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考點(diǎn)規(guī)范練46 橢圓
基礎(chǔ)鞏固組
1.(2017浙江高考)橢圓x29+y24=1的離心率是( )
A.133 B.53 C.23 D.59
答案B
解析e=9-43=53,故選B.
2.設(shè)F1,F2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為( )
A.4 B.3 C.2 D.5
答案A
解析由題意知|OM|=12|PF2|=3,
所以|PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.
3.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為22,則實(shí)數(shù)m等于( )
A.2 B.2或83 C.2或6 D.2或8
答案D
解析顯然m>0,且m≠4,當(dāng)0
4時(shí),橢圓長軸在y軸上,則14-1m14=22,解得m=8.
4.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,若∠PF1F2=30,則橢圓的離心率為( )
A.33 B.36 C.13 D.16
答案A
解析設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2.
因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為PF2的中位線.
所以O(shè)M∥PF2,
所以∠PF2F1=∠MOF1=90.
因?yàn)椤螾F1F2=30,
所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得
|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,
由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a=3|PF2|2,
2c=|F1F2|=3|PF2|?c=3|PF2|2,
則e=ca=3|PF2|223|PF2|=33.故選A.
5.(2018浙江衢州二調(diào))設(shè)橢圓x216+y212=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,且滿足PF1PF2=9,則|PF1||PF2|的值為( )
A.8 B.10 C.12 D.15
答案D
解析由橢圓方程x216+y212=1,可得c2=4,
所以|F1F2|=2c=4.
因?yàn)镕1F2=PF2-PF1,
所以|F1F2|=|PF2-PF1|,兩邊同時(shí)平方,得|F1F2|2=|PF1|2-2PF1PF2+|PF2|2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+2PF1PF2=16+18=34,根據(jù)橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=64,所以34+2|PF1||PF2|=64.
所以|PF1||PF2|=15.故選D.
6.如圖,∠OFB=π6,△ABF的面積為2-3,則以O(shè)A為長半軸,OB為短半軸,F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為 .
答案x28+y22=1
解析設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a.∵∠OFB=π6,
∴bc=33,a=2b.∴S△ABF=12|AF||BO|=12(a-c)b=12(2b-3b)b=2-3,
解得b2=2,則a=2b=22.∴所求橢圓的方程為x28+y22=1.
7.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四點(diǎn),若橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(-2,0),且四邊形ABCD的面積為163,則橢圓C1的離心率e為 .
答案22
解析 聯(lián)立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,
兩式相減得x2-y2a2=x2-y2b2,因?yàn)閍≠b,
所以x2=y2=a2b2a2+b2.
所以四邊形ABCD為正方形,4a2b2a2+b2=163,(*)
又由題意知a2=b2+2,將其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,則a2=4.
所以橢圓C的離心率e=22.
8.設(shè)P為橢圓x24+y23=1上一點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),A(2,2),則|PA|-|PF|的最小值為 .
答案13-4
解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F(-1,0),
則|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF|)=|PA|+|PF|-2a≥|AF|-2a=13-4,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí)等號成立,且P在A,F之間時(shí)達(dá)到,故|PA|-|PF|的最小值為13-4.
能力提升組
9.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦點(diǎn)F,且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,則該橢圓的離心率為( )
A.33 B.63 C.34 D.23
答案B
解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則OA+OB=(x1+x2,y1+y2),直線AB的方程為y=x+c,代入橢圓方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.
由韋達(dá)定理得x1+x2=-2a2ca2+b2,
所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.
根據(jù)OA+OB與a=(3,-1)共線,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-2a2ca2+b2+32b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,
所以e=1-b2a2=63,故選B.
10.已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為H,若|PH|=a2,則此橢圓的離心率為( )
A.5-12 B.32
C.17-14 D.22-2
答案C
解析∵F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),
以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為H,|PH|=a2,
∴x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2,
∴c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2,
∴4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4,
∴4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,∴4e2-4e4=4-5e2,
∴4e4-9e2+4=0,∵03時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120,則ab≥tan60=3,即m3≥3,解得m≥9,綜上m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),故選A.
12.已知直線l:y=kx+2過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若L≥455,則橢圓離心率e的取值范圍是( )
A.0,55 B.0,255
C.0,355 D.0,455
答案B
解析依題意,知b=2,kc=2.
