三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項版解析—— 專題06 數(shù)列

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項版解析 第六章 數(shù)列 一、選擇題 1. 【2014高考北京理第5題】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】 試題分析：對等比數(shù)列，若，則當(dāng)時數(shù)列是遞減數(shù)列；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則滿足且，故當(dāng)“”是”數(shù)列為遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件.故選C. 考點：等比數(shù)列的性質(zhì)，充分條件與必要條件的判定，容易題. 【名師點睛】本題考查

2、充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，充要條件問題主要命題方法有兩種，一種為判斷條件是結(jié)論的什么條件？第二種是尋求結(jié)論成立的某種條件是什么？近幾年高考充要條件命題以選填題為主，表面看很簡單。但由于載體素材豐富，幾何、代數(shù)、三角可以隨意選材，所以涉及知識較多，需要扎實的基本功，本題以數(shù)列有關(guān)知識為載體，考查了數(shù)列的有關(guān)知識和充要條件. 2. 【2015高考北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】C 考點定位：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等

3、關(guān)系問題，重 點是對知識本質(zhì)的考查. 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效. 3. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列前9項的和為27,,則 （ ） （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知,所以故選C. 考點：等差數(shù)列及其運算 【名師點睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,

4、而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法. 4. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，， （）.若（ ） A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列 【答案】A 【解析】 考點：等差數(shù)列的定義． 【思路點睛】先求出的高，再求出和的面積和，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定

5、義可得為定值，即可得是等差數(shù)列． 5. 【2016年高考四川理數(shù)】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( ) （參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，，則，由題意，需 ，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B. 考點：等

6、比數(shù)列的應(yīng)用. 【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用．在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個作為數(shù)列的首項，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結(jié)論． 6. 【2015高考浙江，理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項和是，若，，成等比數(shù)列，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴， ∴，∴，，故選B. 【考點定位】1.等差數(shù)列的通項公式及其前項和；2.等比數(shù)列的概念 【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的概念等知識點

7、，同時考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于容易題，將，表示為只與公差有關(guān)的表達(dá)式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運用. 7.【2014高考重慶理第2題】對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是( ) 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 【答案】D 【解析】 試題分析：因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則 所以，一定成等比數(shù)列，故選D. 考點：1、等比數(shù)列的概念與通項公式；2、等比中項. 【名師點睛】本題考查了等比數(shù)列的概念與通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì)

8、，本題屬于基礎(chǔ)題，利用下標(biāo)和相等的兩項的積相等更能快速作答. 8. 【2015高考重慶，理2】在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=　　　?。ā　。? A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B. 【考點定位】本題屬于數(shù)列的問題，考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的性質(zhì). 【名師點晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力.是基礎(chǔ)題. 9.【2014福建，理3】等差數(shù)列的前項和，若

9、，則( ) 【答案】C 【解析】 試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C. 考點：等差數(shù)列的性質(zhì). 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及簡單的計算問題，等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法. 10.【2015高考福建，理8】若 是函數(shù) 的兩個不同的零點，且 這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于

10、（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【考點定位】等差中項和等比中項． 【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心．三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進(jìn)行討論，屬于難題． 11. 【2014遼寧理8】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：因為是等差數(shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C. 考點：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列. 【名師點

11、睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵，是寫出等差數(shù)列的通項，利用是遞減數(shù)列，確定得到，得到結(jié)論. 本題是一道基礎(chǔ)題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力. 12. 【2015課標(biāo)2理4】已知等比數(shù)列滿足a1=3， =21，則 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 【答案】B 【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又因為，所以，解得，所以，故選B． 【考點定位】等比數(shù)列通項公式和性質(zhì)． 【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，通過求等比數(shù)列的基本量，利用通項公式求解，若注意到項的序號之間的關(guān)系，則

12、可減少運算量，屬于基礎(chǔ)題． 二、填空題 1. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1= ，S5= . 【答案】 【解析】 試題分析：， 再由，又， 所以 考點：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項和． 【易錯點睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗當(dāng)時是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯誤． 2. 【2014高考北京理第12題】若等差數(shù)列滿足，則當(dāng) 時，的前項和最大. 【答案】 考點：等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和的最值，容易題. 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公

13、式及前項和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，由于題目提供a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，推出，從而說明數(shù)列{an}的前8項和最大.這個題目命題角度新穎，不需死套公式，重視對知識的理解和對知識本質(zhì)的考查. 3.【2016年高考北京理數(shù)】已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，，則_______. 【答案】6 【解析】 試題分析：∵是等差數(shù)列，∴，，，， ∴，故填：6． 考點：等差數(shù)列基本性質(zhì). 【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量，，，，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換及方程思想的應(yīng)用. 4.

