且AB與AC不共線,所以λ1=-16,λ2=23. 能力提升組 9.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若AC=a,BD=b,則AF= (　　) A.14a+12b B.12a+14b C.23a+13b D.13a+23b 答案C 解析∵AC=a,BD=b, ∴AD=AO+OD=12AC+12BD=12a+12b. ∵E是OD的中點(diǎn),∴|DE||EB|=13,∴|DF|=13|AB|, ∴DF=13AB=13(OB-OA)=13-12BD--12AC=16AC-16BD=16a-16b,AF=AD+DF=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故選C. 10.已知在△ABC中,D是AB邊上的一點(diǎn),CD=λCA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,則用a,b表示CD為(　　) A.23a+13b B.13a+23b C.13a+13b D.23a+23b 答案A 解析由題意知,CD是∠ACB的角平分線, 故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA) =23CB+13CA=23a+13b,故選A. 11.(2017浙江溫州八校檢測(cè))設(shè)a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值為(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案B 解析∵BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=BC+CD=2a-b. 由A,B,D三點(diǎn)共線,知AB,BD共線. 設(shè)AB=λBD,∴2a+pb=λ(2a-b), ∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1. 12.點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且DA+4DB+7DC=0,則S△BCDS△ABC=(　　) A.47 B.13 C.712 D.112 答案D 解析如圖所示,分別延長DB,DC至點(diǎn)B1,C1,使得DB1=4DB,DC1=7DC,則DA+DB1+DC1=0,則S△DAB1=S△DAC1=S△DB1C1=S,S△DAB=14S,S△DAC=17S,S△DBC=128S,S△ABC=14S+17S+128S=1228S,S△BCDS△ABC=128S1228S=112,故選D. 13. 在Rt△ABC中,∠C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的內(nèi)切圓交CA,CB于點(diǎn)D,E,點(diǎn)P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)(不包含邊界).若CP=xCD+yCE,則x+y的值可以是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案B 解析設(shè)圓心為O,半徑為r,則OD⊥AC,OE⊥BC,∴3-r+4-r=5,解得r=1. 連接DE,則當(dāng)x+y=1時(shí),P在線段DE上,排除A; 在AC上取點(diǎn)M,在CB上取點(diǎn)N,使得CM=2CD,CN=2CE,連接MN, ∴CP=x2CM+y2CN. 則點(diǎn)P在線段MN上時(shí),x2+y2=1,故x+y=2. 同理,當(dāng)x+y=4或x+y=8時(shí),P點(diǎn)不在三角形內(nèi)部,排除C,D.故選B. 14.已知△ABC和點(diǎn)M,滿足MA+MB+MC=0,若存在實(shí)數(shù)m,使得AB+AC=mAM成立,則點(diǎn)M是△ABC的　　　　　,實(shí)數(shù)m=　　　　　. 答案重心　3 解析由MA+MB+MC=0知,點(diǎn)M為△ABC的重心.設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn), 則AM=23AD=2312(AB+AC)=13(AB+AC), 所以有AB+AC=3AM,故m=3. 15.(2017浙江湖州模擬)如圖,在△ABC中,AD=2DB,AE=12EC,BE與CD相交于點(diǎn)P,若AP=xAB+yAC(x,y∈R),則x=　　　　　,y=　　　　　. 答案47　17 解析由題可知AP=AD+DP=AD+λDC =AD+λ(BC-BD) =23AB+λAC-AB-13BA =23(1-λ)AB+λAC. 又AP=AE+EP=AE+μEB=AE+μ(CB-CE) =13AC+μAB-AC-23CA =μAB+13(1-μ)AC, 所以可得23(1-λ)=μ,13(1-μ)=λ,解得λ=17,μ=47, 故AP=47AB+17AC,所以x=47,y=17. 16.在△ABC中,點(diǎn)P滿足BP=2PC,過點(diǎn)P的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn)M,N,若AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),則m+2n的最小值為　　　　　. 答案3 解析∵BP=2PC, ∴AP-AB=2(AC-AP), ∴AP=13AB+23AC=13mAM+23nAN, ∵M(jìn),P,N三點(diǎn)共線,∴13m+23n=1, ∴m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+23nm+mn≥53+232nmmn=53+43=3. 當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn時(shí)等號(hào)成立, 即m=n=1,故m+2n的最小值為3. 17.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求證:A,B,D三點(diǎn)共線; (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線. (1)證明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB, ∴AB,BD共線. ∵它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線. (2)解∵ka+b與a+kb共線, ∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又a,b是兩個(gè)不共線的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=1. 18.已知O,A,B是不共線的三點(diǎn),且OP=mOA+nOB(m,n∈R). (1)若m+n=1,求證:A,P,B三點(diǎn)共線; (2)若A,P,B三點(diǎn)共線,求證:m+n=1. 證明(1)若m+n=1,則OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB),所以O(shè)P-OB=m(OA-OB),即BP=mBA,所以BP與BA共線. 又因?yàn)锽P與BA有公共點(diǎn)B,所以A,P,B三點(diǎn)共線. (2)若A,P,B三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使BP=λBA, 所以O(shè)P-OB=λ(OA-OB). 又OP=mOA+nOB. 故有mOA+(n-1)OB=λOA-λOB, 即(m-λ)OA+(n+λ-1)OB=0. 因?yàn)镺,A,B不共線, 所以O(shè)A,OB不共線, 所以m-λ=0,n+λ-1=0.所以m+n=1.