《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第26練 應(yīng)用題試題 理.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第26練 應(yīng)用題試題 理.docx（20頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第26練 應(yīng)用題
[明晰考情] 1.命題角度：應(yīng)用題是江蘇高考必考題，常見模型有函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等.
2.題目難度：中檔難度.
考點(diǎn)一 建立函數(shù)模型
方法技巧 現(xiàn)實(shí)生活中存在的最優(yōu)化問題，常常可歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識和方法去解決.
1.某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x＞0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當(dāng)20≤x≤180時(shí)，q(x)＝a－b(a，b為實(shí)常數(shù)).
(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.
解 (1)當(dāng)20≤x≤180時(shí)，由
得
故q(x)＝
(2)設(shè)總利潤f(x)＝xq(x)，
由(1)得f(x)＝
當(dāng)0＜x≤20時(shí)，f(x)＝＝126000－，f(x)在(0,20]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)有最大值120000.
當(dāng)20＜x＜180時(shí)，f(x)＝9000x－300x，f′(x)＝9000－450，
令f′(x)＝0，得x＝80.
當(dāng)20＜x＜80時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)80＜x<180時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝80時(shí)，f(x)有最大值240000.
當(dāng)x≥180時(shí)，f(x)＝0.
答 當(dāng)x為80時(shí)，總利潤取得最大值240000元.
2.如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架OB上裝點(diǎn)普通珠寶，普通珠寶的價(jià)值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在△AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價(jià)值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k.設(shè)OA＝x，OB＝y(tǒng).
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
(2)求N－M的最大值及相應(yīng)的x的值.
解 (1)在△AOB中，∠AOB＝120，OA＝x，OB＝y(tǒng)，AB＝y(tǒng)＋1.
由余弦定理，得(y＋1)2＝x2＋y2＋xy，即y＝.
由x＞y＞0，得x＞＞0，解得1＜x＜.
所以y＝，x∈.
(2)由(1)得M＝ky＝k，N＝4kS△AOC＝3kx，
所以N－M＝k，x∈.
記f(x)＝3x－＝4x＋2＋，x∈.
則f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，得x＝2－.
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f′(x)的變化情況如下：
x
2－
f′(x)
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞增
10－4
單調(diào)遞減
由上表可知，f(x)max＝f＝10－4.
答 當(dāng)x＝2－時(shí)，N－M取最大值k(10－4).
3.如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/時(shí)，乙的路線是ABCD，速度為v千米/時(shí).
(1)若甲、乙兩管理員到達(dá)D地的時(shí)間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；
(2)已知對講機(jī)有效通話的最大距離是5千米，若乙先到達(dá)D地，且乙從A地到D地的過程中始終能用對講機(jī)與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍.
解 (1)由題意，可得AD＝12千米.
由題意可知≤，
解得≤v≤.
(2)方法一 設(shè)經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f(t).
由于乙先到達(dá)D地，故＜2，即v＞8.
①當(dāng)0＜vt≤5，即0＜t≤時(shí)，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－26tvtcos∠DAB＝t2.
因?yàn)関2－v＋36＞0，
所以當(dāng)t＝時(shí)，f(t)取最大值，
所以2≤25，解得v≥.
②當(dāng)5
1)，離地面高am(1≤a≤2)的C處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角∠ACB＝θ.
(1)若a＝1.5，問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大？
(2)若tanθ＝，當(dāng)a變化時(shí)，求x的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a＝1.5時(shí)，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，則BD＝0.5m，且θ＝∠ACD－∠BCD，
又觀察者離墻xm，且x>1，則tan∠BCD＝，
tan∠ACD＝.
所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝>1時(shí)取等號.
又因?yàn)閠anθ在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)觀察者離墻m時(shí)，視角θ最大.
(2)由題意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
又tanθ＝，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝.
所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，
即解得0≤x≤1或3≤x≤4.
又因?yàn)閤>1，所以3≤x≤4，所以x的取值范圍為[3,4].
7.某市對城市路網(wǎng)進(jìn)行改造，擬在原有a個(gè)標(biāo)段(注：一個(gè)標(biāo)段是指一定長度的機(jī)動車道)的基礎(chǔ)上，新建x個(gè)標(biāo)段和n個(gè)道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5.已知新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)為m萬元，新建一個(gè)道路交叉口的造價(jià)是新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)的k倍.
(1)寫出新建道路交叉口的總造價(jià)y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)P是新建標(biāo)段的總造價(jià)與新建道路交叉口的總造價(jià)之比.若新建的標(biāo)段數(shù)是原有標(biāo)段數(shù)的20%，且k≥3.問：P能否大于？并說明理由.
解 (1)依題意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)方法一 依題意x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝≤＝≤＝＜.
故P不可能大于.
方法二 依題意得x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝.
假設(shè)P＞，得ka2－20a＋25k＜0.
因?yàn)閗≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，所以不等式ka2－20a＋25k＜0無解，與假設(shè)矛盾，故P≤.
