三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題07 不等式

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第七章 不等式 一、選擇題 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較. 2. 【2014高考北京理第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ） A．2 B． C． D

2、． 【答案】D 【解析】 試題分析：若，沒(méi)有最小值，不合題意； 若，則不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，由圖可知，直線在點(diǎn)處取得最小值，所以，解得.故選D. 考點(diǎn)：不等式組表示的平面區(qū)域，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，容易題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃有關(guān)知識(shí),本題屬于基礎(chǔ)題，近幾年高考線性規(guī)劃為必考基礎(chǔ)題，線性規(guī)劃考試題型有兩種，一種是類似本題求目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍，但目標(biāo)函數(shù)變化多樣，有截距型、距離型、斜率型等；另一種是線性規(guī)劃逆向思維型，提供目標(biāo)函數(shù)的最值，反求參數(shù). 3. 【2015高考北京，理2】若，滿足則的最大值為（ ） A．0 B．1 C．

3、 D．2 【答案】D 【解析】如圖，先畫(huà)出可行域，由于，則，令，作直線，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解，此時(shí)直線的截距最大，取得最小值2. 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為線性規(guī)劃的基本方法 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃解題的基本方法，本題屬于基礎(chǔ)題,要求依據(jù)二元一次不等式組準(zhǔn)確畫(huà)出可行域，利用線性目標(biāo)函數(shù)中直線的縱截距的幾何意義，令，畫(huà)出直線，在可行域內(nèi)平移該直線，確定何時(shí)取得最大值，找出此時(shí)相應(yīng)的最優(yōu)解，依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)求出最值，這是最基礎(chǔ)的線性規(guī)劃問(wèn)題. 4.【2015高考廣東，理6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ） A． B. 6

4、 C. D. 4 【答案】． 【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示， 由得，由上圖結(jié)合題意可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線：經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最小值即，故選 【考點(diǎn)定位】二元一次不等式的線性規(guī)劃． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生利用二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域解決線性規(guī)劃的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力，本題關(guān)鍵在于正確作出二元一次不等式組所表示的可行域和準(zhǔn)確判斷目標(biāo)函數(shù)直線出取得最小值的可行解，屬于容易題． 5. 【2014高考廣東卷.理.3】若變量.滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則( ) A.

5、 B. C. D. 【答案】C 【解析】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分所表示， 直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)， 作直線，則為直線在軸上的截距，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即； 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即 . 因此，，故選C. 【考點(diǎn)定位】本題考查線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于中等題．線性規(guī)劃類問(wèn)題的解題關(guān)

6、鍵是先正確畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時(shí)取得最值．解題時(shí)要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤． 6. 【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域 中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（ ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【解析】 試題分

7、析：如圖為線性區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段，即，而，由得，由得，．故選C． 考點(diǎn)：線性規(guī)劃． 【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，再根據(jù)題目中的定義確定的值．畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤． 7.【2015高考山東，理5】不等式的解集是（ ） （A）（-∞，4） （B）（-∞，1） （C）（1，4） （D）（1，5） 【答案】A 【考點(diǎn)定位】含絕對(duì)值的不等式的解法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值的不等式的解法，重點(diǎn)考查學(xué)生利用絕對(duì)值的意義將含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值

8、的不等式（組）從而求解的能力，本題屬中檔題. 8. 【2015高考山東，理6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ） （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)確定參數(shù)的值，考查學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃的方法理解的深度以及應(yīng)用的靈活性，意在考查學(xué)生利用線性規(guī)劃的知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力. 9. 【2014山東.理9】 已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（

9、） A.5 B.4 C. D.2 【答案】 【解析】畫(huà)出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即，代人得，，所以，時(shí)，，選. 【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類問(wèn)題的基本解法是“圖表法”，即通過(guò)畫(huà)可行域及直線ax＋by=0，平移直線ax＋by=0，觀察其在y軸的縱截距變化情況，得出最優(yōu)解.要注意y的系數(shù)正負(fù)不同時(shí)，結(jié)論恰好相反. 本題屬于小綜合題，由以往單純考查線性規(guī)劃問(wèn)題，轉(zhuǎn)變成此類題，增大了解題的難度，也給人耳目一新的感覺(jué). 10. 【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）

