新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和演練知能檢測

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 [全盤鞏固] 1．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，a3＝，S3＝，則公比q＝(　　) A. B．－ C．1或－ D．1或 解析：選C　當(dāng)q＝1時，a1＝a2＝a3＝，S3＝a1＋a2＋a3＝，符合題意；當(dāng)q≠1時，由題意得解得q＝－.故q＝1或q＝－. 2．各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 解析：選C　∵a1＋a2＋a3＝21，

2、 ∴a1＋a1·q＋a1·q2＝21,3＋3×q＋3×q2＝21，[來源:] 即1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3. ∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝21×q2＝21×4＝84. 3．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．(n＋1)2 B．n2 C．n(2n－1) D．(n－1)2 解析：選B　由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5a2n－5＝a， 又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n. 又log2

3、a2n－1＝log222n－1＝2n－1， 所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝(　　) A．2 B．4 C．5 D. 解析：選B　依題意得＝＝2，即＝2，故數(shù)列a1，a3，a5，a7，…是一個以5為首項、2為公比的等比數(shù)列，因此＝4. 5．?dāng)?shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a＝(　　) A．(3n－1)2 B.(9n－1) C．9n

4、－1 D.(3n－1) 解析：選B　∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，① ∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝3n－1－1.② 由①－②，得an＝3n－3n－1＝2×3n－1. ∴當(dāng)n≥2時，an＝3n－3n－1＝2×3n－1， 又n＝1時，a1＝2適合上式， ∴an＝2×3n－1， 故數(shù)列{a}是首項為4，公比為9的等比數(shù)列． 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)． 6．已知{an}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是(　　) A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)＋a≥2a C．若a1＝a3，則a1＝a2 D．若a3>a1，則a4>a2 解析：選B　設(shè){an}的首項

5、為a1，公比為q，則a2＝a1q，a3＝a1q2.∵a1＋a3＝a1(1＋q2)，又1＋q2≥2q，當(dāng)a1>0時，a1(1＋q2)≥2a1q，即a1＋a3≥2a2；當(dāng)a1<0時，a1(1＋q2)≤2a1q，即a1＋a3≤2a2，故A不正確；∵a＋a＝a(1＋q4)，又1＋q4≥2q2且a>0，∴a＋a≥2a，故B正確；若a1＝a3，則q2＝1.∴q＝±1.當(dāng)q＝1時，a1＝a2；當(dāng)q＝－1時，a1≠a2，故C不正確；D項中，若q>0，則a3q>a1q，即a4>a2；若q<0，則a3q

6、}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________. 解析：a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根且{an}是遞增數(shù)列，故a3＝4，a1＝1，故公比q＝2，S6＝＝63. 答案：63 8．(2014·杭州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1，ak2，ak3，…，構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝______. 解析：據(jù)題意等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝64a1＝a1＋3a1(n－1)，解得n＝

7、22. 答案：22 9．(2013·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 解析：設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q>0， 由得a1＝，q＝2. 所以an＝2n－6. a1＋a2＋…＋an＝2n－5－2－5，a1a2…an＝2. 由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，得2n－5－2－5>2， 由2n－5>2，得n2－13n＋10<0， 解得a1a2…an，n≥13時不滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，故

8、n的最大值為12.[來源:] 答案：12 10．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)． (1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列； (2)求通項an； (3)當(dāng)k＝－1時，求和a＋a＋…＋a. 解：(1)證明：∵Sn＝1＋kan，① Sn－1＝1＋kan－1，② ①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， ∴(k－1)an＝kan－1，＝為常數(shù)，n≥2. ∴{an}是公比為的等比數(shù)列． (2)∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝. ∴an＝·n－1＝－. (3)∵{an}中a1＝，q＝， ∴{a}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 當(dāng)k＝－1時，等

9、比數(shù)列{a}的首項為，公比為， ∴a＋a＋…＋a＝＝. 11．已知函數(shù)f(x)＝的圖象過原點，且關(guān)于點(－1,2)成中心對稱． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝f(an)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)∵f(0)＝0，∴c＝0. ∵f(x)＝的圖象關(guān)于點(－1,2)成中心對稱， ∴f(x)＋f(－2－x)＝4，解得b＝2. ∴f(x)＝. (2)∵an＋1＝f(an)＝， ∴當(dāng)n≥2時， ＝·＝·＝·＝2. 又＝2≠0， ∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， ∴＝2n，∴an＝.[來源:]

10、 12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0， ∴＝2， ∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1. (2)∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n， ∴4

11、b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2， ∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2， 即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n， ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n. [沖擊名校] 1．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________． 解析：由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n， 所以Sn＝＋

12、2＋3＋…＋n ＝＝1－n. ∵n∈N*，∴≤Sn<1. 答案：[來源:] 2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*. (1)當(dāng)實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn. 解：(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)． ∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， ∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)， a2＝3S1＋1＝3a1＋

13、1＝3t＋1， ∴當(dāng)t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結(jié)論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋. [高頻滾動] 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：選B　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋

14、an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14. 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解：(1)證明：因為an＝2an－1＋2n， 所以＝＝＋1，即－＝1， 所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d＝1，其首項＝，[來源:] 所以＝＋(n－1)×1＝n－， 解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1. (2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，① 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，② ①－②，得 －Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3. 所以Sn＝(2n－3)2n＋3.