（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 考點(diǎn)規(guī)范練27 數(shù)列的概念與簡單表示法.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練27　數(shù)列的概念與簡單表示法 基礎(chǔ)鞏固組 1.數(shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.an=2n-1 B.an=(-1)n(2n-1) C.an=(-1)n+1(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1) 答案C 解析由數(shù)列中的項(xiàng)為1,-3,5,-7,9,…可以看出:符號(hào)正負(fù)相間,各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9…恰好構(gòu)成一等差數(shù)列,設(shè)其為{bn},則其通項(xiàng)公式為bn=2n-1.因此數(shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).故選C. 2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n,則a4的值為(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 答案C 解析由題意得a4=S4-S3=20-12=8. 3.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=32(an-1)(n∈N*),則an= (　　) A.3(3n-2n) B.3n+2 C.3n D.32n-1 答案C 解析當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=32(an-1)-32(an-1-1),整理,得an=3an-1,即anan-1=3,由a1=32(a1-1),得a1=3,∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,∴an=3n.故選C. 4.(2018浙江浦江模擬)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的個(gè)位數(shù),則a2 019=(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案C 解析由題意可得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;觀察可知數(shù)列{an}中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn),周期為6.故從第3項(xiàng)開始算起,2019-2=2017,2017=3366+1,a2019=a3=4,應(yīng)選C. 5.若數(shù)列{an}滿足an+1+an=2n-3,a1=2,則a8-a4=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 答案D 解析依題意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4. 6.已知數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=1,an=an-13n-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為　　　　　　. 答案an=3n(n-1)2 解析∵an=anan-1an-1an-2…a2a1a1=3n-13n-2…31=3n(n-1)2,又a1也滿足上式,∴an=3n(n-1)2. 7.若數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=　. 答案3n 解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n替換成n-1得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,兩項(xiàng)相減得an=3n. 8.若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=1+an1-an(n∈N*),則該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的乘積a1a2a3…a2 018=　　　　　. 答案-6 解析經(jīng)計(jì)算,得a1=2,a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,… 則數(shù)列{an}是以4為周期的一個(gè)周期數(shù)列. ∵a1a2a3a4=1, ∴a1a2…a2013a2014a2018=2(-3)=-6. 能力提升組 9.已知數(shù)列{an}中的任意一項(xiàng)都為正實(shí)數(shù),且對(duì)任意m,n∈N*,有aman=am+n,如果a10=32,那么a1的值為(　　) A.-2 B.2 C.2 D.-2 答案C 解析令m=1,則an+1an=a1,所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng),公比為a1的等比數(shù)列,從而an=a1n,因?yàn)閍10=512,所以a1=2. 10.(2018浙江春暉中學(xué)模擬)設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99=(　　) A.100 B.2 C.-2 D.-100 答案C 解析因?yàn)閥=(n+1)xn,所以曲線y=xn+1在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為n+1,切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=1-1n+1=nn+1,所以an=lgxn=lgnn+1. 所以a1+a2+…+a99=lg1223…99100=lg1100=-2. 11.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn+1=(n-λ)1an+1,b1=-λ,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(　　) A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3 答案C 解析由已知可得1an+1=2an+1,1an+1+1=21an+1. 又1a1+1=2≠0,則1an+1=2n,bn+1=2n(n-λ), bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也適合上式, 故bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N*). 由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ0.∴an+1>an.∴數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,由an+1-1=an2-an=an(an-1), ∴1an+1-1=1an(an-1)=1an-1-1an. ∴1an=1an-1-1an+1-1.∴m=1a1+1a2+…+1a2017=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+…+1a2017-1-1a2018-1=1a1-1-1a2018-1=3-1a2018-1. 由a1=43>1,則an+1-an=(an-1)2>0, ∴a2=1+49,a3=1+5281,a4=1+69166561>2, …, a2018>2,∴0<1a2018-1<1. ∴2an,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　. 答案-2　(-3,+∞) 解析(1)因?yàn)閍n=n2-5n+4=n-522-94,所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)n=2或n=3時(shí),an有最小值,其最小值為a2=a3=-2. (2)由an+1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列,又因?yàn)橥?xiàng)公式an=n2+kn+4可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以-k2<32,即k>-3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-3,+∞). 15.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),如圖,他們研究過圖中的1,5,12,22,…, 由于這些數(shù)能夠表示成五角形,將其稱為五角形數(shù).若按此規(guī)律繼續(xù)下去,第n個(gè)五角形數(shù)an=　　　　　. 答案32n2-12n 解析觀察圖象,發(fā)現(xiàn)a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10, 猜測(cè)當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+3n-2,則an-an-1=3n-2. 故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(32-2)+1=32n2-12n. 16.(2018浙江嘉興一中模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+an+1=2n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是　　　　　. 答案an=132n+13,n為奇數(shù),132n-13,n為偶數(shù) 解析∵an+an+1=2n,① ∴an+1+an+2=2n+1,② ②-①,得an+2-an=2n,由a1=1,a1+a2=2,得a2=1. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a3-a1)+a1=2n-2+2n-4+…+2+1=132n+13; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a4-a2)+a2=2n-2+2n-4+…+22+1=132n-13. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=132n+13,n為奇數(shù),132n-13,n為偶數(shù). 17.已知數(shù)列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值; (2)若對(duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍. 解(1)∵an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈R,且a≠0),a=-7, ∴an=1+12n-9(n∈N*). 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12x-9的單調(diào)性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*). ∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0. (2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2, 已知對(duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立, 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12x-2-a2的單調(diào)性, 可知5<2-a2<6,即-100, ∴當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,則(2n-1)(2n+1)2(n-1)≥152.∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是-∞,152.