三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題04 三角函數(shù)與解三角形

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第四章 三角函數(shù)與解三角形 一、選擇題 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù) 為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為( ) （A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5 【答案】B 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,敘述方式新穎,是一道考查能力的好題.注意本題解法中用到的兩個(gè)結(jié)論:①的單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度是半個(gè)周期;②若的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱,則 或. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】為了得到函數(shù)的圖象，只需把

2、函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( ) （A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 （B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 （C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 ?。―）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右移個(gè)單位，故選D. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的平移. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，向左平移個(gè)單位得的圖象． 3. 【 2014湖

3、南9】已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像 輔助角公式 定積分 【名師點(diǎn)睛】有關(guān)定積分的題目主要是根據(jù)定積分的有關(guān)公式結(jié)合定積分的幾何性質(zhì)進(jìn)行正確求解即可，有關(guān)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求解主要是根據(jù)整體方法求解對(duì)稱軸，三角函數(shù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)問(wèn)題是主要是根據(jù)有關(guān)輔助角具體形式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q即可. 4. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C

4、 【解析】 試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，．由余弦定理，知，故選C． 考點(diǎn)：余弦定理． 【方法點(diǎn)撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時(shí)，需尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個(gè)三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解． 5.【2015高考山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（ ） （A）向左平移個(gè)單位?? （B）向右平移個(gè)單位 （C）向左平移個(gè)單位??? （D）向右平移個(gè)單位 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象向右平移

5、 個(gè)單位.故選B. 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象變換. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問(wèn)題，反映學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解的深度. 6. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 試題分析： ， 且，故選D. 考點(diǎn)：三角恒等變換. 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示： (1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差

6、． (2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)”關(guān)系． 7. 【2014高考陜西版理第2題】函數(shù)的最小正周期是（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：由周期公式，又,所以函數(shù)的周期，故選. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的最小正周期. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是余弦函數(shù)的最小正周期，屬于容易題.解題時(shí)只要正確記憶正弦函數(shù)、預(yù)先函數(shù)的最小正周期周期公式，就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 8. 【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ） A．5

7、 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于容易題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“最大值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解三角函數(shù)求最值的試題時(shí)，我們經(jīng)常使用的是整體法．本題從圖象中可知時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求出的值，當(dāng)時(shí)，取得最大值． 9. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為（ ） （A） （B

8、） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得，則平移后函數(shù)的對(duì)稱軸為，即，故選B. 考點(diǎn)： 三角函數(shù)的圖象變換與對(duì)稱性. 【名師點(diǎn)睛】平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值． 10. 【2014新課標(biāo)，理4】鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題，解決本

9、題的關(guān)健在于公式的準(zhǔn)確與熟練，注意題目條件：三角形是鈍角三角形. 11. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若 ，則（ ） (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】 試題分析：由，得或，所以，故選A． 考點(diǎn)：1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；2、倍角公式． 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系． 12. 【2014四川，理3】 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上

10、所有的點(diǎn)（ ） A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】A 【解析】 試題分析：，所以只需把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位.選A. 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖象的變換. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、性質(zhì)、輔助角公式和誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，縱向伸縮或平移是對(duì)于而言，即 或；橫向伸縮或平移是相對(duì)于而言，即（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍），(時(shí)，向左平移個(gè)單位；時(shí)，向右平移個(gè)單位)． 13. 【2015高考四川，理4】下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（ ）

11、 【答案】A 【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A. 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題不是直接據(jù)條件求結(jié)果，而是從4個(gè)選項(xiàng)中找出符合條件的一項(xiàng)，故一般是逐項(xiàng)檢驗(yàn)，但這類題常?？刹捎门懦?很明顯，C、D選項(xiàng)中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而B選項(xiàng)中的函數(shù)是偶函數(shù)，故均可排除，所以選A. 14.【2015高考新課標(biāo)1，理2】 =( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】原式= ==，故選D. 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)求值. 【名師點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于觀察到20°與160°

12、之間的聯(lián)系，會(huì)用誘導(dǎo)公式將不同角化為同角，再用兩角和與差的三角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值，注意要準(zhǔn)確記憶公式和靈活運(yùn)用公式. 15. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理6】如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（ ） 【答案】C 【解析】如圖所示，當(dāng)時(shí)，在中，．在中， ；當(dāng)時(shí)，在中，，在中，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象大致為C． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二倍角公式的運(yùn)用，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵

13、，本題很好的考查了考生的利用數(shù)形結(jié)合綜合分析問(wèn)題的能力，和計(jì)算能力. 16. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理8】設(shè)且則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【名師點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，本題在解答過(guò)程中一定要注意， ，本題考查了考生的對(duì)公式的記憶能力，以及運(yùn)算能力. 17.【2015高考新課標(biāo)1，理8】函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D. 【

