2020高考數(shù)學一輪復習 選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 課時作業(yè)70 坐標系 文.doc

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課時作業(yè)70　坐標系 [基礎達標] 1．求橢圓＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程． 解析：由得到① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 2．[2019南昌模擬]在平面直角坐標系xOy中，直線C1的方程為x＋y＋2＝0，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C2的極坐標方程為ρ2＋4ρsin＋1＝0. (1)求圓C2在直角坐標系下的標準方程； (2)若直線C1與圓C2交于P，Q兩點，求△OPQ的面積． 解析：(1)ρ2＋4ρsin＋1＝0，即ρ2＋2ρsinθ＋2ρcosθ＋1＝0， 即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，(x＋)2＋(y＋1)2＝3， 所以圓C2在直角坐標系下的標準方程為(x＋)2＋(y＋1)2＝3. (2)由(1)知圓心C2(－，－1)，圓的半徑r＝， 又圓心C2到直線C1的距離 d＝＝1， 則|PQ|＝2＝2. 又原點O到直線PQ的距離d1＝＝1， 所以S△OPQ＝|PQ|d1＝21＝. 3．[2019太原模擬]已知點P是曲線C1：(x－2)2＋y2＝4上的動點，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點P逆時針旋轉90得到點Q，設點Q的軌跡方程為曲線C2. (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)射線θ＝(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，定點M(2,0)，求△MAB的面積． 解析：(1)由得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ. 設Q(ρ，θ)，則P，所以ρ＝4cos＝4sinθ， 所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sinθ. (2)點M(2,0)到射線θ＝的距離d＝2sin＝， |AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)， 則△MAB的面積S＝|AB|d＝3－. 4．[2019南昌模擬]在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程； (2)設曲線C1，C2交于點A，B，曲線C2與x軸交于點E，求線段AB的中點到點E的距離． 解析：(1)曲線C1的極坐標方程可以化為ρ2－4ρsinθ＝0， 所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0. 曲線C2的極坐標方程可以化為ρsinθ＋ρcosθ＝2， 所以曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意及(1)得點E的坐標為(4,0)，C2的傾斜角為， 所以C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 將C2的參數(shù)方程代入曲線C1的直角坐標方程得到2＋－2t＝0， 整理得t2－(4＋2)t＋16＝0，判別式Δ＞0， 則線段AB的中點對應的參數(shù)為2＋1， 所以線段AB的中點到點E的距離為2＋1. 5．[2019東北三省模擬]在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρcosθ＝3，曲線C2：ρ＝4cosθ. (1)求C1與C2交點的極坐標； (2)設點Q在C2上，＝，求動點P軌跡的極坐標方程． 解析：(1)聯(lián)立，得得cosθ＝， ∵0≤θ＜，∴cosθ＝，θ＝， ∴ρ＝2， ∴C1與C2交點的極坐標為. (2)設P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，則ρ0＝4cosθ0，θ0∈， 由＝，得 ∴ρ＝4cosθ，故動點P的極坐標方程為ρ＝10cosθ，θ∈. 6．[2019昆明檢測]在平面直角坐標系xOy中，圓O的方程為x2＋y2＝4，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ2cos2θ＝1. (1)求圓O的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)已知M，N是曲線C與x軸的兩個交點，點P為圓O上的任意一點，證明：|PM|2＋|PN|2為定值． 解析：(1)圓O的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 由ρ2cos2θ＝1得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1， 所以曲線C的直角坐標方程為x2－y2＝1. (2)由(1)知曲線C的直角坐標方程為x2－y2＝1，不妨令M(－1,0)，N(1,0)，可設P(2cosα，2sinα)， 則|PM|2＋|PN|2＝(2cosα＋1)2＋(2sinα)2＋(2cosα－1)2＋(2sinα)2＝5＋4cosα＋5－4cosα＝10. 所以|PM|2＋|PN|2為定值10. [能力挑戰(zhàn)] 7．[2019成都市診斷性檢測]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解析：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲線C的極坐標方程為(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ. 由ρ＝2，得sinθ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)由題，易知直線l的普通方程為x＋3－4＝0，∴直線l的極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ－4＝0. 又射線OA的極坐標方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立，得，解得ρ＝4. ∴點B的極坐標為(4，)， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.