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第46練 基本不等式
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)熟練掌握基本不等式及應(yīng)用方法；(2)會用基本不等式解決最值問題；(3)能將基本不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等知識結(jié)合，解決綜合問題．
訓(xùn)練題型
(1)比較兩數(shù)(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代數(shù)式、函數(shù)式值域；(4)求參數(shù)范圍；(5)與其他知識交匯綜合應(yīng)用．
解題策略
(1)直接利用基本不等式(注意應(yīng)用條件)；(2
3、)將已知條件變形，以“和”或“積”為定值為目標(biāo)，構(gòu)造基本不等式“模型”(注意積累變形技巧，總結(jié)變形突破點(diǎn)).
一、選擇題
1．(20xx·青島模擬)設(shè)a，b∈R，已知命題p：a2＋b2≤2ab；命題q：2≤，則p是q成立的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．(20xx·泰安模擬)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是( )
A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋>
C.＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab
4．
4、當(dāng)x>1時，不等式x＋≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
5．若a>b>0，則a2＋的最小值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得＝4a1，則＋的最小值為( )
A. B.
C. D．不存在
7．若直線ax＋by－1＝0(a>0，b>0)過曲線y＝1＋sin πx(0
5、相垂直的單位向量，且a·c＝b·c＝1，則對任意的正實(shí)數(shù)t，|c＋ta＋b|的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
二、填空題
9．已知x>0，y>0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________．
10．(20xx·長春調(diào)研)若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
11．函數(shù)y＝1－2x－(x<0)的最小值為________．
12．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足等式x＋y＋8＝xy，若對任意滿足條件的x，y，不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案
6、精析
1．B [當(dāng)p成立的時候，q一定成立，但當(dāng)q成立的時候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要條件．]
2．C [因?yàn)閤y≤，x>0，y>0，所以≥，≥，
所以x＋y＋≤5.設(shè)x＋y＝t，即t＋≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，所以x＋y的最大值是4.]
3．C [因?yàn)閍b>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)，所以選C.]
4．D [設(shè)f(x)＝x＋，因?yàn)閤>1，所以x－1>0，則f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)min＝3，因此要使不等式x＋≥a恒成立，則a≤3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]，故選D.]
5．C
7、[原式＝[(a－b)＋b]2＋
≥[2]2＋
＝4(a－b)b＋
≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號)．]
6．A [∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，
又∵{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，
∴a5≠0，且q>0，∴q2－q－2＝0，
∴q＝2或q＝－1(舍去)．
又＝4a1，
∴am·an＝16a，aqm＋n－2＝16a，
又a≠0，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，
＋＝(＋)(m＋n)
＝(5＋＋)
≥(5＋2 )＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即m＝2，n＝4時取等號．]
7．C [畫出y＝1＋sin πx(0
8、為(1,1)，
則直線ax＋by－1＝0過點(diǎn)(1,1)，
所以a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(＋)(a＋b)
＝1＋＋＋2≥3＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號．
即(＋)min＝3＋2.故選C.]
8．B [∵a，b是互相垂直的單位向量，
設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
由a·c＝b·c＝1，得x＝y(tǒng)＝1，
即c＝(1,1)，
∴c＋ta＋b＝(1,1)＋(t,0)＋(0，)
＝(1＋t,1＋)，
∴|c＋ta＋b|
＝2
＝，
∵t>0，∴t＋≥2，t2＋≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時取等號，
∴|c＋ta＋b|≥＝2，
故|c＋t
9、a＋b|的最小值為2.]
9．3＋2
解析 (＋)(x＋y)＝1＋2＋＋≥3＋2.
10．(－4,2)
解析 x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝4時等號成立．
由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4
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