10、A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 試題分析：作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】可行域是封閉區(qū)域時(shí)，可以將端點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值與最小值，從而得到相應(yīng)范圍.若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時(shí)，不能簡(jiǎn)單的運(yùn)用代入頂點(diǎn)的方法求最優(yōu)解.如變式2，需先準(zhǔn)確地畫(huà)出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線在可行域上移動(dòng)，觀察z的大小變化，得到最優(yōu)解. 11.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）

11、A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，故選C． 【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是基本不等式和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意檢驗(yàn)在使用基本不等式求最值中是否能夠取得等號(hào)，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．本題先判斷和的大小關(guān)系，再利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小． 12. 【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸

12、甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（ ） A．12萬(wàn)元 B．16萬(wàn)元 C．17萬(wàn)元 D．18萬(wàn)元 甲 乙 原料限額 （噸） （噸） 【答案】D 【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為、噸，則利潤(rùn) 由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域： 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故選D． 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于容易題．線性規(guī)劃類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是先正確畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確

13、定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時(shí)取得最值．解題時(shí)要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤． 13. 【2014新課標(biāo)，理9】設(shè)x,y滿足約束條件，則的最大值為（ ） A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,可知區(qū)域?yàn)槿切?，平移直線，可知當(dāng)經(jīng)過(guò)兩條直線 與的交點(diǎn)A（5，2）時(shí)，取得最大值8，故選B. 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題的解法，本題屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生根據(jù)所給二

14、元一次不等式組畫(huà)所表示平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，由圖形直觀地觀察得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值，本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是平面區(qū)域必須作正確，且要有一定的精度；二是目標(biāo)函數(shù)的幾何意義必須理解正確才能正確作出答案. 14. 【2016高考浙江理數(shù)】已知實(shí)數(shù)a，b，c（ ） A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<1

15、00 【答案】D 考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)． 【方法點(diǎn)睛】對(duì)于判斷不等式恒成立問(wèn)題，一般采用舉反例排除法．解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式． 15. 【2014四川，理4】若，，則一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：， 又.選D 【考點(diǎn)定位】不等式的基本性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】不等式的基本性質(zhì):同向同正可乘性,可推：. 16.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ） （A）16 （B）18 （C）25 （D

16、） 【答案】B 【考點(diǎn)定位】函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】首先弄清拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，結(jié)合所給單調(diào)區(qū)間找到m、n滿足的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式結(jié)合考查，檢測(cè)了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力.在知識(shí)的交匯點(diǎn)命題，這是高考的一個(gè)方向，這類題往往以中高檔題的形式出現(xiàn). 17. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理9】不等式組的解集為D,有下面四個(gè)命題： ， ， ， 其中的真命題是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】畫(huà)出可行域，如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最小值，，故的取值范圍為，所以正確的

17、命題是，選B． 【考點(diǎn)定位】1、線性規(guī)劃；2、存在量詞和全稱量詞． 【名師點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，線性規(guī)劃和存在量詞和全稱量詞，著重考查考生的數(shù)形結(jié)合能力，熟練作圖和正確分析是解決本題的關(guān)鍵，本題的綜合性很強(qiáng). 18. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足 則p是q的( ) （A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：畫(huà)出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤(pán)內(nèi)，故選A. 考點(diǎn)：1.充分條件、必要條件的判

18、斷；2.線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性的判斷問(wèn)題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問(wèn)題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論． 19. 【2014，安徽理5】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A， B． C．2或1 D． 【答案】D． 【解析】 試