14、【2014高考廣東卷.理.13】若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 . 【答案】. 【解析】由題意知，所以， 因此， 因此. 【考點定位】本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)的基本運算，屬于中等偏難題. 【名師點晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的基本運算，屬于中等偏難題．解題時要抓住關(guān)鍵字眼“正數(shù)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的基本運算，即等比數(shù)列中，若（、、、），則，（，，，）． 5. 【2015高考廣東，理10】在等差數(shù)列中，若，則= . 【答案】． 【解析】因為是等差數(shù)列，所以，即，所以，故應(yīng)填入．

15、 【考點定位】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)及其簡單運算和運算求解能力，屬于容易題，解答此題關(guān)鍵在于熟記，及其熟練運用． 6. 【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2 …an的最大值為 ． 【答案】 考點：等比數(shù)列及其應(yīng)用 【名師點睛】高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點,在解答時要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用,盡量避免小題大做. 7. 【2016高考江蘇卷】已知是等差數(shù)列，是其前項和.若，則的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由得，因此 考點：等差數(shù)列性質(zhì) 【名

16、師點睛】本題考查等差數(shù)列基本量，對于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關(guān)于首項及公差的兩個獨立條件即可.為使問題易于解決，往往要利用等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，如及等差數(shù)列廣義通項公式 8. 【2014江蘇，理7】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值是 . 【答案】4． 【解析】設(shè)公比為，因為，則由得，，解得，所以． 【考點定位】等比數(shù)列的通項公式． 【名師點晴】在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意

17、要弄準(zhǔn)它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算． 9. 【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為 【答案】 【解析】由題意得： 所以 【考點定位】數(shù)列通項，裂項求和 【名師點晴】由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊

18、數(shù)列求通項．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進(jìn)行選用. 10. 【2015高考陜西，理13】中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為 ． 【答案】 【解析】設(shè)數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為，所以答案應(yīng)填：． 【考點定位】等差中項． 【名師點晴】本題主要考查的是等差中項，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念，即若，，成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項，即． 11.【2015高考新課標(biāo)2，

19、理16】設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，，則________． 【答案】 【考點定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系． 【名師點睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項公式，要搞清楚項與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題． 12. 【2014，安徽理12】數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則________． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵成等比， ∴，令， 則，即， ∴，即，∴． 考點：1．等差，等比數(shù)列的性質(zhì)． 【名師點睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：①熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；

20、②注意在平時提高自己的運算求解能力，尤其是換元法在計算題中的應(yīng)用；③要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項公式，前項和公式等. 13. 【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于 . 【答案】 【考點定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項和公式. 【名師點睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：①熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；②注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明；③要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項公式，前項和公式等. 14. 【2014天津，理11】設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，為其前項和．若成等

21、比數(shù)列，則的值為__________． 【答案】． 【解析】 試題分析：依題意得，∴，解得． 考點：1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式；2．等比數(shù)列的前項和公式． 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，利用等差數(shù)列的前項和公式表示出然后依據(jù)成等比數(shù)列，列出方程求出首項.這類問題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識，大多利用通項公式和前項和公式通過列方程或方程組就可以解出. 15. 【2015湖南理14】設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則 . 【答案】. 【解析】 試題分析：∵，，成等差數(shù)列， ∴， 又∵等比數(shù)列，∴. 【考點

22、定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì). 【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列 基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想. 三、解答題 1. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用等差數(shù)列的求和公式求公差，從而求得通項，再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù)，求；（Ⅱ）對分類討論，再用分段函數(shù)表示，再求數(shù)列的前1 000項和． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公差為，

23、據(jù)已知有，解得 所以的通項公式為 （Ⅱ）因為 所以數(shù)列的前項和為 考點：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前項和公式，對數(shù)的運算. 【名師點睛】解答新穎性的數(shù)學(xué)題，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點和生長點. 于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，與dm－1＝1矛盾． 所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負(fù)整數(shù)列{an}的各項只能為1或2. 因為對任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2.

