（浙江專用）2020版高考數學新增分大一輪復習 第五章 三角函數、解三角形 5.3 三角函數的圖象與性質講義（含解析）.docx

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5.3　三角函數的圖象與性質 最新考綱 考情考向分析 1.理解正弦函數、余弦函數、正切函數的定義及其圖象與性質． 2.了解三角函數的周期性. 以考查三角函數的圖象和性質為主，題目涉及三角函數的圖象及應用、圖象的對稱性、單調性、周期性、最值、零點．考查三角函數性質時，常與三角恒等變換結合，加強數形結合思想、函數與方程思想的應用意識．題型既有選擇題和填空題，又有解答題，中檔難度. 1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 (1)在正弦函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z) 函數 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 圖象 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 遞增區(qū)間 [2kπ－π，2kπ] 遞減區(qū)間 [2kπ，2kπ＋π] 無 對稱中心 (kπ，0) 對稱軸 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無 概念方法微思考 1．正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是多少？相鄰兩個對稱中心的距離呢？ 提示　正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期；相鄰兩個對稱中心的距離也為半個周期． 2．思考函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函數，偶函數的充要條件？ 提示　(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)y＝sinx在第一、第四象限是增函數．(　　) (2)由sin＝sin知，是正弦函數y＝sinx(x∈R)的一個周期．(　　) (3)正切函數y＝tanx在定義域內是增函數．(　　) (4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　　) (5)y＝sin|x|是偶函數．(　√　) 題組二　教材改編 2．[P35例2]函數f(x)＝cos的最小正周期是________． 答案　π 3．[P46A組T2]y＝3sin在區(qū)間上的值域是________． 答案　 解析　當x∈時，2x－∈， sin∈， 故3sin∈， 即y＝3sin的值域為. 4．[P47B組T2]函數y＝－tan的單調遞減區(qū)間為________________． 答案　(k∈Z) 解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)， 得＋cos23>cos97 解析　sin68＝cos22， 又y＝cosx在[0，180]上是減函數， ∴sin68>cos23>cos97. 題型一　三角函數的定義域 1．函數f(x)＝－2tan的定義域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由正切函數的定義域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故選D. 2．函數y＝的定義域為________． 答案　(k∈Z) 解析　方法一　要使函數有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示． 在[0,2π]內，滿足sinx＝cosx的x為，，再結合正弦、余弦函數的周期是2π，所以原函數的定義域為 . 方法二　利用三角函數線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖中陰影部分所示)． 所以定義域為. 3．函數y＝lg(sinx)＋的定義域為________． 答案　 解析　要使函數有意義，則 即解得 所以2kπ時，f′(x)>0，f(x)單調遞增， ∴當cosx＝時，f(x)有最小值． 又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)， ∴當sinx＝－時，f(x)有最小值， 即f(x)min＝2＝－. 思維升華求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型： (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)； (3)形如y＝asinxcosx＋b(sinxcosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinxcosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)． (4)一些復雜的三角函數，可考慮利用導數確定函數的單調性，然后求最值． 跟蹤訓練1(1)(2017臺州模擬)已知函數f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實數a的取值范圍是__________________． 答案　 解析　∵x∈，∴x＋∈， ∵當x＋∈時，f(x)的值域為， ∴由函數的圖象(圖略)知，≤a＋≤， ∴≤a≤π. (2)函數y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為__________． 答案　 解析　設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝，且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]． 當t＝1時，ymax＝1； 當t＝－時，ymin＝－－. ∴函數的值域為. 題型三　三角函數的周期性、奇偶性、對稱性 命題點1　三角函數的周期性 例2(1)(2016浙江)設函數f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，則f(x)的最小正周期(　　) A．與b有關，且與c有關 B．與b有關，但與c無關 C．與b無關，且與c無關 D．與b無關，但與c有關 答案　B 解析　因為f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝－＋bsinx＋c＋，其中當b＝0時，f(x)＝－＋c＋，f(x)的周期為π；b≠0時，f(x)的周期為2π.即f(x)的周期與b有關但與c無關，故選B. (2)若函數f(x)＝2tan的最小正周期T滿足10)圖象的兩條相鄰對稱軸，則φ的一個可能取值為(　　) A.πB.C.D. 