新編高考數(shù)學文科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十五節(jié)

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1、新編高考數(shù)學復習資料 會利用導數(shù)解決某些實際問題 知識梳理 　優(yōu)化問題：社會經(jīng)濟生活、生產(chǎn)實踐與科學研究等實際問題中有關求利潤________、用料________、效率________等問題通常稱為________問題． 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟： (1)分析實際問題中各個量之間的關系，建立實際問題的________，寫出實際問題中____________________，根據(jù)實際問題確定定義域； (2)求函數(shù)y＝f(x)的__________，解方程__________，得出定義域內的實根，確定________； (3)比較函數(shù)在

2、________和________的函數(shù)值的大小，獲得所求函數(shù)的最大(小)值； (4)還原到實際問題中作答． 最大　最省　最高　優(yōu)化　(1)數(shù)學模型　變量間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)　(2)導數(shù)f′(x)　f′(x)＝0　極值點　(3)區(qū)間端點　極值點 基礎自測 1．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內接矩形面積的最大值為(　　) A．10　　　　B．15　　　　C．25　　　　D．50 [來源:] 答案：C 2．某產(chǎn)品的銷售收入y1 (萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y1＝17x2，生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應生

3、產(chǎn)(　　) A．9千臺 B．8千臺 C．6千臺 D．3千臺 解析：f(x)＝y(tǒng)1－y2＝－2x3＋18x2，f′(x)＝－6x2＋36x＝0，x＝6，故選C. 答案：C 3．一個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是(　　) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 解析：由導數(shù)的物理意義知，位移的導數(shù)是瞬時速度，由s＝1－t＋t2求導得v＝s′＝－1＋2t，當t＝3時，v＝5.故選C. 答案：C 4．當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的底面半

4、徑為___時，才能使飲料罐的體積最大. 解析：設圓柱形金屬飲料罐的底面半徑為R，高為h. S＝2πRh＋2πR2? h＝ ?V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3 ?V′(R)＝S－3πR2， 令V′(R)＝0，∴R＝ . 因V(R)只有一個極值點，故它就是最大值點． 答案： 1．放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數(shù)關系M(t)＝M02－，其中M0為t＝0時銫137的含量．已知t＝30時，銫137的含

5、量的變化率是－10ln 2(單位：太貝克/年)，則M(60)＝(　　) A．5太貝克　　　　　　　B．75ln 2太貝克 C．150ln 2太貝克 D．150太貝克 解析：因為M′(t)＝－ln 2×M02－，則M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，那么M(60)＝600×2－＝600×＝150(太貝克)．故選D. 答案：D 2．(2013·重慶卷)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r m，高為h m，體積為V m3.假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元

6、/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 解析：(1)因為蓄水池側面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元． 所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 又根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)，[來源:] 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因r＞0，又由h＞0可得r＜5，

7、故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)． (2)因V(r)＝(300r－4r3)， 故V′(r)＝(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r1＝5(舍去r2＝－5)． 當r∈(0,5)時，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；[來源:] 當r∈(5,5)時，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8. 即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大． 1．(2012·四會華僑)某工廠從2005年開始，近8年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前4年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢，后4年年產(chǎn)量的增長速度保持不變，則該廠這

8、種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間的函數(shù)圖象可能是(　　) [來源:] 解析：觀察知，選項B中，0