新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題11 空間幾何體含解析

【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題11 空間幾何體一、選擇題1(20xx·河北衡水中學(xué)三調(diào)) 如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是()A8 cmB6 cmC2(1) cmD2(1) cm答案A解析 由直觀圖得，原圖形是如圖所示的平行四邊形OABC，其中AOOB，可得OA1，OB2OB2，故AB3，原圖形的周長(zhǎng)為：2×(31)8.方法點(diǎn)撥空間幾何體的直觀圖畫法規(guī)則空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測(cè)畫法用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45°(或135°)，平行長(zhǎng)不變，垂直長(zhǎng)減半”2(文)某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于()A1B2C3D4答案B解析由三視圖知，該幾何體底面是正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為2，故邊長(zhǎng)為，幾何體是四棱錐，有一條側(cè)棱與底面垂直，其直觀圖如圖，由條件知PC，AC2，PA3，體積V×()2×32.(理)(20xx·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是()AAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為BBD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為CAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為DAD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為答案C解析PA平面ABC，PABC，又ACBC，PAACA，BC平面PAC，又AD平面PAC，BCAD，由正視圖可知，ADPC，又PCBCC，AD平面PBC，且VDABCVPABC××4×(×4×4).方法點(diǎn)撥1.空間幾何體的三視圖畫法規(guī)則三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，三視圖的畫法規(guī)則為“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2識(shí)讀三視圖時(shí)，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線3(文)(20xx·洛陽市期末)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是1的圓，則這個(gè)幾何體的體積是()A. B.C D.答案C解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)球切去后所得的幾何體，故其體積為：V××13，選C.(理)(20xx·河南八市質(zhì)檢)已知某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A4B12C2D4答案B解析根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐D1ABCD，它是由正方體ABCDA1B1C1D1切割出來的，所以外接球的直徑2RBD12，所以R，所以S4R212.方法點(diǎn)撥在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，特別注意由各視圖中觀察者與幾何體的相對(duì)位置與圖中的虛實(shí)線來確定幾何體的形狀4(20xx·唐山市一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C8D8答案C解析由三視圖知原幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體中挖掉一個(gè)圓錐，VV正方體V圓錐2×2×2×(×12)×28.方法點(diǎn)撥1.求幾何體的表面積與體積問題，熟記公式是關(guān)鍵，應(yīng)多角度全方位的考慮(1)給出幾何體的形狀、幾何量求體積或表面積，直接套用公式(2)用三視圖給出幾何體，先依據(jù)三視圖規(guī)則想象幾何體的形狀特征，必要時(shí)畫出直觀圖，找出其幾何量代入相應(yīng)公式計(jì)算(3)用直觀圖給出幾何體，先依據(jù)線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理討論分析幾何體的形狀特征，再求體積或表面積(4)求幾何體的體積常用等積轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面在幾何體的某一面上，求不規(guī)則幾何體的體積，主要用割補(bǔ)法2涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系3若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般先將四棱錐PABCD補(bǔ)成球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2PA2PB2PC2解決問題5(文)(20xx·山東文，9)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B.C2D4答案B解析考查1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，斜邊上的高為，所得旋轉(zhuǎn)體為同底等高的兩個(gè)全等圓錐，所以，其體積為2××()2×，故選B.(理)(20xx·山東理，7)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體的體積為()A. B.C.D2答案C解析梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐所得的組合體；所以該組合體的體積為VV圓柱V圓錐×12×2×12×12.故選C.6(文)(20xx·安徽理，7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A21B18C21D18答案A解析如圖，還原直觀圖為棱長(zhǎng)為2的正方體截去兩個(gè)角，其6個(gè)面都被截去了一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，表面增加了兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，故其表面積S6×(2×2×1×1)×()2×221.(理)一個(gè)半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩下部分幾何體的三視圖如圖所示，則剩下部分幾何體的表面積為()A. B.C4 D.答案D解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)球體，保留了下半球，上半球分為四份，去掉了對(duì)頂?shù)膬煞?，故表面積為球的表面積，去掉球表面積加上6個(gè)的圓面積S4R2(4R2)6×R2R2，又R1，S.方法點(diǎn)撥注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個(gè)幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算要弄清增加和減少的部分7(文)(20xx·福建文，9)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82B112C142D15答案B解析考查三視圖和表面積由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底長(zhǎng)分別為1,2，直角腰長(zhǎng)為1，斜腰為.底面積為2××33，側(cè)面積為224282，所以該幾何體的表面積為112，故選B.