答案　A 解析　由題意，函數的周期T＝2＝2π，∴ω＝＝1，∴y＝cos(x＋φ)，當x＝π時，函數取得最大值或最小值，即cos＝1，可得π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π，k∈Z.當k＝2時，可得φ＝π. 題型四　三角函數的單調性 命題點1　求三角函數的單調區(qū)間 例5(1)函數f(x)＝sin的單調遞減區(qū)間為______________________． 答案　(k∈Z) 解析　f(x)＝sin＝sin ＝－sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)． (2)函數f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間是____________． 答案　(k∈Z) 解析　由kπ－<2x＋0，函數f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是________． 答案　 解析　由0，得＋<ωx＋<ωπ＋， 又y＝sinx的單調遞減區(qū)間為，k∈Z， 所以k∈Z， 解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z. 又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈. 引申探究 本例中，若已知ω>0，函數f(x)＝cos在上單調遞增，則ω的取值范圍是____________． 答案　 解析　函數y＝cosx的單調遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，則k∈Z， 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z， 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z， 得k＝1，所以ω∈. 思維升華 (1)已知三角函數解析式求單調區(qū)間 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯． (2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數．先求出函數的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解． 跟蹤訓練3　(1)已知函數f(x)＝2sin，則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　D 解析　函數的解析式可化為f(x)＝－2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)． (2)若函數g(x)＝sin在區(qū)間和上均單調遞增，則實數a的取值范圍是________． 答案　 解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴g(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 又∵函數g(x)在區(qū)間和上均單調遞增， ∴　解得≤a<. 三角函數的圖象與性質 縱觀近年高考中三角函數的試題，其有關性質幾乎每年必考，題目較為簡單，綜合性的知識多數為三角函數本章內的知識，通過有效地復習完全可以對此類題型及解法有效攻破，并在高考中拿全分． 例(1)(2018浙江十校聯盟適應性考試)下列四個函數中，以π為最小正周期，在上單調遞減且為偶函數的是(　　) A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝|tanx| D．y＝－ln|sinx| 答案　D 解析　由題意知函數y＝sin|x|在上單調遞增，y＝cos|x|的最小正周期為2π，y＝|tanx|在上單調遞增．因為f(x)＝|sinx|為偶函數，且當x∈時單調遞增，所以y＝－ln|sinx|為偶函數，且當x∈時單調遞減，又g(x)＝sinx的最小正周期為2π，所以f(x)＝|sinx|的最小正周期為π，則函數y＝－ln|sinx|的最小正周期為π，故選D. (2)設函數f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在上單調遞減 答案　D 解析　A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z，且k≠0)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確； B項，因為f(x)＝cos的圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，B項正確； C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，當k＝1時，x＝， 所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確； D項，因為f(x)＝cos的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)， 單調遞增區(qū)間為(k∈Z)， 所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，D項錯誤． 故選D. (3)函數f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為______________________． 答案　，k∈Z 解析　由圖象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z， 得2k－0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________． 答案　π 解析　記f(x)的最小正周期為T. 由題意知≥－＝， 又f＝f＝－f，且－＝， 可作出示意圖如圖所示(一種情況)： ∴x1＝＝， x2＝＝， ∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π. 1．(2018浙江六校協(xié)作體期末聯考)“φ＝kπ＋(k∈Z)”是“函數f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函數”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　若φ＝kπ＋(k∈Z)，則f(x)＝cos(ωx＋φ)＝cos＝sinωx，函數f(x)為奇函數，所以充分性成立； 反之，若函數f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函數，則ω0＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，因此必要性成立．所以“φ＝kπ＋(k∈Z)”是“函數f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函數”的充要條件，故選C. 2．