2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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2.3 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.(難點(diǎn)、易混點(diǎn))2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義 一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行 只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 思考:數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1? [提示]不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180,第一個(gè)值n0=3. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.( ) (2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( ) (3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可.( ) [答案] (1) (2) (3)√ 2.下面四個(gè)判斷中,正確的是( ) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1+k C.式子1+++…+(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1++ D.設(shè)f(n)=++…+(n∈N*),則f(k+1)=f(k)+++ C [A中,n=1時(shí),式子=1+k; B中,n=1時(shí),式子=1; C中,n=1時(shí),式子=1++; D中,f(k+1)=f(k)+++-.故正確的是C.] 3.如果命題p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立,則用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),先驗(yàn)證n=________成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062162】 [答案] 2 4.已知Sn=+++…+,則S1=________,S2=________,S3=________,S4=________,猜想Sn=________. [解析] 分別將1,2,3,4代入得S1=, S2=,S3=,S4=,觀察猜想得Sn=. [答案] [合 作 探 究攻 重 難] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(n∈N*),“從k到k+1”左端增乘的代數(shù)式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062163】 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ++…+=(n∈N*). [解析] (1)令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),則 f(k)=(k+1) (k+2)…(k+k), f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),所以==2(2k+1). [答案] 2(2k+1) (2)證明: ①當(dāng)n=1時(shí),=成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(n∈N*)時(shí)等式成立,即有 ++…+=, 則當(dāng)n=k+1時(shí),++…++=+ =, 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立. 由①②可得對(duì)于任意的n∈N*等式都成立. [規(guī)律方法] 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn): (1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況; (2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng); (3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形. [跟蹤訓(xùn)練] 1.求證:1- + - +… + - = + +… + (n∈N*). [證明]?、佼?dāng)n=1時(shí),左邊=1-=, 右邊=,所以等式成立. ②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí), 1-+-+…+-=++…+成立. 那么當(dāng)n=k+1時(shí), 1-+-+…+-+-=++…++- =++…+++ =++…++, 所以n=k+1時(shí),等式也成立. 綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立. 歸納—猜想—證明 已知數(shù)列,,,…,,…,計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062164】 [解] S1= = ; S2= + = ; S3= + = ; S4= + = . 可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1. 于是可以猜想Sn= . 下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想. (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S1= , 右邊= = = , 猜想成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即 + + +… + = , 當(dāng)n=k+1時(shí), + + +… + + = + = = =, 所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立. [規(guī)律方法] (1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié) (2)“歸納—猜想—證明”的主要題型 ①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和. ②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在. ③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題. [跟蹤訓(xùn)練] 2.?dāng)?shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062165】 [解] 由a1=2-a1,得a1=1; 由a1+a2=2 2-a2,得a2= ; 由a1+a2+a3=2 3-a3,得a3= ; 由a1+a2+a3+a4=2 4-a4,得a4= . 猜想an= . 下面證明猜想正確: (1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立, 則有ak= , 當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1, ∴ak+1==k+1- (2k- )= , 所以,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 由(1)和(2)可知,an= 對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [探究問題] 1.你能指出下列三組數(shù)的大小關(guān)系嗎? (1)n,,; (2),,; (3)+,. 提示:(1)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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