2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第2課時(shí) 組合的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第2課時(shí)　組合的綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的概念，分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.能解決無限制條件的組合問題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．組合的有關(guān)概念 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合． 組合數(shù)用符號(hào)C表示，其公式為C＝＝. (m，n∈N*，m≤n)，特別地C＝C＝1. 2．組合與排列的異同點(diǎn) 共同點(diǎn)：排列與組合都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素． 不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)． 3．應(yīng)用組合知識(shí)解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟 (1)判斷：判斷實(shí)際問題是否是組合問題． (2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題． (3)計(jì)算：利用組合數(shù)公式結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算． (4)結(jié)論：根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出方案?jìng)€(gè)數(shù)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．以下四個(gè)命題，屬于組合問題的是(　　) A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列 B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌 C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星 D．從13位司機(jī)中任選出兩位開兩輛車往返甲、乙兩地 C　[從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無關(guān)，是組合問題．] 2．若5名代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032059】 A．A種　　　　　　　 B．45種 C．54種 D．C種 D　[由于4張同樣的參觀券分給5名代表，每人最多分一張，從5名代表中選4人滿足分配要求，故有C種．] 3．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有(　　) A．C種 B．A種 C．AA種 D．CC種 D　[每個(gè)被選的人都無順序差別，是組合問題．分兩步完成：第一步，選女工，有C種選法；第二步，選男工，有C種選法．故共有CC種不同的選法．] 4．設(shè)集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，則集合A中含有3個(gè)元素的子集共有________個(gè)． 10　[從5個(gè)元素中取出3個(gè)元素組成一組就是集合A的子集，則共有C＝10個(gè)子集．] [合 作 探 究攻 重 難] 無限制條件的組合問題 　現(xiàn)有10名學(xué)生，男生6人，女生4人． (1)要選2名男生去參加乒乓球賽，有多少種不同選法？ (2)要選男、女生各2人參賽，有多少種不同選法？ (3)要選2人去參賽，有多少種不同選法？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032060】 [思路探究]　首先要分清是組合還是排列問題，與順序有關(guān)即為排列，與順序無關(guān)即為組合，一定要理解清楚題意． [解]　(1)從6名男生中選2人的組合數(shù)是C＝15種． (2)分兩步完成，先從6名男生中選2人，再從4名女生中選2人，均為組合．CC＝90種． (3)從10名學(xué)生中選2名的組合數(shù)C＝45種． [規(guī)律方法]　解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它是不是組合問題，取出的元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出的元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意有無重復(fù)或遺漏． [跟蹤訓(xùn)練] 1．有兩條平行直線a和b，在直線a上取4個(gè)點(diǎn)，直線b上取5個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，這樣的三角形共有(　　) A．70個(gè)　　B．80個(gè)　　　C．82個(gè)　　D．84個(gè) A　[分兩類分別求即可，共有CC＋CC＝30＋40＝70.] 2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032061】 140　[第一步，安排周六有C種方法，第二步，安排周日有C種方法，所以不同的安排方案共有CC＝140種．] 有限制條件的組合問題 　高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)． (1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ [思路探究]　可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決． [解]　(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名， 有C＝561(種)． ∴不同的取法有561種． (2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有C種． 或者C－C＝C＝5 984種． ∴不同的取法有5 984種． (3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC＝2 100種． ∴不同的取法有2 100種． (4)選取2名女生有CC種，選取3名女生有C種，共有選取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555種． ∴不同的取法有2 555種． (5)選取3名的總數(shù)有C，因此選取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090種． ∴不同的取法有6 090種． [規(guī)律方法]　常見的限制條件及解題方法 1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)． 2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解． 3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解． [跟蹤訓(xùn)練] 3．某地區(qū)發(fā)生了特別重大鐵路交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問： (1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ [解]　(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90種抽調(diào)方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 法一：(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法； 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185種抽調(diào)方法． 法二：(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有： C－CC－C＝185種抽調(diào)方法． (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答． ①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調(diào)方法． 分組(分配)問題 　6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： (1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本； (2)分為三份，每份兩本； (3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本； (4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本； (5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032062】 [思路探究]　(1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個(gè)人一個(gè)人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”． [解]　(1)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到：CCC＝90種． (2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有CCC種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有A種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法． (3)這是“不均勻分組”問題，一共有CCC＝60種方法． (4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有CCCA＝360種方法． (5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有CCC＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有CC5CA＝360種方法；③“1、1、4型”，有CA＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法． [規(guī)律方法] 1．分清是分組問題還是分配問題，是解題的關(guān)鍵． 2．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種： (1)完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等． (2)部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！. (3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象． [跟蹤訓(xùn)練] 4．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)． 36　[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有A種．所以滿足條件的分配方案有A＝36(種)．] 排列、組合的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相乘，有多少個(gè)不同的結(jié)果？完成的“這件事”指的是什么？ [提示]　共有C＝＝6(個(gè))不同結(jié)果． 完成的“這件事”是指從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相乘． 2．從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相除，有多少不同結(jié)果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事”指的是什么？ [提示]　共有A－2＝10(個(gè))不同結(jié)果；這個(gè)問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相除． 3．完成“從集合{0,1,2,3,4}中任取三個(gè)不同元素組成一個(gè)是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個(gè)不同的結(jié)果？ [提示]　由于0不能排在百位，而個(gè)位必須是偶數(shù).0是否排在個(gè)位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個(gè)位分類進(jìn)行．第一類：0在個(gè)位，則百位與十位共A種排法；第二類：0不在個(gè)位且不在百位，則需先從2,4中任選一個(gè)排個(gè)位再從剩下非零數(shù)字中取一個(gè)排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個(gè)排十位，共CCC＝18(種)不同的結(jié)果，由分類加法計(jì)數(shù)原理，完成“這件事”共有A＋CCC＝30(種)不同的結(jié)果． 　有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語文課代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032063】 [思路探究]　(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選?。?2)采用先選后排的方法．(3)先安排該男生，再選出其他人擔(dān)任四科課代表．(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔(dān)任余下三科的課代表． [解]　(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC種，后排有A種， 共(CC＋CC)A＝5 400種． (2)除去該女生后，先選后排，有CA＝840種． (3)先選后排，但先安排該男生，有CCA＝3 360種． (4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共CCA＝360種． [規(guī)律方法]　 解決排列、組合綜合問題要遵循兩個(gè)原則 1．按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步． 2．按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類．解決時(shí)通常從以下三個(gè)途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． [跟蹤訓(xùn)練] 5．某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為(　　) A．360　　B．520　　　C．600　　D．720 C　[分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有CCA＝21024＝480種選法． 第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有C(A－AA)＝10(24－12)＝120種選法． 所以共有480＋120＝600種選法．] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動(dòng)需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為(　　) A．120　　　B．84　　　　C．52　　　D．48 C　[間接法：C－C＝52種．] 2．編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032064】 A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 C　[四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即C＝10.] 3．某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(　　) A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 B　[分兩種情況：①選2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位朋友有C＝6種方法；②選1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位朋友有C＝4種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10種，故選B.] 4．在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個(gè)． 225　[在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為CC＝1515＝225個(gè)．] 5．課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生； (2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選； (3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選； (4)至多有兩名女生當(dāng)選. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032065】 [解]　(1)一名女生，四名男生，故共有CC＝350種選法． (2)將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類，其他11人作為一類，故共有CC＝165種選法． (3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類：有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選和兩名隊(duì)長(zhǎng)都當(dāng)選． 故共有CC＋CC＝825種選法． 或采用間接法：C－C＝825種． (4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生，只有一名女生，沒有女生． 故共有CC＋CC＋C＝966種選法．