函數f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－1B．－C.D．0 答案　B 解析　由已知x∈，得2x－∈， 所以sin∈，故函數f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為－.故選B. 3．(2019舟山模擬)函數y＝sinx2的圖象是(　　) 答案　D 解析　函數y＝sinx2為偶函數，排除A，C；又當x＝時函數取得最大值，排除B，故選D. 4．函數y＝cos2x－2sinx的最大值與最小值分別為(　　) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2 答案　D 解析　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx ＝－sin2x－2sinx＋1， 令t＝sinx，則t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2， 所以ymax＝2，ymin＝－2. 5．已知函數f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過點(0，)，則f(x)圖象的一個對稱中心是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　函數f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過點(0，)，則f(0)＝2sinφ＝， ∴sinφ＝，又|φ|<，∴φ＝， 則f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)， 則x＝－(k∈Z)，當k＝0時，x＝－， ∴是函數f(x)的圖象的一個對稱中心． 6．已知函數f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數，若f(x)≤對任意x∈R恒成立，且f>0，則f(x)的單調遞減區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　C 解析　由題意可得函數f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，故有2＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.又f＝sin>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin2x.令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函數f(x)的單調遞減區(qū)間為，k∈Z. 7．函數y＝的定義域為________． 答案　 解析　要使函數有意義必須有tan≠0， 則 所以x－≠，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z， 所以原函數的定義域為. 8．設函數f(x)＝3sin，若存在這樣的實數x1，x2，對任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為________． 答案　2 解析　|x1－x2|的最小值為函數f(x)的半個周期， 又T＝4，∴|x1－x2|的最小值為2. 9．(2018浙江溫州中學模擬)函數f(x)＝2cos2x＋cos－1，則函數的最小正周期為____________，在[0，π]內的對稱軸方程是________． 答案　π　x＝和x＝ 解析　因為f(x)＝1＋cos2x＋cos2x＋sin2x－1 ＝sin2x＋cos2x＝sin， 所以最小正周期T＝＝π.解sin＝1， 得f(x)的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． 由于x∈[0，π]，所以在[0，π]內的對稱軸方程是x＝和x＝. 10．已知函數f(x)＝，則下列說法正確的是________．(填序號) ①f(x)的周期是； ②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}； ③直線x＝是函數f(x)圖象的一條對稱軸； ④f(x)的單調遞減區(qū)間是，k∈Z. 答案?、? 解析　函數f(x)的周期為2π，①錯；f(x)的值域為[0，＋∞)，②錯；當x＝時，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的對稱軸，③錯；令kπ－sinx，此時f(x)＝sinx，f(x)∈∪[－1,0]．綜上知f(x)的值域為. 14．已知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為，若f(x)>1對任意x∈恒成立，則φ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意可得函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值為3.∵f(x)的圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1對任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0對任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.結合|φ|<可得，當k＝0時，φ的取值范圍為. 15．已知函數f(x)＝cos(2x＋θ)在上單調遞增，若f≤m恒成立，則實數m的取值范圍為________． 答案　[0，＋∞) 解析　f(x)＝cos(2x＋θ)， 當x∈時，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ， 由函數f(x)在上是增函數得 k∈Z， 則2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)． 又0≤θ≤，∴0≤θ≤，∵f＝cos， 又≤θ＋≤，∴fmax＝0，∴m≥0. 16．設函數f(x)＝2sin＋m的圖象關于直線x＝π對稱，其中0<ω<. (1)求函數f(x)的最小正周期． (2)若函數y＝f(x)的圖象過點(π，0)，求函數f(x)在上的值域． 解　(1)由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin＝1， ∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 即ω＝＋(k∈Z)． 又0<ω<，∴ω＝， ∴函數f(x)的最小正周期為3π. (2)由(1)知f(x)＝2sin＋m， ∵f(π)＝0，∴2sin＋m＝0，∴m＝－2， ∴f(x)＝2sin－2， 當0≤x≤時，－≤x－≤， －≤sin≤1. ∴－3≤f(x)≤0， 故函數f(x)在上的值域為.