（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第15練 立體幾何精準提分練習 文.docx

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第15練　立體幾何 [明晰考情]　1.命題角度：空間中的平行、垂直關(guān)系的證明與探求，空間幾何體的表面積、體積，平面圖形的折疊問題.2.題目難度：中檔難度. 考點一　空間的平行、垂直關(guān)系 方法技巧　(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系. (2)證明線線垂直的常用方法 ①利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直； ②利用勾股定理的逆定理； ③利用線面垂直的性質(zhì). 1.如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC. (1)求證：AE∥平面DBC； (2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求證：AD⊥DC. 證明　(1)過點D作DO⊥BC，O為垂足. 又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO?平面DBC， ∴DO⊥平面ABC. 又AE⊥平面ABC，∴AE∥DO. 又AE?平面DBC，DO?平面DBC，故AE∥平面DBC. (2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB?平面ABC， ∴DO⊥AB. 又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC?平面DBC， ∴AB⊥平面DBC. ∵DC?平面DBC， ∴AB⊥DC. 又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB?平面ABD， ∴DC⊥平面ABD. 又AD?平面ABD， ∴AD⊥DC. 2.(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求證：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明　(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因為AB?平面A1B1C， A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中， 四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1⊥A1B. 又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC. 又因為A1B∩BC＝B，A1B，BC?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因為AB1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC. 3.(2018全國Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點. (1)證明：PO⊥平面ABC； (2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離. (1)證明　因為PA＝PC＝AC＝4，O為AC的中點， 所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2. 如圖，連接OB. 因為AB＝BC＝AC， 所以△ABC為等腰直角三角形， 所以O(shè)B⊥AC，OB＝AC＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB. 因為OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O， OB，AC?平面ABC， 所以PO⊥平面ABC. (2)解　作CH⊥OM，垂足為H， 又由(1)可得OP⊥CH， 因為OM∩OP＝O，OM，OP?平面POM， 所以CH⊥平面POM. 故CH的長為點C到平面POM的距離. 由題意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝， ∠ACB＝45， 所以在△OMC中， 由余弦定理可得，OM＝， CH＝＝. 所以點C到平面POM的距離為. 考點二　幾何體的表面積、體積 方法技巧　(1)空間幾何體的表面積是各個面的面積之和，求解時可利用相應的面積公式計算. (2)幾何體體積的常用解法 ①直接法；②割補法；③等積轉(zhuǎn)換法. 4.(2018全國Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q－ABP的體積. (1)證明　由已知可得，∠BAC＝90， 即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC?平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解　由已知可得， DC＝CM＝AB＝3， DA＝3. 又BP＝DQ＝DA， 所以BP＝2. 如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E， 則QE∥DC且QE＝DC. 由(1)知平面ACD⊥平面ABC， 又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD?平面ACD， 所以DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱錐Q－ABP的體積 VQ－ABP＝S△ABPQE＝32sin451＝1. 5.如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點. (1)求證：A1D1∥平面AB1D； (2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60，求三棱錐B1－ABC的體積. (1)證明　連接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵D，D1分別是BC和B1C1的中點， ∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD， ∴四邊形B1BDD1為平行四邊形， ∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1. 又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1， ∴四邊形AA1D1D為平行四邊形， ∴A1D1∥AD. 又∵A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D， ∴A1D1∥平面AB1D. (2)解　在△ABC中，邊長均為4，則AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AD?平面ABC， ∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A－B1BC的高. 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2， 在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60， ∴△B1BC的面積為4. ∴三棱錐B1－ABC的體積即為三棱錐A－B1BC的體積V＝42＝8. 6.(2018龍巖質(zhì)檢)已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形，△ABC為腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD. (1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出詳細證明； (2)求三棱錐E－ABC的體積. 解　(1)如圖所示，取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求直線. 證明如下： 取BC的中點H，連接AH， ∵△ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點， ∴AH⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH?平面ABC， ∴AH⊥平面BCD， 同理，可證EN⊥平面BCD，∴EN∥AH， ∵EN?平面ABC，AH?平面ABC， ∴EN∥平面ABC. 又M，N分別為BD，DC的中點，∴MN∥BC， ∵MN?平面ABC，BC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN∩EN＝N，MN?平面EMN，EN?平面EMN， ∴平面EMN∥平面ABC， 又EF?平面EMN，∴EF∥平面ABC. (2)連接DH，取CH的中點G，連接NG，則NG∥DH，NG＝DH， 由(1)可知EN∥平面ABC， 所以點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等. 又△BCD是邊長為2的等邊三角形，∴DH⊥BC，DH＝， 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD， ∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，NG＝， 又AC＝AB＝3，BC＝2， ∴S△ABC＝BCAH＝2. ∴VE－ABC＝VN－ABC＝S△ABCNG＝. 考點三　立體幾何的綜合問題 方法技巧　(1)和折疊有關(guān)的平行、垂直問題，關(guān)鍵是弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，找出隱含的平行、垂直關(guān)系. (2)立體幾何中的探索性問題，可利用推理證明得出結(jié)論或利用特例得出結(jié)論，再針對一般情形給出證明. 7.(2018全國Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點. (1)證明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由. (1)證明　由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD. 