2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 課時(shí)作業(yè)13 合情推理 新人教A版選修2-2.doc

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課時(shí)作業(yè)13　合情推理 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下邊所示的三角形數(shù)組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是(　　) A．2　　　　　　　　　B．4 C．6 D．8 解析：由楊輝三角形可以發(fā)現(xiàn)：每一行除1外，每個(gè)數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和．故a＝3＋3＝6. 答案：C 2．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可推知扇形面積公式S扇＝(　　) A. B. C. D．不可類比 解析：扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇＝lr. 答案：C 3．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 4569＋7等于(　　) A．111 1110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析：由19＋2＝11； 129＋3＝111； 1239＋4＝1 111； 1 2349＋5＝111 111； … 歸納可得，等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1，位數(shù)跟等式左邊的第二個(gè)加數(shù)相同， ∴123 4569＋7＝1 111 111. 答案：B 4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　) ①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等． A．① B．①② C．①②③ D．③ 解析：正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對(duì)． 答案：C 5．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)． 則第七個(gè)三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 解析：把1,3,6,10,15,21，…依次記為a1，a2，…，則可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，∴a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28. 答案：B 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．我們知道：周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是________． 解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長(zhǎng)→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長(zhǎng)方體，圓→球． 答案：表面積一定的所有長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大 7．觀察下列不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， … 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________． 解析：歸納觀察法． 觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的算術(shù)平方根與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列． 所以第五個(gè)不等式為1＋＋＋＋＋<. 答案：1＋＋＋＋＋< 8．根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)． 解析：觀察圖形的變化規(guī)律可得：圖(2)從中心點(diǎn)向兩邊各增加1個(gè)點(diǎn)，圖(3)從中心點(diǎn)向三邊各增加2個(gè)點(diǎn)，圖(4)從中心點(diǎn)向四邊各增加3個(gè)點(diǎn)，如此，第n個(gè)圖從中心點(diǎn)向n邊各增加(n－1)個(gè)點(diǎn)，易得答案：1＋n(n－1)＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋1 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線；…，由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？ 解析：因?yàn)橥顾倪呅斡?條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條；…，于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)多對(duì)角線，由此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差數(shù)列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 所以凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 10．從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上，觀察如圖所示的幾何圖形，試歸納得出的結(jié)論． 解析：從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上容易發(fā)現(xiàn)： 1＝12， 1＋3＝22＝22， 1＋3＋5＝33＝32， 1＋3＋5＋7＝44＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝55＝52， 1＋3＋5＋7＋9＋11＝66＝62. 觀察上述算式的結(jié)構(gòu)特征，我們可以猜想： 1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．按照?qǐng)D中的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 解析：從①②③可以看出，從圖②開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 答案：C 12．已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A－BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐的體積VA－BCD＝________. 解析：內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑R， 三角形的周長(zhǎng)：a＋b＋c三棱錐各面的面積和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面積公式系數(shù)三棱錐體積公式系數(shù). ∴類比得三棱錐體積 VA－BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)． 答案：R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD) 13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an. 解析：因?yàn)镾n＝n2an(n≥2)，a1＝1， 所以S2＝4a2＝a1＋a2，a2＝＝. S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝＝＝. S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝＝＝.所以猜想an＝. 14．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明猜想是否正確及理由． 解析：猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則＝＋＋.猜想正確．如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確．