24、 故Bn＝An－dn＝2－1＝1. 因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足m＞n，且am＝1，即數(shù)列{an}有無窮多項為1. 考點定位：本題考查新定義信息題，考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力。 【名師點睛】本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn ,對于數(shù)列{an}給出這樣一個新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項的最大值為2，第一項后面的項的最小值為1，即，則，同理

25、求出，通過第一步的計算應(yīng)用新定義，加深對定義的認(rèn)識進(jìn)入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境下進(jìn)行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴(yán)密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機(jī)會，但得滿分較難. 2. 【2014高考廣東卷.理.19】 (本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，，且. (1)求..的值； (2)求數(shù)列的通項公式. 【答案】(1)，，；(2). (2)由題意得， 由(1)知，，，猜想， 假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則有， 則當(dāng)時，有， 這說明當(dāng)時，猜想也成立， 由歸

26、納原理知，對任意，. 【考點定位】本題考查利用與的關(guān)系來考查數(shù)列的通項的求解，主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中等題. 【名師點晴】本題主要考查的是數(shù)列的通項公式，屬于中等題．本題通過計算，，的值猜想數(shù)列的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，可得數(shù)列通項公式．用數(shù)學(xué)歸納法證明時一定要注意當(dāng)時猜想也成立的推理，否則很容易出現(xiàn)錯誤． 3. 【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列 的前n項和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令 求數(shù)列的前n項和Tn. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， 得， ， 兩式作差，得

27、 所以 考點：1.等差數(shù)列的通項公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”. 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等. 4.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1) 求的值； (2) 求數(shù)列前項和； (3) 令，，證明：數(shù)列的前項和滿足． 【答案】

28、（1）；（2）；（3）見解析． 【解析】（1）依題， ∴ ； （2）依題當(dāng)時， ， ∴ ，又也適合此式， ∴ ， ∴ 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故； （3）依題由知，，， ∴ ， 記，則， ∴ 在上是增函數(shù)，又即， 又且時，， ∴ 即， ∴ ，，…，， 即有， ∴ ，即． 【考點定位】前項和關(guān)系求項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮． 【名師點睛】本題主要考查前項和關(guān)系求項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用

29、構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學(xué)歸納法證明． 5. 【 2014湖南20】已知數(shù)列滿足,. (1)若為遞增數(shù)列,且成等差數(shù)列,求的值; (2)若,且是遞增數(shù)列,是遞減數(shù)列,求數(shù)列的通項公式. 【答案】(1) (2) 或 【解析】 試題解析:(1)因為數(shù)列為遞增數(shù)列,所以,則,分別令可得,因為成等差數(shù)列,所以或, 當(dāng)時,數(shù)列為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列是遞增數(shù)列,所以. (2)由題可得,因為是遞增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,則有,因為 (2)由題可得,因為是遞增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,兩不等式相加可得, 又因為,所以,即, 同理可得且,所以, 則當(dāng)時,,這個等式相加

30、可得 . 當(dāng)時, ,這個等式相加可得 ,當(dāng)時,符合,故 綜上. 【考點定位】疊加法 等差數(shù)列 等比數(shù)列 數(shù)列單調(diào)性 【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，累加法求數(shù)列的通項公式，不等式的性質(zhì)等，同時考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．本題設(shè)計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大． 6. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 記.對數(shù)列和的子集T，若,定義;若，定義.例如：時，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）對任意正整數(shù)，若，

31、求證：； （3）設(shè),求證：. 【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出通項公式（2）數(shù)列不等式證明，一般是以算代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù)列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進(jìn)行放縮為一個等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式得（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)則因此由，因此中最大項必在A中，由（2）得，（2）為（3）搭好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義. （3）下面分三種情況證明. ①若是的子集，則. ②若是的子集，則. ③若不是的子集，且不是的子集.