19、題分析：題中的約束條件表示的區(qū)域如下圖，將化成斜截式為，要使其取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則在平移的過(guò)程中與重合或與重合，所以或． 考點(diǎn)：1．線性規(guī)劃求參數(shù)的值． 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)一般都有明顯的幾何意思，如直線在軸上的截距、斜率、距離等，要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義靈活應(yīng)用.對(duì)于含參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，如型，可變形為斜截式，進(jìn)而考查軸上截距的取值范圍. 20. 【2014天津，理2】設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 （　　） （A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5 【答案】B． 【解析】 試題分析：由題畫(huà)出如圖所示的

20、可行域，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，故選B． 考點(diǎn)：1．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域；2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃解題的基本方法，本題屬于基礎(chǔ)題,要求依據(jù)二元一次不等式組準(zhǔn)確畫(huà)出可行域，利用線性目標(biāo)函數(shù)中直線的縱截距的幾何意義，令，畫(huà)出直線，在可行域內(nèi)平移該直線，確定何時(shí)取得最大值，找出此時(shí)相應(yīng)的最優(yōu)解，依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)求出最值，這是最基礎(chǔ)的線性規(guī)劃問(wèn)題. 線性規(guī)劃考試題型有兩種，一種是求目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍，但目標(biāo)函數(shù)變化多樣，有截距型、距離型、斜率型等；另一種是線性規(guī)劃逆向思維型，提供目標(biāo)函數(shù)的最值，反求參數(shù)的范圍，本題屬于第二類，對(duì)可行域提出相應(yīng)的要

21、求，求參數(shù)的取值范圍. 21. 【2015高考天津，理2】設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( ) （A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C 【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示，當(dāng)所表示直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃與二元一次不等式的幾何意義，將二元一次不等式（組）的幾何意義與求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題結(jié)合在一起，考查線性相關(guān)問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查學(xué)生的作圖能力與運(yùn)算能力.本題中不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)椴环忾]區(qū)域，與平時(shí)教學(xué)中的練習(xí)題有出入，

22、是易錯(cuò)問(wèn)題. 22.【2014湖北卷7】由不等式組確定的平面區(qū)域記為，不等式組，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 考點(diǎn)：不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題. 【名師點(diǎn)睛】將一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域和幾何概型聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查幾何概型，其解題的關(guān)鍵是正確地畫(huà)出一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域.能較好的考查學(xué)生準(zhǔn)確作圖能力和靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 23. 【2015高考湖北，

23、理10】設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 若存在實(shí)數(shù)，使得，，…， 同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù).由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，與矛盾，故正整數(shù)的最大值是4. 【考點(diǎn)定位】函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】這類問(wèn)題一般有兩種：表示不超過(guò)的最大整數(shù)；表示不小于的最大整數(shù). 應(yīng)注意區(qū)別. 24.【2015高考福建，理5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( ) A．

24、 B． C． D．2 【答案】A 【解析】畫(huà)出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過(guò)可行域，盡可能向上移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為，故選A． 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，要正確作圖，首先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，解該類題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題． 25. .【2014遼寧理11】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D．

25、【答案】C 【解析】 試題分析：當(dāng)x=0時(shí)，原式恒成立； 當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于恒成立； 當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于恒成立； 令，， 令，即，，可知為y的增區(qū)間，為y的減區(qū)間，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，t=1時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y在上遞減，在上遞增，所以t=-1時(shí)，即； 綜上，可知a的取值范圍是，故選C. 考點(diǎn)：不等式恒成立問(wèn)題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式恒成立問(wèn)題.解答本題的關(guān)鍵，是利用分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性、最值，得出結(jié)論. 本題屬于能力題，中等難度.在考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式恒成立問(wèn)題等基本方法的同時(shí)，考查了

26、考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分類討論思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想. 26. 【2015湖南理2】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 【答案】A. 【解析】 試題分析：如下圖所示，畫(huà)出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時(shí)，的最小值是，故選A. 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于容易題，在畫(huà)可行域時(shí)，首先必須找準(zhǔn)可行域的范圍，其次要注意目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線斜率的大小，從而確定目標(biāo)函數(shù)取到最優(yōu)解時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，

