（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)講義（含解析）.docx

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5.1　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 最新考綱 考情考向分析 1.了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算． 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義. 以理解任意角三角函數(shù)的概念、能進(jìn)行弧度與角度的互化和扇形弧長(zhǎng)、面積的計(jì)算為主，常與向量、三角恒等變換相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)．題型以選擇題為主，低檔難度. 1．角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k360＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 2．弧度制 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180＝πrad,1＝rad，1rad＝. (3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|r2. 3．任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)， 則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． 三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象限符號(hào) 第三象限符號(hào) 第四象限符號(hào) sinα R ＋ ＋ － － cosα R ＋ － － ＋ tanα ＋ － ＋ － 4.三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T. 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 概念方法微思考 1．總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律． 提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，怎樣定義角α的三角函數(shù)？ 提示　設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．  題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(　√　) (3)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(　√　) 題組二　教材改編 2．[P10A組T7]角－225＝______弧度，這個(gè)角在第______象限． 答案?。《? 3．[P15T2]若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則sinα＝____，cosα＝________. 答案　?。? 4．[P10A組T6]一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為____弧度． 答案　 題組三　易錯(cuò)自糾 5．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) 答案　C 解析　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此時(shí)α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1 (n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此時(shí)α表示的范圍與π＋≤α≤π＋表示的范圍一樣，故選C. 6．已知點(diǎn)P在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝＝－，又θ∈，所以θ＝. 7．在0到2π范圍內(nèi)，與角－終邊相同的角是________． 答案　 解析　與角－終邊相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得與角－終邊相同的角是. 8．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_________________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cosx－1≥0，∴cosx≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)． 題型一　角及其表示 1．下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (　　) A．2kπ＋45(k∈Z) B．k360＋(k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　與角的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． 2．設(shè)集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝? 答案　B 解析　由于M中，x＝180＋45＝k90＋45＝(2k＋1)45，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝180＋45＝k45＋45＝(k＋1)45，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B. 3．終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為______________________． 答案　 解析　如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0,2π)內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：，π； 在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：－π，－π，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為. 4．若角α是第二象限角，則是第________象限角． 答案　一或三 解析　∵α是第二象限角， ∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． 思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來(lái)求得所需的角． (2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． 題型二　弧度制及其應(yīng)用 例1已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.若α＝，R＝10cm，求扇形的面積． 解　由已知得α＝，R＝10cm， ∴S扇形＝αR2＝102＝(cm2)． 引申探究 1．若例題條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積． 解　l＝αR＝10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形 ＝lR－R2sin ＝10－102＝(cm2)． 2．若例題條件改為：“若扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ 解　由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(00.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 答案　A 解析　∵cosα≤0，sinα>0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴　∴－2cosx成立的x的取值范圍是(　　) A.∪ B. C. D.∪ 答案　C 解析　當(dāng)x∈時(shí)，sinx>0，cosx≤0，顯然sinx>cosx成立；當(dāng)x∈時(shí)，如圖，OA為x的終邊，此時(shí)sinx＝|MA|，cosx＝|OM|，sinx≤cosx；當(dāng)x∈時(shí)，如圖， OB為x的終邊，此時(shí)sinx＝|NB|，cosx＝|ON|，sinx>cosx．同理當(dāng)x∈時(shí)，sinx>cosx；當(dāng)x∈時(shí)，sinx≤cosx，故選C. 1．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．第一象限角一定不是負(fù)角 B．不相等的角，它們的終邊必不相同 C．鈍角一定是第二象限角 D．終邊與始邊均相同的兩個(gè)角一定相等 答案　C 解析　因?yàn)椋?30＝－360＋30，所以－330角是第一象限角，且是負(fù)角，所以A錯(cuò)誤；同理－330角和30角不相等，但它們終邊相同，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)殁g角的取值范圍為(90，180)，所以C正確；0角和360角的終邊與始邊均相同，但它們不相等，所以D錯(cuò)誤． 2．已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1B．4C．1或4D．2或4 答案　C 解析　設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 3．若角θ終邊過(guò)點(diǎn)P(4，m)，且sinθ＝，則m等于(　　) A．－3B．3C.D．3 答案　B 解析　sinθ＝＝，且m>0，解得m＝3. 4．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)也為，由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos＝ －，y＝sin＝. 5．已知點(diǎn)P(cosα，tanα)在第二象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　因?yàn)辄c(diǎn)P(cosα，tanα)在第二象限， 所以所以角α的終邊在第三象限，故選C. 6．(2018嘉興模擬)sin2cos3tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案　A 解析　∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0. 7．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30)，且cosα＝－，則m的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，r＝， 所以cosα＝＝－，解得m＝， 又cosα＝－<0，所以－8m<0，即m>0， 所以m＝. 8．下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)； ④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同； ⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角． A．1B．2C．3D．4 答案　A 解析　舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sin＝sin，但與的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)cosθ＝－1，θ＝π時(shí)，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯(cuò)． 綜上可知，只有③正確． 9．若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是________． 答案　 解析　設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，∴正方形邊長(zhǎng)為r，∴圓心角的弧度數(shù)是＝. 10．若角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，且|OP|＝，則m－n＝________. 答案　2 解析　由已知tanα＝3，∴n＝3m， 又m2＋n2＝10，∴m2＝1. 又sinα<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2. 11．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為________． 答案　 解析　由題意知，點(diǎn)P，r＝1，所以點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值為. 12．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_________________． 答案　，k∈Z 解析　利用三角函數(shù)線(如圖)， 由sinx≥，可知 2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 13.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________________． 答案　 解析　∵在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為 ， ∴所求角的集合為. 14．若角α的終邊落在直線y＝x上，角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且sinαcosβ<0，則cosαsinβ＝________. 答案　 解析　由角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)，得cosβ＝，又由sinαcosβ<0知，sinα<0，因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝x上，所以角α只能是第三象限角．記P為角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(x<0，y<0)，則|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cosα＝x＝－，因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，所以2＋m2＝1，解得m＝，所以sinβ＝，所以cosαsinβ＝. 15．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計(jì)算弧田面積時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積＝(弦矢＋矢2)．弧田(如圖1)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為3米的弧田，如圖2所示．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積大約是________平方米．(結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73) 答案　5 解析　如題圖2，由題意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝3＝，可得CD＝3－＝，由AD＝AOsin＝3＝，可得AB＝2AD＝＝3. 所以弧田面積S＝(弦矢＋矢2) ＝＝＋≈5(平方米)． 16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于B點(diǎn)，始邊不動(dòng)，終邊運(yùn)動(dòng)． (1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－，求tanα的值； (2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合； (3)若α∈，請(qǐng)寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式． 解　(1)根據(jù)題意可得B，∴tanα＝. (2)若△AOB為等邊三角形， 則B或B， 當(dāng)B時(shí)，α＝； 當(dāng)B時(shí)，α＝－. ∴與角α終邊相同的角β的集合是. (3)若α∈， 則S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝11sinα＝sinα， 故弓形AB的面積S＝α－sinα，α∈.