32、 令，則，，. 于是，，進(jìn)而由，得. 設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 從而， 故，所以， 即. 綜合①②③得，. 考點：等比數(shù)列的通項公式、求和 【名師點睛】本題三個難點，一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列首項，再代入等比數(shù)列通項公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代征，三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用. 7.【2014江蘇，理20】設(shè)數(shù)列的前項和為.若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”. （1）若數(shù)列

33、的前項和為，證明：是“數(shù)列”. （2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差，若是“數(shù)列”，求的值； （3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列” 和，使得成立. 【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析． 【解析】（1）首先，當(dāng)時，，所以，所以對任意的，是數(shù)列中的項，因此數(shù)列是“數(shù)列”． （2）由題意，，數(shù)列是“數(shù)列”，則存在，使，，由于，又，則對一切正整數(shù)都成立，所以． （3）首先，若（是常數(shù)），則數(shù)列前項和為是數(shù)列中的第項，因此是“數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列，（是公差），設(shè)，，則，而數(shù)列，都是“數(shù)列”，證畢． 【考點定位】（1）新定義與數(shù)列的項，（2）數(shù)列的項與整數(shù)的整除；（3

34、）構(gòu)造法． 【名師點晴】在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解；解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略. 8. 【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分） 設(shè)是各項為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列 （1）證明：依次成等比數(shù)列； （2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由； （3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由. 【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在 【

35、解析】 試題分析（1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可（2）本題列式簡單，變形較難，首先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k得到關(guān)于t的一元方程，從而將方程的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點情況，這個函數(shù)需要利用二次求導(dǎo)才可確定其在上無零點 試題解析：（1）證明：因為（，，）是同一個常數(shù)， 所以，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列． （2）令，則，，，分別為，，，（，，）． 假設(shè)存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列， 則，且． 令，則，且（

36、，）， 化簡得（），且．將代入（）式， ，則． 顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立， 因此不存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列． 化簡得， 且． 再將這兩式相除，化簡得（）． 令， 則． 令， 則． 令，則． 令，則． 由，， 知，，，在和上均單調(diào)． 故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立． 所以不存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列． 【考點定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程 【名師點晴】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或

37、等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解． 9. 【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知. （I）求的通項公式； （II）若數(shù)列滿足，求的前n項和. 【答案】（I）; （II）. 【解析】 （I）因為 所以， ，故 當(dāng) 時， 此時， 即 所以， （II）因為 ，所以 當(dāng) 時， 所以 當(dāng) 時， 所以 兩式相減，得 所以 經(jīng)檢驗， 時也適合， 綜上可得： 【考點定位】1、數(shù)列前 項和 與通項 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和

38、問題. 【名師點睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運算的準(zhǔn)確性，在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運算能力提出了較高的要求. 10. 【2016高考天津理數(shù)】已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等差中項. (Ⅰ)設(shè)，求證：是等差數(shù)列； (Ⅱ)設(shè) ，求證： 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)等比中項定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（Ⅱ） 對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項相消法求和，易得結(jié)

39、論. 考點：等差數(shù)列、等比中項、分組求和、裂項相消求和 【名師點睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 11.【2014山東.理19】（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和. 【答案】（I）. （II），（或） 【解析】 （II） 當(dāng)n為偶數(shù)時， 當(dāng)n為奇數(shù)時， 所以，（或） 試

40、題解析：(I）因為， ， 由題意，得， 解得， 所以. （II） 當(dāng)n為偶數(shù)時， 當(dāng)n為奇數(shù)時， 所以，（或） 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式、“裂項相消法”等.求等差數(shù)列的通項公式，主要是要運用已知條件，建立首項a1，公差為d的方程組.數(shù)列的求和問題，基本解法有“分組求和法”、“錯位相減法”、“裂項相消法”. 本題是一道能力題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識、基本方法的同時，考查考生的計算能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及分類討論思想. 12. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項和，其中． （I）證明是等比數(shù)列，并求其通項公式； （II

41、）若 ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，然后通過變換結(jié)合等比數(shù)列的定義可證；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前項和化為的表達(dá)式，結(jié)合的值，建立方程可求得的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． 考點：1、數(shù)列通項與前項和為關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項及前項和為． 【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解． 13. 【2015高考陜西，理21】（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項和，其中，

