2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念 3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念. (易混點(diǎn))3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．復(fù)平面 思考：有些同學(xué)說(shuō)：實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對(duì)嗎？ [提示]不正確．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)． 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 3．復(fù)數(shù)的模 (1)定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模， (2)記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|且|z|＝. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．( ) (2)復(fù)數(shù)即為向量，反之，向量即為復(fù)數(shù)．( ) (3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)．( ) (4)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng)．( ) [答案] (1)√ (2) (3) (4) 2．已知復(fù)數(shù)z＝－i，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為( ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) A [復(fù)數(shù)z＝－i的實(shí)部為0，虛部為－1，故復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0，－1)．] 3．向量a＝(－2, 1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062199】 A．z＝1＋2i B．z＝1－2i C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i D [向量a＝(－2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z＝－2＋i.] 4．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________. [解析] ∵z＝1＋2i， ∴|z|＝＝. [答案] [合 作 探 究攻 重 難] 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系 [探究問(wèn)題] 1．在復(fù)平面上，如何確定復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的位置？ 提示：看復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的實(shí)部和虛部所確定的點(diǎn)的坐標(biāo)(a，b)所在的象限即可． 2．在復(fù)平面上，若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足什么條件？我們可以得到什么啟示？ 提示：a>0，且b>0.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)所處位置，決定了復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值特征． 求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062200】 (1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)． (2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方． [思路探究] → → [解] (1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)， 則解得a＜－3. (2)點(diǎn)Z在x軸上方， 則， 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 母題探究：1.(變結(jié)論)本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)a的值． [解] 點(diǎn)Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5. 故a＝5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上． 2．(變結(jié)論)本例中條件不變，如果點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上，求實(shí)數(shù)a的值． [解] 因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上， 所以＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝. 所以a＝－2或a＝時(shí)，點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上． [規(guī)律方法] 利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟 (1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo). (2)根據(jù)已知條件，確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系. 復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用 (1)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝ ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062201】 A．1 B. C. D．2 (2)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z. (1)B [因?yàn)?1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B.] (2)設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，則|z|＝， 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i， ∴，解得. ∴z＝－15＋8i. [規(guī)律方法] 1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi模的計(jì)算：|z|＝. 2.復(fù)數(shù)的模的幾何意義：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 3.轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)若復(fù)數(shù)z＝＋(a2－a－6)i是實(shí)數(shù)，則z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模為_(kāi)_______． (2)已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析] (1)∵z為實(shí)數(shù)，∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2或3. ∵a＝－2時(shí)，z無(wú)意義，∴a＝3， ∴z1＝2－5i，∴|z1|＝. [答案] (2)法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝， 由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)． 法二：利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)， 由z＝3＋ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝3上， 所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合． 由圖可知：－下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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