14、考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，先利用五點(diǎn)作圖法列出關(guān)于方程，求出，或利用利用圖像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求其單調(diào)遞減區(qū)間，是中檔題，正確求使解題的關(guān)鍵. 18.【2014年.浙江卷.理4】為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ） A. 向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位 C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位 答案：Ｄ 解析：，故只需將向左平移個(gè)單位． 考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn),圖像平移. 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換法：由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(

15、ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值． 19. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（ ） A．與b有關(guān)，且與c有關(guān) B．與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān) C．與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān) D．與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān) 【答案】B 【解析】 試題分析：，其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)周期是；當(dāng)時(shí)，周期為，而不影響周期．故選B． 考點(diǎn)：1、降冪公式；2、三角函數(shù)的最小正周期． 【思路點(diǎn)睛】先利用三角恒等

16、變換（降冪公式）化簡(jiǎn)函數(shù)，再判斷和的取值是否影響函數(shù)的最小正周期． 20. 【2016年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（） 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（ ） A.，的最小值為B. ，的最小值為 C.，的最小值為D.，的最小值為 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意得，，故此時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此時(shí)向左平移個(gè)單位，故選A. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象平移 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意平移變換時(shí)，當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時(shí)，要將系數(shù)先提出．翻折變換要注意翻折的方向；三角函數(shù)名不同的圖象變換問(wèn)題，應(yīng)先將三角函數(shù)

17、名統(tǒng)一，再進(jìn)行變換 21. 【2016高考山東理數(shù)】函數(shù)f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ） （A） （B）π （C） （D）2π 【答案】B 【解析】 試題分析：,故最小正周期,故選B. 考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能

18、力等. 22. 【2014重慶10】已知的內(nèi)角，面積滿足 所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：1、兩角和與差的三角函數(shù)；2、正弦定理；3、三角形的面積公式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了綜合應(yīng)用正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的三角函數(shù)，屬于難題，根據(jù)題目條件熟練運(yùn)用正弦定理將三角形的邊與角互化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 23. 【2015高考重慶，理9】若，則（　?。? A、1 B、2 C、3

19、 D、4 【答案】C 【解析】 由已知， ＝，選C. 【考點(diǎn)定位】?jī)山呛团c差的正弦（余弦）公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換. 【名師點(diǎn)晴】三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時(shí)只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計(jì)算即可．本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡(jiǎn)，求解過(guò)程中注意公式的順用和逆用． 24.【2015高考安徽，理10】已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ） （A） （B） （C）

20、 （D） 【答案】A 【解析】由題意，，，所以，則，而當(dāng)時(shí)，，解得，所以，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.要比較的大小，只需判斷與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸的距離大小，距離越大，值越小，易知與比較近，與比較近，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，故選A. 【考點(diǎn)定位】1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用；2.函數(shù)值的大小比較. 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)中比較大小的問(wèn)題，一般的步驟是：第一步，根據(jù)題中所給的條件寫出三角函數(shù)解析式，如本題通過(guò)周期判斷出，通過(guò)最值判斷出，從而得出三角函數(shù)解析式；第二步，需要比較大小的函數(shù)值代入解析式或者通過(guò)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，本題中代入函數(shù)值計(jì)算不

21、太方便，故可以根據(jù)函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可. 25. 【2016高考天津理數(shù)】在△ABC中，若,BC=3， ,則AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】 試題分析：由余弦定理得,選A. 考點(diǎn)：余弦定理 【名師點(diǎn)睛】1.正、余弦定理可以處理四大類解三角形問(wèn)題，其中已知兩邊及其一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解． 2．利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運(yùn)用兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，從而達(dá)到知三求三的目的． 29．【2014遼寧理9】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（ ） A．在區(qū)間上單調(diào)遞

22、減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增 【答案】B 考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的變換、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.其易錯(cuò)點(diǎn)是平移方向與“+、-”混淆. 本題是一道基礎(chǔ)題，重點(diǎn)考查三角函數(shù)圖象的變換、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的計(jì)算能力. 本題是教科書及教輔材料常見(jiàn)題型，能使考生心理更穩(wěn)定，利于正常發(fā)揮. 30. 【2015湖南理2】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，，有，則（ ） A. B. C. D. 【答案】

23、D. 【解析】 試題分析：向右平移個(gè)單位后，得到，又∵，∴不妨 ，，∴，又∵， ∴，故選D. 【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對(duì)于三角函數(shù)的考查，多以 為背景來(lái)考查其性質(zhì)，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一是會(huì)化簡(jiǎn)，熟悉三角恒等變形，對(duì)三 角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；二是會(huì)用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對(duì)稱性，奇偶性等. 31. 【2015陜西理6】“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【考點(diǎn)定位】1、二倍角的余

24、弦公式；2、充分條件與必要條件． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是二倍角的余弦公式和充分條件與必要條件，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意時(shí)，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． 二、填空題. 1. 【2014高考北京理第14題】設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為 . 【答案】 【解析】 試題分析：由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對(duì)稱中心為， 由知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為， 所以，，即，所以，解得. 考點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性、周期性，