42、，． （I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且； （II）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較 與的大小，并加以證明． 【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)時， ，當(dāng)時，，證明見解析． 【解析】 試題解析：（I），則 所以在內(nèi)至少存在一個零點. 又，故在內(nèi)單調(diào)遞增， 所以在內(nèi)有且僅有一個零點. 因為是的零點，所以，即，故. (II)解法一：由題設(shè)， 設(shè) 當(dāng)時， 當(dāng)時， 若， 若， 所以在上遞增，在上遞減， 所以，即. 綜上所述，當(dāng)時, ；當(dāng)時 解法二 由題設(shè)， 當(dāng)時, 當(dāng)時, 用數(shù)學(xué)歸納

43、法可以證明. 當(dāng)時, 所以成立. 假設(shè)時，不等式成立，即. 那么，當(dāng)時， . 又 令， 則 所以當(dāng),,在上遞減； 當(dāng),,在上遞增. 所以，從而 故.即，不等式也成立. 所以，對于一切的整數(shù)，都有. 解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，， 所以, 令 當(dāng)時, ,所以. 當(dāng)時, 而，所以，. 若，，， 當(dāng)，，， 從而在上遞減，在上遞增.所以， 所以當(dāng)又，，故 綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時. 考點：1、等比數(shù)列的前項和公式；2、零點定理；3、等差數(shù)列的前項和公式；4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 【名師點晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的前項和公式、

44、零點定理、等差數(shù)列的前項和公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：①用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；②用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點的唯一性．有關(guān)函數(shù)的不等式，一般是先構(gòu)造新函數(shù)，再求出新函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可． 14. 【2014新課標(biāo)，理17】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足=1，. （Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式； （Ⅱ）證明：. 【解析】：（Ⅰ）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得. 【考點定位】1.等比數(shù)列；2.等比數(shù)列的前n項和公式；

45、3.放縮法. 【名師點睛】本題考查了數(shù)列的概念，遞推數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式，放縮法證明不等式，屬于中檔題目，本題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學(xué)思想方法，注意放縮的適度. 15．【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記數(shù)列的前n項和，求得成立的n的最小值. 【答案】（1）；（2）10. 【解析】（1）由已知，有， 即. 從而. 又因為成等差數(shù)列，即. 所以，解得. 所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列. 故. 【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與

46、前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力. 【名師點睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分. 16. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，． （I）證明：，； （II）若，，證明：，． 【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析． 【解析】 試題分析：（I）先利用三角形不等式得，變形為，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）可得，進(jìn)而可得，再利用的任意性可證． 試題解析：（I）由得，

47、故 ，， 所以 ， 因此 ． （II）任取，由（I）知，對于任意， ， 故． 從而對于任意，均有． 由的任意性得． ① 否則，存在，有，取正整數(shù)且，則 ， 與①式矛盾． 綜上，對于任意，均有． 考點：1、數(shù)列；2、累加法；3、證明不等式． 【思路點睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證． 17. 【2014四川，理19】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）. （1）若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和； （2）若，函數(shù)的圖象在點處的

48、切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前 項和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：據(jù)題設(shè)可得，.（1），由等差數(shù)列的前項和公式可得.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個數(shù)列用錯位相消法可得前 項和. 試題解答：據(jù)題設(shè)可得.（1），所以. （2）將求導(dǎo)得，所以在處的切線為，令得， 所以，.所以， 其前項和…………………………① 兩邊乘以2得：…………………………② ②－①得：，所以. 【考點定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列. 【名師點睛】已知數(shù)列是等差數(shù)列，只需求得首項與公差即可；考生在解決此題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由

49、于步驟繁瑣、計算量大導(dǎo)致了漏項或添項以及符號出錯等．兩邊乘公比后，對應(yīng)項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩項相減，除第一項和最后一項外，剩下的項是一個等比數(shù)列． 18.【2015高考新課標(biāo)1，理17】為數(shù)列{}的前項和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通項公式； （Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列{}的前項和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項與前項和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項公式，再用拆項消

50、去法求其前項和. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，因為，所以=3， 當(dāng)時，==， 即，因為，所以=2， 所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數(shù)列{}前n項和為= =. 【考點定位】數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法 【名師點睛】已知數(shù)列前n項和與第n項關(guān)系，求數(shù)列通項公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式. 19. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理17】 已知數(shù)列的前項