故P不可能大于.
8.如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點(diǎn)5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準(zhǔn)備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉(zhuǎn)站，公路AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域.
(1)設(shè)中心O對公路AB的視角為α，求α的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；
(2)為方便交通，準(zhǔn)備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值.
解 (1)如圖1，作OH⊥AB，設(shè)垂足為H，記OH＝d，
α＝2∠AOH，因?yàn)閏os∠AOH＝，
要使α有最小值，只需要d有最大值，結(jié)合圖象，
可得d≤OP＝5km，
當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥OP時(shí)，dmax＝5km.
此時(shí)αmin＝2∠AOH＝2＝.
設(shè)AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域，其中較小區(qū)域的面積記為S，
由題意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)為增函數(shù)，
所以Smin＝f＝50km2.
答 視角的最小值為，較小區(qū)域面積的最小值是50km2.
圖1
(2)如圖2，過O分別作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分別是H，H1，記OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d，
因?yàn)锳B＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)
＝2(＋).
記L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)
可得L2(d1)＝4[175＋2]，
由d∈[0,25]可知，當(dāng)d＝0或d＝25時(shí)，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
從而AB＋CD的最小值是(20＋10)km.
答 兩條公路長度和的最小值是(20＋10)km.
圖2
考點(diǎn)三 建立三角模型
方法技巧 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，可運(yùn)用三角函數(shù)知識求解.
9.如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，請解答下列問題：
(1)求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長時(shí)間？
解 (1)由已知可設(shè)y＝40.5－40cosωt，t≥0，
由周期為12分鐘可知，當(dāng)t＝6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cost(t≥0).
(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第t0分鐘時(shí)距離地面60.5米.
由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分鐘)時(shí)，第2次距地面60.5米，
故第4次距離地面60.5米時(shí)，用了12＋8＝20(分鐘).
10.如圖，我市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑為2km的半圓和一個(gè)以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點(diǎn).現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實(shí)際需要，四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C，D分別在線段QR，PR上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在半圓上，AB∥CD∥PQ，且AB，CD間的距離為1km.設(shè)四邊形ABCD的周長為ckm.
(1)若C，D分別為QR，PR的中點(diǎn)，求AB的長；
(2)求周長c的最大值.
解 (1)如圖，連結(jié)RO并延長分別交AB，CD于M，N，連結(jié)OB.
因?yàn)镃，D分別為QR，PR的中點(diǎn)，PQ＝2，
所以CD＝PQ＝1.
因?yàn)椤鱌RQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，
所以RO＝PQ＝1，NO＝RO＝.
因?yàn)镸N＝1，所以MO＝.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝＝，
所以AB＝2BM＝.
(2)設(shè)∠BOM＝θ，0<θ<.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝sinθ，OM＝cosθ.
因?yàn)镸N＝1，所以CN＝RN＝1－ON＝OM＝cosθ，
所以BC＝AD＝，
所以c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[sinθ＋cosθ＋]
≤2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ＋cosθ＝，即sin2θ＝，即θ＝或時(shí)取等號.
所以當(dāng)θ＝或θ＝時(shí)，周長c的最大值為2km.
11.在一個(gè)直角邊長為10m的等腰直角三角形ABC的草地上，鋪設(shè)一個(gè)等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三點(diǎn)分別在△ABC的三條邊上，且要使△PQR的面積最小.現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案(如圖所示)：
方案一：直角頂點(diǎn)Q在斜邊AB上，R，P分別在直角邊AC，BC上；
方案二：直角頂點(diǎn)Q在直角邊BC上，R，P分別在直角邊AC，斜邊AB上.
請問應(yīng)選用哪一種方案？并說明理由.
解 方案一：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，作QN⊥BC于點(diǎn)N(如圖所示)，
因?yàn)椤鱌QR為等腰直角三角形，且QP＝QR，
所以△RMQ≌△PNQ，
所以QM＝QN，從而Q為AB的中點(diǎn)，
則QM＝QN＝5m，
設(shè)∠RQM＝α，則RQ＝，α∈[0，45)，
所以S△PQR＝RQ2＝，
所以當(dāng)cosα＝1，即α＝0時(shí)，S△PQR取得最小值為m2.
方案二：設(shè)CQ＝x，∠RQC＝β，β∈(0，90)，
在△RCQ中，RQ＝，
在△BPQ中，∠PQB＝90－β，
所以＝，即＝，
化簡得＝，
所以S△PQR＝RQ2＝，
因?yàn)?sinβ＋2cosβ)2≤5，
所以S△PQR的最小值為10m2.
綜上，應(yīng)選用方案二.
12.某飛機(jī)失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島O附近.現(xiàn)派出四艘搜救船A，B，C，D，為方便聯(lián)絡(luò)，船A，B始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓周上，船A，B，C，D構(gòu)成正方形編隊(duì)展開搜索，小島O在正方形編隊(duì)外(如圖).設(shè)小島O到AB的距離為x，∠OAB＝α，船D到小島O的距離為d.