設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2≥455,
解得d2≤165.又因?yàn)閐=21+k2,
所以11+k2≤45,解得k2≥14.
于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,
所以0b>0)的右焦點(diǎn)為F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為y軸上一點(diǎn),A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn),且|OA|=|OF2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為( )
A.13 B.25 C.55 D.53
答案D
解析(方法一)∵|OA|=|OF2|=2|OM|,
∴點(diǎn)M在橢圓C的短軸上.
設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,
∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=12|F1F2|.∴AF1⊥AF2,
從而△AF1F2∽△OMF2,∴|AF1||AF2|=|OM||OF2|=12.
又|AF1|2+|AF2|2=(2c)2,
∴|AF1|=255c,|AF2|=455c.
又∵|AF1|+|AF2|=2a,∴655c=2a,即ca=53.
故選D.
(方法二)∵|OA|=|OF2|=2|OM|,
∴點(diǎn)M在橢圓C的短軸上.
在Rt△MOF2中,tan∠MF2O=|OM||OF2|=12,設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=12|F1F2|.
∴AF1⊥AF2.∴tan∠AF2F1=|AF1||AF2|=12.
設(shè)|AF1|=x(x>0),則|AF2|=2x,∴|F1F2|=5x.
∴e=2c2a=|F1F2||AF1|+|AF2|=5xx+2x=53.故選D.
14.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,直線l:y=ex+a,P為點(diǎn)F1關(guān)于直線l對稱的點(diǎn),若△PF1F2為等腰三角形,則a的值為 .
答案3
解析由題意可得c=a2-2,e=a2-2a,
F1(-c,0)到直線l的距離為d=|a-ec|1+e2,
由題意可得|PF1|=|F1F2|,
即為2d=2c,即有a-a2-2a21+a2-2a2=a2-2,
化簡可得a4-3a2=0,解得a=3.
15.(2018浙江衢州二中二模)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)短軸的端點(diǎn)為P(0,b),Q(0,-b),長軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,AB為經(jīng)過橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦,若PA,PB的斜率之積等于-14,則點(diǎn)P到直線QM的距離為 .
答案455b
解析設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x0,-y0),根據(jù)題意可知y0-bx0-y0-b-x0=-14,即y02-b2x02=-14,
因?yàn)閤02a2+y02b2=1,所以y02-b2x02=-b2a2.
故-b2a2=-14,則ba=12,不妨取點(diǎn)M(a,0),則直線QM的方程為bx-ay-ab=0.故點(diǎn)P到直線QM的距離為
d=|2ab|a2+b2=2b1+ba2=455b.
16.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且PF1PF2=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是 .
答案33,22
解析設(shè)P(x,y),則PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,①
將y2=b2-b2a2x2代入①式解得
x2=(2c2-b2)a2c2=(3c2-a2)a2c2,
又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=ca∈33,22.
17.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32,且經(jīng)過點(diǎn)M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)若直線l不過點(diǎn)M,求證:直線MA,MB的斜率互為相反數(shù).
(1)解設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
因?yàn)閑=32,所以a2=4b2,又因?yàn)镸(4,1)在橢圓上,所以16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,故橢圓方程為x220+y25=1.
(2)解將y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,Δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,已知AB=613BC.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,求橢圓的方程.
解(1)∵A(-a,0),設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1).
令x=0,則y=2a,∴C(0,2a),
∴AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1).
∵AB=613BC,∴x1+a=613(-x1),y1=613(2a-y1),
整理,得x1=-1319a,y1=1219a.
∵B點(diǎn)在橢圓上,∴13192+12192a2b2=1,
∴b2a2=34,∴a2-c2a2=34,即1-e2=34,∴e=12.
(2)∵b2a2=34,可設(shè)b2=3t,a2=4t,
∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0.
由3x2+4y2-12t=0,y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,
∴Δ=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.設(shè)P(x1,y1),則有x1=-8km2(3+4k2)=-4km3+4k2,y1=kx1+m=3m3+4k2,∴P-4km3+4k2,3m3+4k2.
又M(1,0),Q(4,4k+m),若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,∴1+4km3+4k2,-3m3+4k2(-3,-(4k+m))=0恒成立.整理,得3+4k2=m2,∴3+4k2=3t+4k2t恒成立.
故t=1,所求橢圓方程為x24+y23=1.
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