51、和為，，，，其中為常數(shù)， （I）證明：； （II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由. 【答案】（I）詳見解析；（II）存在，. 【解析】 因此存在，使得為等差數(shù)列． 【考點定位】1、遞推公式；2、數(shù)列的通項公式；3、等差數(shù)列． 【名師點睛】本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式和概念、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法, 考查了考生運用數(shù)列的有關(guān)知識解題的能力和觀察、分析、歸納、猜想及用數(shù)學(xué)歸納法證明的能力，同時考查了考生的推理能力和計算能力、分類討論的思想方法. 20. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 設(shè)數(shù)列A： ， ,… ().如

52、果對小于()的每個正整數(shù)都有 ＜ ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合. （1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素； （2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則 ； （3）證明：若數(shù)列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個數(shù)不小于 -. 【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）關(guān)鍵是理解G時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素； （2）要證，即證中含有一元素即可； （3）當(dāng)時，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時仍然成立即可. 試題解析：（1）的元素為和. （2）因為存在使得，所以. 記

53、， 則，且對任意正整數(shù). 因此，從而. （3）當(dāng)時，結(jié)論成立. 以下設(shè). 由（Ⅱ）知. 設(shè)，記. 則. 對，記. 如果，取，則對任何. 從而且. 又因為是中的最大元素，所以. 從而對任意，，特別地，. 對. 因此. 所以. 考點：數(shù)列、對新定義的理解. 【名師點睛】數(shù)列的實際應(yīng)用題要注意分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等. 21. 【2014年.浙江卷.理19】（本題滿分14分

54、）已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且 （1） 求與； （2） 設(shè)。記數(shù)列的前項和為. （i）求； （ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（i）；（ii）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求與得通項公式，由已知得，再由已知得，，又因為數(shù)列為等比數(shù)列，即可寫出數(shù)列的通項公式為，由數(shù)列的通項公式及，可得數(shù)列的通項公式為，； （Ⅱ）（i）求數(shù)列的前項和，首先求數(shù)列的通項公式，由，將，代入整理得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得數(shù)列的前項和；（ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有，即求數(shù)列的最大項，即求數(shù)列得正數(shù)項，由數(shù)列的通項公式，可判斷出，當(dāng)時，，從而可得對任意恒有，即．

55、 試題點評：本題主要考查等差數(shù)列與等比的列得概念，通項公式，求和公式，不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力． 【名師點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問題解決問題的能力．本題屬于難題．解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項分別抽出來，研究這些項與序號之間的關(guān)系；如果兩個數(shù)列是通過運算綜合在一起的，就要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，再根

56、據(jù)兩個數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解．解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了． 22. 【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（） （1）證明：1（）； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明（）. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知 ，從而得證；（2）由和得， ，從而可得，即可得證. 試題解析：（1）由題意得，，即

57、，，由 得，由得， ，即；（2）由題意得， ∴①，由和得，， ∴，因此②，由①②得 . 【考點定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題. 【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小問具有較強(qiáng)的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到的取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式，函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討

58、論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注. 23. 【2014高考重慶理第22題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分） 設(shè) （Ⅰ）若，求及數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若，問：是否存在實數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在， 【解析】 試題解析： 解: （Ⅰ）解法一： 再由題設(shè)條件知 從而是首項為0公差為1的等差數(shù)列， 故=，即 解法二： 可寫為.因此猜想. 下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式： 當(dāng)時結(jié)論顯然成立. 假設(shè)時結(jié)論成立，即.則 這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立. 所以 （Ⅱ）解法一：設(shè)

59、，則. 令，即，解得. 下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命： 當(dāng)時，，所以，結(jié)論成立. 假設(shè)時結(jié)論成立，即 易知在上為減函數(shù)，從而 即 再由在上為減函數(shù)得. 故，因此，這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立. 綜上，符合條件的存在，其中一個值為. 解法二：設(shè)，則 先證：…………………………① 當(dāng)時，結(jié)論明顯成立. 假設(shè)時結(jié)論成立，即 易知在上為減函數(shù)，從而 即這就是說，當(dāng)時結(jié)論成立，故①成立. 再證：………………………………② 當(dāng)時，，有，即當(dāng)時結(jié)論②成立 假設(shè)時，結(jié)論成立，即 由①及在上為減函數(shù)，得 這就是說，當(dāng)時②成立，所以②對一切成立. 由②得 即

