2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法試題 新人教A版選修4-5.doc

三反證法與放縮法課后篇鞏固探究1.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=13,則a,b,c中()A.至多有一個(gè)不大于19B.至少有一個(gè)不小于19C.至多有兩個(gè)不小于19D.至少有兩個(gè)不小于19解析假設(shè)a,b,c都小于19,即a<19,b<19,c<19,則a+b+c<19+19+19=13,這與a+b+c=13矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b,c中至少有一個(gè)不小于19.答案B2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)M=a1+a+b1+b,N=c1+c,Q=a+b1+a+b,則M,N與Q的大小關(guān)系是()A.M<N<QB.M<Q<NC.Q<N<MD.N<Q<M解析由題意知a+b>c>0,則1a+b<1c.1a+b+1<1c+1,即a+b+1a+b<c+1c.c1+c<a+b1+a+b,故N<Q.M-Q=a1+a+b1+b-a+b1+a+b>a1+a+b+b1+a+b-a+b1+a+b=0,M>Q,故M>Q>N.答案D3.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394038設(shè)M=1210+1210+1+1210+2+1211-1,則()A.M=1B.M<1C.M>1D.M與1大小關(guān)系不確定解析分母全換成210,共有210個(gè)單項(xiàng).答案B4.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題:函數(shù)f(x)在0,1上有意義,且f(0)=f(1),如果對(duì)于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證|f(x1)-f(x2)|<12.那么它的假設(shè)應(yīng)該是.答案|f(x1)-f(x2)|125.設(shè)a,b,c均為正數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時(shí)大于零”的條件.解析必要性是顯然成立的;當(dāng)PQR>0時(shí),若P,Q,R不同時(shí)大于零,則其中兩個(gè)為負(fù),一個(gè)為正,不妨設(shè)P>0,Q<0,R<0,則Q+R=2c<0,這與c>0矛盾,即充分性也成立.答案充要6.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是.(填序號(hào))解析可取a=0.5,b=0.6,故不正確;a+b=2,可取a=1,b=1,故不正確;a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,正確;a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正確;ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正確.答案7.設(shè)f(x)=x2-x+13,a,b0,1,求證|f(a)-f(b)|a-b|.證明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|=|(a-b)(a+b-1)|=|a-b|a+b-1|,因?yàn)?a1,0b1,所以0a+b2.所以-1a+b-11,所以|a+b-1|1.故|f(a)-f(b)|a-b|.8.已知x>0,y>0,且x+y>2,試證:1+xy,1+yx中至少有一個(gè)小于2.證明假設(shè)1+xy,1+yx都不小于2,即1+xy2,且1+yx2.因?yàn)閤>0,y>0,所以1+x2y,且1+y2x.把這兩個(gè)不等式相加,得2+x+y2(x+y),從而x+y2,這與已知條件x+y>2矛盾.因此,1+xy,1+yx都不小于2是不可能的,即原命題成立.9.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394039已知Sn=sin12+sin222+sin323+sinn2n,求證:對(duì)于正整數(shù)m,n,當(dāng)m>n時(shí),|Sm-Sn|<12n.證明記ak=sink2k(kN+),則|ak|12k.于是,當(dāng)m>n時(shí),|Sm-Sn|=|an+1+an+2+am|an+1|+|an+2|+|am|12n+1+12n+2+12m=12n+11-12m-n1-12=12n1-12m-n<12n.10.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394040若數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn=nn+1,求證x1x3x5x2n-1<1-xn1+xn.證明因?yàn)?-xn1+xn=1-nn+11+nn+1=12n+1,又2n-12n2n-12n+1=2n-12n+12n=4n2-12n<4n22n=1,所以2n-12n<2n-12n+1,所以x1x3x5x2n-1=12342n-12n<13352n-12n+1=12n+1,故x1x3x5x2n-1<1-xn1+xn.