27、切忌隨手一畫(huà)導(dǎo)致錯(cuò)解. 27.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ） （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，是不等式中的基本問(wèn)題，往往圍繞目標(biāo)函數(shù)最值的確定，涉及直線的斜率、兩點(diǎn)間距離等，考查考生的繪圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 28.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） （A） （B）6 （C）10 （

28、D）17 【答案】B 【解析】 試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍. 二、填空題 1. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_(kāi)____________. 【答案】 【解析】 試題分析：作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，即．

29、 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題． 【技巧點(diǎn)撥】利用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：(1)作出可行域．將約束條件中的每一個(gè)不等式當(dāng)作等式，作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出所有區(qū)域的交集；(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(等值線是指目標(biāo)函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的直線)；(3)求出最終結(jié)果． 2. 【2014高考廣東卷.理.9】不等式的解集為 . 【答案】. 【解析】令，則， 【考點(diǎn)定位】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是絕對(duì)值不等式，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意解與解集的區(qū)別，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式

30、的步驟：①求零點(diǎn)；②劃區(qū)間，去絕對(duì)值號(hào)；③分別解去掉絕對(duì)值的不等式；④取每段結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值． 3. 【2014湖南14】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則. 【答案】 【解析】求出約束條件中三條直線的交點(diǎn)為,且不等式組限制的區(qū)域如圖,所以,則當(dāng)為最優(yōu)解時(shí),, 當(dāng)為最優(yōu)解時(shí),, 因?yàn)?所以,故填. 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃 【名師點(diǎn)睛】有關(guān)線性規(guī)劃的題目主要是根據(jù)所給不等式組得到對(duì)應(yīng)的可行域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)滿足的條件結(jié)合其對(duì)應(yīng)的幾何意義進(jìn)行發(fā)現(xiàn)計(jì)算即可. 常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有： (1)截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過(guò)求

31、直線的截距的最值間接求出的最值． (2)距離型：形如. (3)斜率型：形如.注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義． 4. 【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 元． 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利

32、潤(rùn)之和為元,那么 ① 目標(biāo)函數(shù). 二元一次不等式組①等價(jià)于 ② 作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域. 將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí), 取得最大值. 解方程組,得的坐標(biāo). 所以當(dāng),時(shí),. 故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值為元. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見(jiàn)的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合.本題運(yùn)算量較大,失分的一個(gè)主要原因是運(yùn)算失誤. 5. 【2015高考新課標(biāo)2，理14】若x，y

33、滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)___________． 【答案】 【解析】畫(huà)出可行域，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取到最大時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線盡可能地向上平移到，則的最大值為． 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，要正確作圖，首先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，解該類題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題． 6.【2015高考新課標(biāo)1，理15】若滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】3 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連

34、線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A（1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故的最大值為3. 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃解法 【名師點(diǎn)睛】對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題，先作出可行域，在作出目標(biāo)函數(shù)，利用z的幾何意義，結(jié)合可行域即可找出取最值的點(diǎn)，通過(guò)解方程組即可求出做最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值，要熟悉相關(guān)公式，確定目標(biāo)函數(shù)的意義是解決最優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵，目標(biāo)函數(shù)常有距離型、直線型和斜率型. 7. 【2014年.浙江卷.理13】當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 答案： 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦

35、予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫(huà)二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值．(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝. 8. 【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【解析】由圖知原點(diǎn)到直線距離平方為最小值，為，原點(diǎn)到點(diǎn)距離平方為最大值，為，因此取值范圍為 考點(diǎn)：線性規(guī)劃 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封