因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD， 又DM?平面CMD， 故BC⊥DM. 因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑， 所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC， 所以DM⊥平面BMC. 又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解　當P為AM的中點時，MC∥平面PBD. 證明如下：連接AC，BD，交于點O.因為ABCD為矩形， 所以O(shè)為AC中點. 連接OP，因為P為AM中點， 所以MC∥OP. 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD. 8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，AC與BD交于點O，將正方形ABCD沿對角線BD折起，得到三棱錐A－BCD. (1)求證：平面AOC⊥平面BCD； (2)若三棱錐A－BCD的體積為，且∠AOC是鈍角，求AC的長. (1)證明　∵四邊形ABCD是正方形， ∴BD⊥AO，BD⊥CO. 折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O，AO，CO?平面AOC， ∴BD⊥平面AOC. ∵BD?平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD. (2)解　由(1)知BD⊥平面AOC， ∴VA－BCD＝S△AOCBD， ∴OAOCsin∠AOCBD＝， 即sin∠AOC2＝， ∴sin∠AOC＝. 又∵∠AOC是鈍角， ∴∠AOC＝120. 在△AOC中，由余弦定理，得 AC2＝OA2＋OC2－2OAOCcos∠AOC ＝()2＋()2－2cos120＝6， ∴AC＝. 9.如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60. (1)求三棱錐P－ABC的體積； (2)證明：在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM，并求的值. 解　(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60， ∴S△ABC＝ABACsin60＝. 由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱錐P－ABC的高，且PA＝1， ∴三棱錐P－ABC的體積V＝S△ABCPA＝. (2)在平面ABC內(nèi)，過點B作BN⊥AC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM. ∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴PA⊥AC，∴MN⊥AC. 又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN?平面BMN， ∴AC⊥平面MBN. 又∵BM?平面MBN， ∴AC⊥BM. 在Rt△BAN中，AN＝ABcos∠BAC＝， 從而NC＝AC－AN＝， 由MN∥PA，得＝＝. 綜上所述，在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM且＝. 典例　(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90. (1)證明：直線BC∥平面PAD； (2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P—ABCD的體積. 審題路線圖 (1)―→―→ (2)―→―→ 規(guī)范解答評分標準 (1)證明　在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90， 所以BC∥AD.1分 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.3分 (2)解　如圖，取AD的中點M，連接PM，CM. 因為側(cè)面PAD為等邊三角形，所以PM⊥AD，又底面ABCD⊥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD， 所以PM⊥底面ABCD.4分 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.6分 因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.8分 設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x， 取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD， 所以PN＝x. 因為△PCD的面積為2， 所以xx＝2. 解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐P－ABCD的體積 V＝S四邊形ABCDPM＝2＝4.12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　證關(guān)系：空間中的線面關(guān)系以線線關(guān)系為基礎(chǔ)，先尋找圖形中的線線平行或線線垂直，再利用判定定理證線面平行或線面垂直. [第二步]　找底面：計算幾何體的體積，關(guān)鍵是確定幾何體的底面和相應的高，理清計算的思路. [第三步]　巧計算：利用已知條件巧妙搭建和要求體積的關(guān)系，計算所求面積或體積. 1.(2018北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點. (1)求證：PE⊥BC； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD； (3)求證：EF∥平面PCD. 證明　(1)因為PA＝PD，E為AD的中點， 所以PE⊥AD. 因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因為底面ABCD為矩形， 所以AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD， 所以AB⊥PD. 又因為PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG. 因為F，G分別為PB，PC的中點， 所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC， 因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EF∥DG. 又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 2.(2017北京)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點. (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC； (3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積. (1)證明　因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以PA⊥平面ABC. 又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD. (2)證明　因為AB＝BC，D是AC的中點， 所以BD⊥AC. 由(1)知PA⊥BD， 又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 又BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC. (3)解　因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因為D為AC的中點， 所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱錐E－BCD的體積V＝DES△BDC＝BDDCDE＝. 3.(2018柳州模擬)如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在線段AB上. (1)證明：AP⊥PB； (2)求三棱錐P－EBC的表面積. (1)證明　由題意知PE⊥平面ABC，又BC?平面ABC， ∴PE⊥BC， 又AB⊥BC且AB∩PE＝E，AB，PE?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 又AP?平面PAB，∴BC⊥AP， 又AP⊥CP且BC∩CP＝C，BC，CP?平面PBC， ∴AP⊥平面PBC， 又PB?平面PBC，∴AP⊥PB. (2)解　在△PAB中，由(1)得AP⊥PB，AB＝4，AP＝2， ∴PB＝2，PE＝＝， ∴BE＝3，∴S△PEB＝3＝， 在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝2，EC＝＝， ∴S△EBC＝32＝3， ∴S△PEC＝PECE＝＝， ∴S△PBC＝BCPB＝22＝2， ∴三棱錐P－EBC的表面積為 S＝S△PEB＋S△EBC＋S△PEC＋S△PBC＝＋3＋＋2＝. 4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC， (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由. (1)證明　因為PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC，AC∩PC＝C，AC，PC?平面PAC， 所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因為AB∥DC， 又由(1)知DC⊥平面PAC， 所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點F， 使得PA∥平面CEF. 證明如下： 取PB中點F，連接EF，CE，CF. 因為E為AB的中點， 所以EF∥PA. 又因為PA?平面CEF，EF?平面CEF， 所以PA∥平面CEF.