新版高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點(diǎn)總動員新課標(biāo)版 專題22 幾何證明選修1 Word版含解析

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1、 1 1【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1【20xx新課標(biāo)全國】如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.（）證明：DB=DC；（）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑.【解析】（1）利用弦切角定理進(jìn)行求解；（2）利用（1）中的結(jié)論配合角度的計算可以得到答案.2.【20xx高考全國1】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，且.（）證明：；（）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形.3.【20xx全國】如圖所示，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于，兩點(diǎn)，與底邊上的高交于點(diǎn)，且與，分

2、別相切于，兩點(diǎn).(1)證明：；(2)若等于圓O的半徑，且，求四邊形的面積. 4.【20xx全國】如圖所示，是直徑，是切線，交于點(diǎn)E.（1）若D為中點(diǎn)，求證：是的切線；（2）若，求的大小.解析（1）連接，如圖所示.因為為直徑，所以.又為中點(diǎn)，所以，所以.因為為切線，所以，即.在圓中，所以.結(jié)合，可得，即.所以是圓的切線.【熱點(diǎn)深度剖析】20xx年高考以圓為幾何背景考查弦切角定理，三角形全等，直角三角形外接圓半徑，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力. 20xx年高考涉及到圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理的推論20xx年涉及到面積、切線證明、切割線定理。從三年試題來看，高考對這部分要求不是太高，要求會以圓為幾何

3、背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長等，但連續(xù)幾年沒考查相交弦定理，預(yù)測20xx年高考可能以圓為幾何背景，考查相似三角形的證明、相交線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力.【重點(diǎn)知識整合】一、相似三角形1相似三角形(1)定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))(2)判定判定定理1兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判定定理2三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判定定理3兩邊對應(yīng)成比

4、例且夾角相等的兩三角形相似如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似如果一個直角三角形的斜邊與一條直角邊和另一個直角三角形的斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似(3)性質(zhì)性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線和它們周長的比都等于相似比性質(zhì)定理2相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形對應(yīng)角的平分線的比，外接圓直徑的比、周長的比，內(nèi)切圓直徑的比、周長的比都等于相似比相似三角形外接圓面積的比，內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方2平行截割定理平行截割定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線

5、截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例3直角三角形的射影定理：若RtABC斜邊AB上的高為CD，則CD2ADBD，BC2BDAB，AC2ADAB.二、圓冪定理與圓錐截線1圓的切線(1)切線判定定理經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(2)切線性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心推論1從圓外一點(diǎn)所引圓的兩條切線長相等推論2經(jīng)過圓外一點(diǎn)和圓心的直線平分從這點(diǎn)向圓所引兩條切線的夾角(3)內(nèi)切圓、旁切圓與一個三角形三邊都相切的圓，叫做這個三角形的內(nèi)切圓；與三角形的一邊和其它兩邊的延長線都相切的圓，叫做三角形的旁切圓2

6、圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)3圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半推論1直徑(或半圓)所對的圓周角都是直角推論2同弧或等弧所對的圓周角相等推論3等于直角的圓周角所對的弦是圓的直徑4弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角5圓冪定理(1)相交弦定理圓的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等(2)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(3)割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等圓冪定理已知(O，r)，通過一定點(diǎn)P，作O的任一條割線交圓于

7、A、B兩點(diǎn)，則PAPB定值k.當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，kPO2r2，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，kr2OP2，當(dāng)點(diǎn)P在O上時，k0，通常把這里的定值k稱作點(diǎn)P對O的冪6圓內(nèi)接四邊形(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理對角互補(bǔ)外角等于它的內(nèi)對角(2)圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形內(nèi)接于圓推論如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形四個頂點(diǎn)共圓【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1輔助線作法：幾何證明題的一個重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中

8、通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法2比例的性質(zhì)的應(yīng)用相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)：若，則；.3同一法：先作出一個滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對角互補(bǔ)5.與圓有關(guān)的比例線段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等(2)相交弦定理、切割線定理主要

9、是用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用【考場經(jīng)驗分享】1應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時，對應(yīng)量必須找準(zhǔn)(對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)邊上的高、中線，對應(yīng)的角平分線等等)，牢牢把握對應(yīng)角對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊對的角是對應(yīng)角2判定兩三角形相似時，可以用三邊對應(yīng)成比例，也可以用兩角對應(yīng)相等(只要兩角對應(yīng)相等，第三個角也對應(yīng)相等)但兩邊對應(yīng)成比例時，必須有夾角相等的條件3等弧對等弦、對等圓心角、對等圓周角、對等弦切角的前提是同圓或等圓4相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長線若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線

10、段長的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時為割線定理，兩交點(diǎn)重合時為切線，一條上兩點(diǎn)重合時為切割線定理，兩條都重合時為切線長定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條【名題精選練兵篇】1.【20xx河北唐山二模】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC與BD相交于點(diǎn)F，AE與圓O相切于點(diǎn)A，與CD的延長線相交于點(diǎn)E，ADEBDC（）證明：A、E、D、F四點(diǎn)共圓；（）證明：ABEFEBOFDCA2.【20xx廣西桂林市、北海市、崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】如圖,四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形,延長和相交于點(diǎn),（1）求的值；（2）若為圓O的直徑,且,求的長【解析】（1）由,得與相似 設(shè),則有,

