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考點規(guī)范練31 不等關系與一元二次不等式
基礎鞏固組
1.(2018浙江臺州4月調研)若a,b∈R,則“1a<1b”是“aba3-b3>0”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案C
解析因為1a<1b?1a-1b=b-aab<0,而aba3-b3=ab(a-b)(a2+ab+b2)>0,反過來也成立,所以是充要條件.故選C.
2.若1a<1b<0,則下列結論不正確的是( )
A.a2
|a+b|
答案D
解析由題意可知bf(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
答案A
解析原不等式可化為x≥0,x2-4x+6>3或x<0,x+6>3,
則原不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞).故選A.
4.若一元二次不等式2kx2+kx-38<0對一切實數x都成立,則k的取值范圍為( )
A.(-3,0] B.[-3,0)
C.[-3,0] D.(-3,0)
答案D
解析2kx2+kx-38<0對一切實數x都成立,
則必有2k<0,Δ=k2-42k-38<0,解得-31或x<12 B.x>1或-112
答案B
解析(2x-1)(1-|x|)<0?2x-1>0,1-|x|<0或2x-1<0,1-|x|>0
?x>12,x>1或x<-1或x<12,-11或-10的解集為 .
答案-12,1
解析-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,(2x+1)(x-1)<0,解得-120的解集為-12,1.
7.已知不等式組x2-x-6<0,x2-4x-5<0的解集是不等式x2-mx-6<0的解集的子集,則實數m的取值范圍是 .
答案1≤m≤5
解析因為不等式組x2-x-6<0,x2-4x-5<0的解集是{x|-10 B.k>1
C.k<-4 D.k>0或k<-4
答案D
解析設方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個實根分別為x1,x2,且x1<1,x2>1,依題意,有
Δ=4-8k(-3k-2)>0,(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-3k+22k-22k+1<0,
解得k>0或k<-4.
10.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實數a的值的集合是 ( )
A.{a|00,Δ=a2-4a≤0,得013,則f(ex)>0的解集為( )
A.{x|x<-1或x>-ln 3} B.{x|-1-ln 3} D.{x|x<-ln 3}
答案D
解析設-1和13是方程x2+ax+b=0的兩個實數根,則a=--1+13=23,b=-113=-13,∵一元二次不等式f(x)<0的解集為x x<-1或x>13,
∴f(x)=-x2+23x-13=-x2-23x+13.
∴f(x)>0的解集為x∈-1,13.
不等式f(ex)>0可化為-10的解集為{x|x<-ln3}.
12.(2018浙江余姚中學模擬)已知函數f(x)=(mx+n)(x-1)為偶函數,且在區(qū)間(-∞,0)上單調遞增,則f(2-x)>0的解集為( )
A.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案A
解析∵f(x)=(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n,
函數f(x)=(mx+n)(x-1)為偶函數,
∴f(-x)=f(x),即mx2+(n-m)x-n=mx2-(n-m)x-n,得-(n-m)=(n-m),即n-m=0.∴m=n,
則f(x)=mx2-m.∵函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞增,∴m<0.
由f(2-x)>0,得m(2-x)2-m>0,
即(2-x)2-1<0,得x2-4x+3<0,解得10在R上有解,則實數a的取值范圍是 ;若在區(qū)間[1,5]上有解,則實數a的取值范圍是 .
答案R -235,+∞
解析設f(x)=x2+ax-2,因為函數f(x)的圖象開口向上,所以對任意a∈R,f(x)>0在R上有解;由于Δ=a2+8>0恒成立,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一負兩根.于是不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0,即a∈-235,+∞.
16.(2018浙江金華模擬)已知一元二次函數f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(x)>0的解集為{x|-30的解集為{x|-30)?b2+4a2-4ac≤0(a>0),
∴0≤b2≤4a(c-a).
∴b2a2+c2≤4a(c-a)a2+c2=4ca-11+ca2.
令t=ca-1,∵4a(c-a)≥b2≥0,
∴c≥a?ca≥1,從而t≥0,
∴b2a2+c2≤4t1+(t+1)2=4tt2+2t+2.
令g(t)=4tt2+2t+2(t≥0).
①當t=0時,g(0)=0;
②當t>0時,g(t)=4t+2t+2≤422+2=22-2,
∴b2a2+c2的最大值為22-2.
17.已知函數f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,試求函數y=f(x)x(x>0)的最小值;
(2)若對于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,試求a的取值范圍.
解(1)依題意得y=f(x)x=x2-4x+1x=x+1x-4.
因為x>0,所以x+1x≥2,
當且僅當x=1x,即x=1時,等號成立,所以y≥-2.
所以當x=1時,y=f(x)x的最小值為-2.
(2)因為f(x)-a=x2-2ax-1,
所以要使得“?x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在區(qū)間[0,2]上恒成立”.不妨設g(x)=x2-2ax-1,
則只要g(x)≤0在區(qū)間[0,2]上恒成立即可,
所以g(0)≤0,g(2)≤0,即0-0-1≤0,4-4a-1≤0,
解得a≥34,則a的取值范圍為34,+∞.
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