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新版-□□新版數(shù)學高考復習資料□□-新版
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2、 1
技法強化訓練(三) 分類討論思想
(對應學生用書第161頁)
題組1 由概念、法則、公式引起的分類討論
1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝Pn－1(P是常數(shù))，則數(shù)列{an}是( )
【導學號：68334017】
A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列
C．等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．以上都不對
D [∵Sn＝Pn－1，
3、 ∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)．
當P≠1且P≠0時，{an}是等比數(shù)列；
當P＝1時，{an}是等差數(shù)列；
當P＝0時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．]
2．已知函數(shù)f(x)＝若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ) 【導學號：68334018】
A．(－∞，2) B．(－∞，4)
C．[2,4] D．(2，＋∞)
B [當－＜1，即a＜2時，顯然滿足條件；
當a≥2時，由－1＋a＞2a－5得2≤a＜4，
綜上可知a＜4.
4、]
3．已知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)＞1的解集為( )
圖1
A．(－3，－2)∪(2,3)
B．(－，)
C．(2,3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
A [由導函數(shù)圖象知，當x＜0時，f′(x)＞0，
即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，
當x＞0時，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，
又不等式f(x2－6)＞1等價于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，故－2＜x2－6≤0或0≤x
5、2－6＜3，解得x∈(－3，－2)∪(2,3)．]
4．已知實數(shù)m是2,8的等比中項，則曲線x2－＝1的離心率為( )
A. B.
C. D.或
D [由題意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.
(1)當m＝4時，曲線為雙曲線x2－＝1.
此時離心率e＝.
(2)當m＝－4時，曲線為橢圓x2＋＝1.
此時離心率e＝.]
5．設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn>0(n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________. 【導學號：68334019】
(－1,0)∪(0，＋∞) [因為{an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>
6、0，q≠0.
當q＝1時，Sn＝na1>0；
當q≠1時，Sn＝>0，
即>0(n∈N*)，則有?、?
或?、?
由①得－11.
故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)．]
6．若x＞0且x≠1，則函數(shù)y＝lg x＋logx10的值域為________．
(－∞，－2]∪[2，＋∞) [當x＞1時，y＝lg x＋≥2＝2，當且僅當lg x＝1，即x＝10時等號成立；當0＜x＜1時，y＝lg x＋＝－≤－2＝－2，當且僅當lg x＝，即x＝時等號成立．∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]
題組2 由參數(shù)變化引起的分類討論
7．已知集合A＝{
7、x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，則a的取值范圍為( )
A. B.
C．(－∞，－1] D.
C [因為C∩A＝C，所以C?A.
①當C＝?時，滿足C?A，此時－a≥a＋3，得a≤－；
②當C≠?時，要使C?A，則
解得－＜a≤－1.由①②得a≤－1.]
8．已知不等式組，所表示的平面區(qū)域為D，若直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點，則k的取值范圍為( ) 【導學號：68334020】
A．[－3,3]
B.∪
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D.
C [滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．∵y＝kx－
8、3過定點(0，－3)，∴當y＝kx－3過點C(1,0)時，k＝3；當y＝kx－3過點B(－1,0)時，k＝－3.
∴k≤－3或k≥3時，直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點，故選C.]
9．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
[解] 由題意知f(x)的定義域為(0，＋∞)， 1分
f′(x)＝＋2ax＝. 2分
①當a≥0時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 4分
②當a≤－1時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減. 6分
③當－1
9、x∈時，f′(x)>0；
當x∈時，f′(x)<0.
故f(x)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減. 10分
綜上，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當a≤－1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
當－1
10、
11．正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為________.
【導學號：68334021】
4或 [若側面矩形的長為6，寬為4，則
V＝S底×h＝×2×2×sin 60°×4＝4.
若側面矩形的長為4，寬為6，則
V＝S底×h＝×××sin 60°×6＝.]
12．已知中心在原點O，左焦點為F1(－1,0)的橢圓C的左頂點為A，上頂點為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為|OB|.
圖2
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C1的方程為：＋＝1(m＞n＞0)，橢圓C2的方程為：＋＝λ(λ＞0，且λ≠1)，則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．
11、如圖2，已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點M，N，試求弦長|MN|的取值范圍. 【導學號：68334022】
[解] (1)設橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，
∴直線AB的方程為＋＝1，
∴F1(－1,0)到直線AB的距離d＝＝b， 2分
a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，
解得a＝2，b＝， 3分
故橢圓C的方程為＋＝1. 4分
(2)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為＋＝1， 5分
①若切線l垂直于x軸，則其方程為x＝±2，
易求得|MN|＝2. 6分
②若切線l不垂直于x軸，可設其方程y＝k
12、x＋b，
將y＝kx＋b代入橢圓C的方程，
得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0， 7分
∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*)
8分
記M，N兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
將y＝kx＋b代入橢圓C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0， 9分
此時x1＋x2＝－，x1x2＝，|x1－x2|＝， 10分
∴|MN|＝×
＝4＝2.
∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋≤，
即2＜2≤4.
綜合①②得：弦長|MN|的取值范圍為[2，4]. 15分
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