36、閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍. 9. 【2015高考浙江，理14】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 ． 【答案】. 【考點(diǎn)定位】1.線性規(guī)劃的運(yùn)用；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想；3.直線與圓的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了以線性規(guī)劃為背景的運(yùn)用，屬于中檔題根據(jù)可行域是圓及其內(nèi)部的特點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定，首先可以將目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)中去掉一個(gè)，再利用分類討論的數(shù)學(xué)思想去掉其中一個(gè)絕對(duì)值號(hào)，利用線性規(guī)劃知識(shí)求解，

37、理科試卷的線性規(guī)劃問(wèn)題基本考查含參的線性規(guī)劃問(wèn)題或者是利用線性規(guī)劃的知識(shí)解決一些非線性的目標(biāo)函數(shù)或可行域的問(wèn)題，常需考查目標(biāo)函數(shù)或可行域的幾何意義求解，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注. 12. 【2015高考江蘇，7】不等式的解集為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】由題意得：，解集為 【考點(diǎn)定位】解指數(shù)不等式與一元二次不等式 【名師點(diǎn)晴】指數(shù)不等式按指數(shù)與1的大小判斷其單調(diào)性，決定其不等號(hào)是否變號(hào)；對(duì)于一元二次方程的解集，先研究，按照，，三種情況分別處理，具體可結(jié)合二次函數(shù)圖像直觀寫(xiě)出解集. 14. 【2014湖北卷14】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)為，則稱為

38、關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時(shí)，可得，即為的算術(shù)平均數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，為的幾何平均數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，為的調(diào)和平均數(shù)； （以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：設(shè)，則三點(diǎn)共線： ①依題意，，則，，化簡(jiǎn)得， 故可以選擇. ②依題意，，則，，化簡(jiǎn)得， 故可以選擇. 考點(diǎn)：兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，難度中等.新定義型試題是高考的熱點(diǎn)試題，考生錯(cuò)誤往往有二，其一為不能正確理解題意，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數(shù)學(xué)能力.但縱觀湖北近四年高考試題，新定義型試題是必考試題，在專題復(fù)習(xí)中應(yīng)

39、加強(qiáng)訓(xùn)練. 【名師點(diǎn)睛】以新定義為背景，以函數(shù)為依托，重點(diǎn)考查兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，涉及構(gòu)造函數(shù)，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的重要地位，其易錯(cuò)點(diǎn)有二，其一為不能正確理解題意，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數(shù)學(xué)能力. 15. 【2014上海,理5】 若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為_(kāi)_____________. 【答案】 【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 【考點(diǎn)】基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】 1．活用幾個(gè)重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同號(hào))． ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．

40、2．巧用“拆”“拼”“湊” 在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． 16. 【2014福建,理11】若變量滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_______ 【答案】1 【解析】 試題分析：依題意如圖可得目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)截距最大.即. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見(jiàn)的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合思想. 18. 【2014遼寧理16】對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，且使最大時(shí)，

41、的最小值為 . 【答案】 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 綜上可知當(dāng)時(shí)， 法二：柯西不等式：由可得： ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)， 這時(shí)或 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 綜上可知當(dāng)時(shí)， 考點(diǎn)：柯西不等式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式、函數(shù)的最值等.解答本題的關(guān)鍵，是利用分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，逐步轉(zhuǎn)化成可用不等式的有關(guān)結(jié)論解答的情形. 本題屬于能力題，是一道難題.在考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式、函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查了考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想. 三、解答題 1. 【2014高考陜西版理第18題】在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上 （1）若，求； （2）設(shè)，用表示，并求的最大值. 【答案】（1）；（2），1. 【解析】 試題解析：（1）因?yàn)? 所以 即得 所以 （2） 即 兩式相減得： 令，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值1，故的最大值為1. 考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算；線性規(guī)劃. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平面向量的線性運(yùn)算；線性規(guī)劃.簡(jiǎn)單的應(yīng)用，屬于中檔題；向量問(wèn)題與線性規(guī)劃問(wèn)題的結(jié)合不是太常見(jiàn)，特別是在大題中，解題是要充分理解題意，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題是解題的關(guān)鍵