(理)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A1616B88C168 D.答案A解析由三視圖可知，幾何體為圓柱中挖去一個(gè)正四棱柱，所以體積V×22×42×2×41616.8(文)已知一個(gè)三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為()A. B.C1 D.答案B解析由題意知，此三棱錐的底面為有一個(gè)角為30°的直角三角形，其斜邊長(zhǎng)AC2，一個(gè)側(cè)面DAC為等腰直角三角形，DE1，BF，其側(cè)視圖為直角三角形，其兩直角邊與DE、BF的長(zhǎng)度相等，面積S×1×.(理)某幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則其表面積為()A(9632)m2B(6432)m2C(1141616)m2D(801616)m2答案D解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體，中間是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體(由正、側(cè)視圖中間部分和俯視圖知)，上部是一個(gè)有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，下部是一個(gè)正四棱錐，表面積S2(×4×4×4×)4×424×(×4×2)801616(m2)二、填空題9(文)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為_答案解析由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為2的半個(gè)圓錐V×(×12×2).(理)(20xx·天津文，10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案解析本題考查三視圖及簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力和簡(jiǎn)單的計(jì)算能力由三視圖知，該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐V×12×4×22×2.10(文)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為_答案48解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)組合體，其上部為長(zhǎng)方體，下部為橫放的四棱柱，其底面是上底長(zhǎng)2，下底長(zhǎng)6，高為2的等腰梯形，柱高為4，其體積V2×4×2(26)×2×448.(理)某幾何體的三視圖(單位：cm)如下圖，則這個(gè)幾何體的表面積為_cm2.答案122解析由三視圖知，該幾何體為正三棱柱，底面積S12×(×2×)2，側(cè)面積S23×(2×2)12，表面積SS1S2122cm2.三、解答題11(文)(20xx·北京文，18)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積分析本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力第一問，在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得OMVB，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；第二問，先在三角形ABC中得到OCAB，再利用面面垂直的性質(zhì)得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；第三問，將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面積，由于OC平面VAB，所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可解析(1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)MVB.又因?yàn)閂B平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，平面VAB平面ABCAB所以O(shè)C平面VAB.又因?yàn)镺C平面MOC所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等邊三角形VAB的面積SVAB.又因?yàn)镺C平面VAB，所以三棱錐CVAB的體積等于×OC×SVAB.又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為.(理)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.解析(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以四邊形ABED為平行四邊形所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF.所以CDEF，又因?yàn)镃DBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD.12(文)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求證：AC平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得EA平面FDM？證明你的結(jié)論解析(1)證明：在ABC中，AC，AB2，BC1，ACBC.又ACFB，AC平面FBC.(2)解：AC平面FBC，ACFC.CDFC，F(xiàn)C平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得BCD120°，CBDC1，F(xiàn)C1.SBCD，四面體FBCD的體積為：VFBCDSBCD·FC.(3)線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM，證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn)所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA平面FDM成立(理)如圖，三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大?。?3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值解析解法一：(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，則P為AB1中點(diǎn)，連接PD，D為AC中點(diǎn)，PDB1C.又PD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)正三棱柱ABCA1B1C1，AA1底面ABC.又 BDAC，A1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA.A1DA，即二面角A1BDA的大小是.(3)由(2)作AMA1D，M為垂足BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BD平面A1ACC1，AM平面A1ACC1，BDAM，A1DBDD，AM平面A1DB，連接MP，則APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角AA1，AD1，在RtAA1D中，A1DA，AM1×sin60°，APAB1.sinAPM.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1,0，)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)則n·xyz0，n·xz0，則有，得n(，0,1)由題意，知(0,0，)是平面ABD的一個(gè)法向量設(shè)n與所成角為，則cos，.二面角A1BDA的大小是.(3)由已知，得(1，)，n(，0,1)，設(shè)直線AB1與平面A1BD所成角為，則sin.