(1)請分別求出d關(guān)于x，α的函數(shù)關(guān)系式d＝g(x)，d＝f(α)，并分別寫出定義域；
(2)當(dāng)A，B兩艘船之間的距離是多少時(shí)，搜救范圍最大(即d最大)?
解 設(shè)x的單位為百海里.
(1)由∠OAB＝α，AB＝2OAcosα＝2cosα，AD＝AB＝2cosα，
在△AOD中，OD＝f(α)
＝
＝，α∈.
若小島O到AB的距離為x，AB＝2，
OD＝g(x)＝
＝，x∈(0,1).
(2)OD2＝4cos2α＋1＋4cosαsinα
＝4＋1＋4＝2(sin2α＋cos2α)＋3
＝2sin＋3，α∈.
則2α＋∈，當(dāng)2α＋＝，即α＝時(shí)，OD取得最大值，
此時(shí)AB＝2cos＝2＝(百海里).
答 當(dāng)A，B間距離為100海里時(shí)，搜救范圍最大.
例 (14分)如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD(點(diǎn)A，B在直徑上，點(diǎn)C，D在半圓周上)，并將其卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，
(1)若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大，應(yīng)如何截?。?
(2)若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截?。?
審題路線圖
(1)―→
―→―→
(2)―→―→
規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)
解 (1)如圖，設(shè)圓心為O，連結(jié)OC，設(shè)BC＝x，
方法一 易得AB＝2，x∈(0,30)，故所求矩形ABCD的面積為S(x)＝2x
3分
＝2≤x2＋(900－x2)＝900(cm2)
(當(dāng)且僅當(dāng)x2＝900－x2，即x＝15(cm)時(shí)等號成立)，此時(shí)BC＝15cm. 6分
方法二 設(shè)∠COB＝θ，θ∈，則BC＝30sinθ，OB＝30cosθ，
所以矩形ABCD的面積為S(θ)＝230sinθ30cosθ＝900sin2θ， 3分
當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝時(shí)，S(θ)max＝900(cm2).
此時(shí)BC＝15cm. 6分
(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r，體積為V，
由AB＝2＝2πr，得r＝，
所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中x∈(0,30). 9分
令V′＝(900－3x2)＝0，得x＝10，所以，V＝(900x－x3)在(0,10)上單調(diào)遞增，
在(10，30)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝10時(shí)，體積最大為cm3. 13分
答 (1)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊BC為15cm時(shí)，圓柱體罐子的側(cè)面積最大.
(2)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊BC為10cm時(shí)，圓柱體罐子的體積最大.14分
構(gòu)建答題模板
[第一步] 審題：閱讀理解，審清題意
[第二步] 建模：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型.
[第三步] 解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果.
[第四步] 回答：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.
1.植物園擬建一個(gè)多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻.現(xiàn)有兩種方案：
方案① 多邊形為直角三角形AEB(∠AEB＝90)，如圖1所示，其中AE＋EB＝30m；
方案② 多邊形為等腰梯形AEFB(AB>EF)，如圖2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m.
請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案.
圖1 圖2
解 設(shè)方案①，②中多邊形苗圃的面積分別為S1，S2.
方案① 設(shè)AE＝x，則S1＝x(30－x)
≤2＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＝15時(shí)，“＝”成立).
方案② 設(shè)∠BAE＝θ，則S2＝100sinθ(1＋cosθ)，θ∈.
令S＝100(2cos2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝(cos θ＝－1舍去)，因?yàn)棣取?，所以θ＝?
當(dāng)θ變化時(shí)S，S2的變化情況如下：
θ
S
＋
0
－
S2
遞增
極大值
遞減
所以當(dāng)θ＝時(shí)，(S2)max＝75.
因?yàn)椋?5，所以建苗圃時(shí)用方案②，且∠BAE＝.
答 方案①②苗圃的最大面積分別為m2,75m2，建苗圃時(shí)用方案②，且∠BAE＝.
2.經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為x(10)；月需求量為y2萬噸，y2＝－x2－x＋1，當(dāng)該商品的需求量大于供給量時(shí)，銷售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價(jià)格的乘積.
(1)若a＝，問商品的價(jià)格為多少時(shí)，該商品的月銷售額最大？
(2)記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－，解得－400，得x<8，
所以g(x)在[6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，
故當(dāng)x＝8時(shí)，g(x)有最大值g(8)＝.
(2)設(shè)f(x)＝y(tǒng)1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因?yàn)閍>0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，
若該商品的均衡價(jià)格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[6,14)上有零點(diǎn)，
所以即解得0
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江蘇專用2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
第二篇
第26練
應(yīng)用題試題
江蘇
專用
2019
高考
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
第二
26
應(yīng)用題
試題
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（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第26練 應(yīng)用題試題 理.docx
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