11、（2）由題意知,， , 3.【20xx吉林長春質(zhì)量監(jiān)測（二）】如圖，過圓外一點(diǎn)的作圓的切線，為切點(diǎn)，過的中點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，若.（1）求證：；(2) 求證：四邊形是平行四邊形.4.【20xx安徽“江南十?！甭?lián)考】如圖，過圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線，其中為切點(diǎn)，為的一條直徑，連并延長交的延長線于點(diǎn).（）證明：；（）若,求的值.解：（）連接、，因為、為圓的切線，所以垂直平分又為圓的直徑，所以，所以又為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，所以 （）設(shè)，則，在中，由射影定理可得：，在中，. = 5.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】如圖，圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，AB是圓O

12、2的直徑，過A點(diǎn)作圓O1的切線交圓O2于點(diǎn)E，并與BO1的延長線交于點(diǎn)P，PB分別與圓O1、圓O2交于C，D兩點(diǎn) （）求證：PAPDPEPC； （）求證：ADAE6.【20xx甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)考試】 7.【20xx福建4月質(zhì)檢】如圖，的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，且D,C,E,G四點(diǎn)共圓.()求證：；()若GC=1，求AB.解法一：（）連結(jié)，因為四點(diǎn)共圓，則又因為為的兩條中線，所以分別是的中點(diǎn)，故所以，從而（）因為為與的交點(diǎn)，故為的重心，延長交于，則為的中點(diǎn)，且在與中，因為，所以，所以，即來源:Z+xx+k.Com因為，所以，即，又，所以解法二：（）同解法一8【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合

13、檢測】已知圓內(nèi)接ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且ADC為正三角形，點(diǎn)E為BC的延長線上一點(diǎn)，AE為圓O的切線（）求BAE 的度數(shù)；（）求證: 【解析】證明:（）在EAB與ECA中，因為AE為圓O的切線，所以EBA =EAC，又E公用，所以EAB =ECA，因為ACD為等邊三角形，所以 （）因為AE為圓O的切線,所以ABD=CAE ，因為ACD為等邊三角形,所以ADC =ACD,所以ADB=ECA,所以ABDEAC ，所以,即 ，因為ACD為等邊三角形,所以AD=AC=CD, ，所以.9. 【20xx屆河北省唐山市高三第一次模擬】如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線與弦AC的延長線交于點(diǎn)E

14、，AD交BC于點(diǎn)F.（）求證：；（）若D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且弧長AC等于弧長BC，求.10. 【20xx屆甘肅省部分普通高中高三第一次聯(lián)考】如圖所示，為圓的切線，為切點(diǎn)，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和.（1）求證 （2）求的值.11. 如圖所示，已知為圓的直徑，是圓上的兩個點(diǎn)，于，交于，交于，（1）求證：是劣弧的中點(diǎn)；（2）求證：【解析】（1） ，圓的直徑，為劣弧的中點(diǎn)； （2），12如圖，已知是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，延長交于.（1）證明：；（2）證明：.【解析】（1）為的切線，為切點(diǎn)，為的直徑，又，又， ， ；（2）由弦切角定理可知，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形， 又，. 1

15、3 如圖，是的一條切線，切點(diǎn)為，直線，都是的割線，已知（1）求證：；（2）若，求的值14如圖，已知AB是O的直徑，CD是O的切線，C為切點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)A作ADCD于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)E（）證明：AOC=2ACD；（）證明：ABCD=ACCE15. 如圖，為上的三個點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)，過作的切線交的延長線于點(diǎn)（1）證明：平分；（2）證明：【解析】 (1)因為是的切線，所以，又因為所以,即平分. (2)由可知，且，,所以,又因為,所以， ，所以， 所以 16. 如圖,內(nèi)接于, 是的直徑, 是過點(diǎn)的直線, 且.ABCOEDP()求證: 是的切線;()如果弦交于點(diǎn), , , , 求.【名師原創(chuàng)測試

16、篇】1如圖所示，是圓的切線，為切點(diǎn)，是圓的割線，的平分線與，分別交于點(diǎn)，且()求證：；()求的大小【解析】()證明：由題意可知，由弦切角定理得，則，則，由三角形角平分線定理得,，則.()，而，.又在中，可知.又，.2. 如圖，是的外接圓，D是的中點(diǎn)，BD交AC于E（）求證：；（）若，O到AC的距離為1，求O的半徑ACBOED3. 如圖所示, 為圓的切線, 為切點(diǎn),，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和. （）求證； （）求的值.4. 如圖，在ABC中，CM是ACB的平分線，AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N. 若AB=2AC，求證：BN=2AM.MCNBOA 【解析】連結(jié)MN，則由BMBA=BNBC得： ，又 ,所以， 于是. 因為CM是ACB的平分線，所以MN=AM，故BN=2AM. 5. 已知P是圓O外一點(diǎn)，PE切圓O于點(diǎn)E，A是圓O上一點(diǎn)，PA交圓O于B點(diǎn)，C為AE一點(diǎn)，PC交BE與D，CEDE（）求證：PC是的平分線（）【解析】（）于點(diǎn)，ECD=EDC，CPA=CPE，PC是APE的平分線（）， ， ，PE是圓O的切線，PBA是圓O的割線，=，=.6. 如圖，內(nèi)接于直徑為的圓，過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，的平分線分別交和圓于點(diǎn)，若.（）求證：；（）求的值.