《數(shù)學(xué)人教A版選修44優(yōu)化練習(xí)：第一講 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)人教A版選修44優(yōu)化練習(xí)：第一講 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介 Word版含解析（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
[課時作業(yè)]
[A組 基礎(chǔ)鞏固]
1．點A的柱坐標(biāo)是，則它的直角坐標(biāo)是( )
A．(，1,7) B．(，1，－7)
C．(2，1,7) D．(2，1，－7)
解析：∵ρ＝2，θ＝，z＝7，∴x＝ρcos θ＝，y＝ρsin θ＝1，z＝7，∴點A的直角坐標(biāo)是(，1,7)．
答案：A
2．若點M的直角坐標(biāo)為(2,2,2)，則它的球坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
解析：由坐標(biāo)變換公式得，r＝＝4，由rcos φ＝z＝2得cos φ＝，所以φ＝，又tan θ＝＝1，點M在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M的球坐標(biāo)為.
答案：B
3．若點P的柱
2、坐標(biāo)為，則P到直線Oy的距離為( )
A．1 B．2
C. D.
解析：由于點P的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)＝，故點P在平面xOy內(nèi)的射影Q到直線Oy的距離為ρcos＝，可得P到直線Oy的距離為.
答案：D
4．在直角坐標(biāo)系中，(1,1,1)關(guān)于z軸對稱點的柱坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
解析：(1,1,1)關(guān)于z軸的對稱點為(－1，－1,1)，它的柱坐標(biāo)為.
答案：C
5．已知點P1的球坐標(biāo)為，P2的柱坐標(biāo)為，則|P1P2|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：設(shè)點P1的直角坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，
則得
故
3、P1(2，－2，0)，
設(shè)點P2的直角坐標(biāo)為(x2，y2，z2)，
故得
故P2(，1,1)．
則|P1P2|＝＝.
答案：A
6．已知柱坐標(biāo)系Oxyz中，點M的柱坐標(biāo)為，則|OM|＝________.
解析：∵(ρ，θ，z)＝，
設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，
則x2＋y2＝ρ2＝22，
∴|OM|＝ ＝ ＝3.
答案：3
7．已知點M的直角坐標(biāo)為(1,2,3)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，則tanφ＝______，tan θ＝______.
解析：
如圖所示，
tan φ＝＝，
tan θ＝＝2.
答案： 2
8．已知在柱坐標(biāo)系中，點M的柱坐標(biāo)為，且點
4、M在數(shù)軸Oy上的射影為N，則|OM|＝________，|MN|＝________.
解析：設(shè)點M在平面xOy上的射影為P，連接PN，則PN為線段MN在平面xOy上的射影．
因為MN⊥直線Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直線Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
9．已知點P的球坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)．
解析：由變換公式得：
x＝rsin φcos θ＝4sincos＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2.
z＝rcos φ＝4cos ＝－2.
5、
它的直角坐標(biāo)為(2,2，－2)．
10．已知點M的柱坐標(biāo)為，求M關(guān)于原點O對稱的點的柱坐標(biāo)．
解析：M(，，1)的直角坐標(biāo)為
∴M關(guān)于原點O的對稱點的直角坐標(biāo)為(－1，－1，－1)．
(－1，－1，－1)的柱坐標(biāo)為：
ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝.
∴其柱坐標(biāo)為
∴M關(guān)于原點O對稱點的柱坐標(biāo)為.
[B組 能力提升]
1．球坐標(biāo)系中，滿足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的動點P(r，φ，θ)的軌跡為( )
A．點 B．直線
C．半平面 D．半球面
解析：由于在球坐標(biāo)系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，
6、φ∈[0，π]，故射線OQ平分∠xOy，由球坐標(biāo)系的意義，動點P(r，φ，θ)的軌跡為二面角x-OP-y的平分面，這是半平面，如圖．
答案：C
2．已知點P的柱坐標(biāo)為，點B的球坐標(biāo)為，則這兩個點在空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)分別為( )
A．P(5,1,1)，B
B．P(1,1,5)，B
C．P，B(1,1,5)
D．P(1, 1,5)，B
解析：設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，則
x＝cos＝×＝1，
y＝sin＝1，z＝5.
設(shè)點B的直角坐標(biāo)為(x′，y′，z′)，則
x′＝sincos＝××＝，
y′＝sinsin＝××＝，
z′＝cos＝×＝.
所以點P的
7、直角坐標(biāo)為(1,1,5)，點B的直角坐標(biāo)為.
答案：B
3.如圖，在柱坐標(biāo)系中，長方體的兩個頂點坐標(biāo)為A1(4,0,5)，C1，則此長方體外接球的體積為________．
解析：由A1、C1兩點的坐標(biāo)知長方體的長、寬、高的值為6、4、5，設(shè)外接球的半徑為R，則有
(2R)2＝16＋25＋36＝77，
所以R＝，V球＝πR3＝.
答案：
4．已知球坐標(biāo)系中，M，N，則|MN|＝________.
解析：設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，
由得
∴M的直角坐標(biāo)為(1，，2)，
同理N的直角坐標(biāo)為(3，，2)，
∴|MN|＝
＝2.
答案：2
5.已知正方體ABCD-A
8、1B1C1D1的棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)．
解析：點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，
設(shè)點C1的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由公式及
得及
得及
結(jié)合題圖得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝.
∴點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為(，，1)，球坐標(biāo)為，其中tan φ＝，0≤φ≤π.
6．以地球球心為坐標(biāo)原點，地球赤道所在平面為坐標(biāo)平面xOy，以原點指向北極點的方向為z軸正方向，本初子午線(0°經(jīng)線)所在平面為坐標(biāo)平面xOz，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖，已知地球半徑為R，點A的球坐標(biāo)為，點B的球坐標(biāo)為，求：
(1)A，B兩地之間的距離；
(2)A，B兩地之間的球面距離．
解析：(1)由于球坐標(biāo)(r，φ，θ)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)＝(rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ)，
所以A，B點的直角坐標(biāo)分別為
，，
所以A，B兩地之間的距離為|AB|＝
＝R.
(2)由上述可知，在△OAB中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R，得∠AOB＝，
所以A，B兩地之間的球面距離為＝R.
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