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.13(文)(20xx·鄭州市質(zhì)檢)如圖，已知三棱柱ABCABC的側(cè)棱垂直于底面，ABAC，BAC90°，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面AACC；(2)設(shè)ABAA，當(dāng)為何值時(shí)，CN平面AMN，試證明你的結(jié)論解析(1)取AB的中點(diǎn)E，連接ME，NE，因?yàn)镸，N分別為AB和BC的中點(diǎn)，所以NEAC，MEAA又因?yàn)锳C平面AACC，AA平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，所以平面MNE平面AACC，因?yàn)镸N平面EMN，所以MN平面AACC；(2)連接BN，設(shè)AAa，則ABAAa，由題意知BCa，NCBN，因?yàn)槿庵鵄BCABC側(cè)棱垂直于底面，所以ABC平面BBCC，因?yàn)锳BAC，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，所以AN平面BBCC，CNAN，要使CN平面AMN，只需CNNB即可，所以CN2NB2BC2，即222a2，則時(shí)，CN平面AMN.(理)(20xx·天津文，17)如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)(1)求證：EF平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1平面BCB1；(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小分析考查1.空間中線面位置關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角(1)要證明EF平面A1B1BA，需在平面A1B1BA內(nèi)找到一條直線與EF平行，結(jié)合條件用中位線定理先證線線平行，再用判定定理證明；(2)先證明線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明；(3)先結(jié)合上面證明過程和題設(shè)條件找出線面角，再利用斜三角形知識(shí)求解；也可利用圖形特征，建立坐標(biāo)系用空間向量求解解析(1)如圖，連接A1B，在A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC，A1C的中點(diǎn)，所以EFBA1，又因?yàn)镋F平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因?yàn)锳BAC，E為BC中點(diǎn)，所以AEBC，因?yàn)锳A1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，從而BB1AE，又BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因?yàn)锳E平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1中點(diǎn)M和B1C中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE，因?yàn)镹和E分別為B1C、BC的中點(diǎn)，所以NEBB1，NEBB1，故NEAA1，NEAA1，所以A1NAE，A1NAE.又因?yàn)锳E平面BCB1，所以A1N平面BCB1，從而A1B1N就是直線A1B1與平面BCB1所成角，在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2，因?yàn)锽MAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14，在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30°，所以，直線A1B1與平面BCB1所成角為30°.14(文)(20xx·陜西文，18)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC, BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.圖1圖2(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值分析考查1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質(zhì)定理；3.空間幾何體的體積(1)利用轉(zhuǎn)化思想及BECD，先證BE平面A1OC.(2)利用平面A1BE平面BCDE找出棱錐的高，利用方程思想和棱錐的體積公式，列出關(guān)于a的方程求解解析(1)在題圖1中，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC，故在題圖2中，BEA1O，BEOC，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC；(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE， 又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高，由題圖1可知，A1OABa，平行四邊形BCDE面積SBC·ABa2，從而四棱錐A1BCDE的體積為V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.(理)(20xx·四川理，18)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N.(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)證明：直線MN平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值分析本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、二面角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力(1)注意ABCD是底面，將平面展開圖還原可得點(diǎn)F、G、H的位置. (2)根據(jù)直線與平面平行的判定定理，應(yīng)考慮證明MN平行于平面BDH內(nèi)的一條直線連接O、M，易得MNHO是平行四邊形，從而MNOH，進(jìn)而證得MN平面BDH.(3)求二面角的方法一是幾何法，要作出二面角AEGM的平面角，首先要過M作平面AEGC的垂線，然后再過垂足作棱EG的垂線，再將垂足與點(diǎn)M連接，即可得二面角AEGM的平面角二是向量法，由于幾何體是特殊的正方體，便于建立坐標(biāo)系，故可轉(zhuǎn)化為兩向量夾角求解解析(1)點(diǎn)F、G、H的位置如圖所示(2)連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)因?yàn)镸、N分別是BC、GH的中點(diǎn)，所以O(shè)MCD，且OMCD，NHCD，且NHCD，所以O(shè)MNH，OMNH，所以MNHO是平行四邊形，從而MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(3)連接AC，過M作MPAC于P. 在正方體ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.過P作PKEG于K，連接KM，所以EG平面PKM，從而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角設(shè)AD2，則CM1，PK2，在RtCMP中，PMCMsin 45°.在RtKMP中，KM.所以cosPKM.即二面角AEGM的余弦值為.(另外，也可利用空間坐標(biāo)系求解)方法點(diǎn)撥1.折疊問題中，要畫出折疊前的平面圖形與折疊后的直觀圖，對(duì)比找出其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系弄清其不變量和變化量及折疊前后的垂直性與平行性是關(guān)鍵2立體幾何中的存在型問題，主要題型是，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P滿足某種要求(如線線平行或垂直、線面平行或垂直等).