60、 因此 又由①、②及在上為減函數(shù)得 即 所以解得. 綜上，由②③④知存在使對一切成立. 考點：1、數(shù)列通項公式的求法；2、等差數(shù)列；3、函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用.4、數(shù)學(xué)歸納法. 【名師點睛】本題考查了數(shù)列通項公式的求法，等差數(shù)列，函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，屬于難題，解題時要認(rèn)真審題及等價轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析解決問題的能力． 24. 【2015高考重慶，理22】在數(shù)列中， （1）若求數(shù)列的通項公式； （2）若證明： 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會得出）

61、，從而，所以是等比數(shù)列，由其通項公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變形為, 由于，因此，于是可得， 即有， 又， 于是有 ， 這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知，因此 ，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.(1)由,有 若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,. 從而，即是一個公比的等比數(shù)列. 故. (2)由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)? 變形為. 由上式及，歸納可得 因為，所以對 求和得 另一方面，由上已證的不等式知得 綜上： 【考點定位】等比數(shù)列的通

62、項公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識． 【名師點晴】數(shù)列是考查考生創(chuàng)新意識與實踐精神的最好素材．從近些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)(包括三角函數(shù))、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運用知識的能力，突出知識的融會貫通．?dāng)?shù)列的問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項的遞推，更有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更甚的是數(shù)列間的“復(fù)制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式．在考查通性通法的同時，突

63、出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力． 本題第（1）小題通過遞推式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式求得通項，第（2）小題把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，利用數(shù)列的遞推式證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，利用放縮法證明不等式，難度很大． 25. 【2015高考安徽，理18】設(shè)，是曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo). （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）記，證明. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（Ⅰ）解：，曲線在點處的切線斜率為. 從而切線方程為.令，解得切線與軸交點的橫坐標(biāo). （Ⅱ）證：由題設(shè)和（Ⅰ）中的計算結(jié)果知 . 當(dāng)時，. 當(dāng)時，因為， 所以.

64、 綜上可得對任意的，均有. 【考點定位】1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項公式；3.放縮法證明不等式. 【名師點睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項，此類問題在2010年、2012年、2013年安徽高考解答題中都曾考過.對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放

65、縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮. 26. 【2014，安徽理21】（本小題滿分13分） 設(shè)實數(shù)，整數(shù)，． （I）證明：當(dāng)且時，； （II）數(shù)列滿足，，證明：． 【答案】（I）證明：當(dāng)且時，；（II）． 【解析】 試題分析：（I）證明原不等式成立，可以用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時，當(dāng)，由成立．得出當(dāng)時， ，綜合以上當(dāng)且時，對一切整數(shù)，不等式均成立．（II）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學(xué)歸納法證明．其中要利用到當(dāng)時，．當(dāng)?shù)茫桑↖）中的結(jié)論得．因此，即．所以時，不等式也成立．綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立．再證由可得，即．第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，則，并且 ．由此可

66、得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明． 試題解析：（I）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)時，，原不等式成立． ②假設(shè)時，不等式成立． 當(dāng)時， 所以時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當(dāng)且時，對一切整數(shù)，不等式均成立． （2） 證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)時，由題設(shè)知成立．②假設(shè)時，不等式成立． 由易知． 當(dāng)時，． 當(dāng)?shù)茫? 由（I）中的結(jié)論得． 因此，即．所以時，不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立． 再由可得，即． 綜上所述，． 證法2：設(shè)，則，并且 ． 由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，． ①當(dāng)時，由，即可知 ，并且，從而． 故當(dāng)時，不等式成立． ②假設(shè)時，不等式成立，則當(dāng)時，，即有． 所以當(dāng)時，原不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立． 考點：1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式；2．構(gòu)造函數(shù)法證明不等式． 【名師點睛】本題第（1）題是課本上關(guān)于貝努利不等式的證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是高考中頻繁出現(xiàn)的一個考點，尤其是安徽卷，考生在復(fù)習(xí)時尤其要注意.另外數(shù)列單調(diào)性及不等式的證