25、容易題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，本題屬于中等難度選填題，有關(guān)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)圖像變換問(wèn)題常在高考題目中出現(xiàn)，但本題重點(diǎn)考查函數(shù)圖像的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心以及對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與周期性的關(guān)系，這樣的考法并不多見(jiàn)，事實(shí)上，函數(shù)圖象有兩軸、兩心、或一軸一心都會(huì)聯(lián)想到函數(shù)的周期性，備考模擬題經(jīng)常見(jiàn)到，但高考題偶爾遇到，不是很多. 2. 【2015高考北京，理12】在中，，，，則 ． 【答案】1 【解析】 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及二倍角公式，靈活使用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊化角、角化邊. 【名師點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本題

26、屬于基礎(chǔ)題，題目所求分式的分子為二倍角正弦，應(yīng)用二倍角的正弦公式進(jìn)行恒等變形，變形后為角的正弦、余弦式，靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行角化邊，再把邊長(zhǎng)代入求值. 3. 【2014高考廣東卷.理.12】在中，角..所對(duì)應(yīng)的邊分別為..，已知，則 . 【答案】. 【解析】，由邊角互化得， 即，即，所以. 【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理中的邊角互化思想的應(yīng)用以及兩角和的三角函數(shù)，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理和兩角和的正弦公式，屬于中等題．解題時(shí)要弄清楚是求邊還是求角， 否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是正弦定理、兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，

27、即（其中為外接圓的半徑），，． 4. 【2015高考廣東，理11】設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若， ，，則 . 【答案】． 【解析】因?yàn)榍?，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故?yīng)填入． 【考點(diǎn)定位】三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理應(yīng)用． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、運(yùn)用正弦定理解三角形，屬于容易題，解答此題要注意由得出或時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理舍去． 5. 【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是 ▲ . 【答案】8. 考點(diǎn)：三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)

28、系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正余弦定理，是一個(gè)關(guān)于切的等量關(guān)系，平時(shí)多總結(jié)積累常見(jiàn)的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力，培養(yǎng)消元意識(shí) 6. 【2014江蘇，理5】已知函數(shù)與函數(shù)，它們的圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是 . 【答案】． 【解析】由題意，即，，，因?yàn)?，所以? 【名師點(diǎn)晴】從交點(diǎn)得到等量關(guān)系：關(guān)于的復(fù)角的三角函數(shù)式的值．由于值是特殊角的三角函數(shù)值，所以本題“給值求角”，根據(jù)角的范圍，確定角． 7. 【2015江蘇高考，8】已知，，則的值為_______. 【答案】3[] 【解析】 【考點(diǎn)定位】?jī)山遣钫泄? 【名師點(diǎn)晴】善

29、于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理對(duì)角拆分，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的是三角函數(shù)式的求值的常用方法. 三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角． 8. 【2014江蘇，理14】若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 .

30、【答案】． 【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的條件. 9. 【2014新課標(biāo)，理14】函數(shù)的最大值為_________. 【答案】1 【解析】由題意知：= == ==，即，因?yàn)?，所以的最大值?. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變形公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，根據(jù)三角恒等變形公式將已知函數(shù)的解析式化為的形式即可. 10. 【2016高考江蘇卷】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

31、是 ▲ . 【答案】7 【解析】由，因?yàn)?，所以?個(gè) 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像 【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可選用兩個(gè)角度：一是直接求解，如本題，解一個(gè)簡(jiǎn)單的三角方程，此方法立足于易于求解，二是數(shù)形結(jié)合，分別畫出函數(shù)圖像，數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，此法直觀，但對(duì)畫圖要求較高，必須準(zhǔn)確，尤其明確增長(zhǎng)幅度. 11 .【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移_____________個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 【答案】 考點(diǎn)：1、三角函數(shù)圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數(shù)． 【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí)，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)

32、在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少． 12. 【2014四川，理13】如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，，，，） 【答案】60 【解析】 試題分析：，，. 【考點(diǎn)定位】解三角形. 【名師點(diǎn)睛】在三角形中，已知兩角一邊時(shí)可以使用正弦定理解三角形. 13. 【2015高考四川，理12】 . 【答案】. 【考點(diǎn)定位】三角恒等變換及特殊角的三角函

33、數(shù)值. 有.第二種方法是直接湊為特殊角，利用特殊角的三角函數(shù)值求解. 【名師點(diǎn)睛】這是一個(gè)來(lái)自于課本的題，這告訴我們一定要立足于課本.首先將兩個(gè)角統(tǒng)一為一個(gè)角，然后再化為一個(gè)三角函數(shù)一般地，有.第二種方法是直接湊為特殊角，利用特殊角的三角函數(shù)值求解. 14. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理16】已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為____________． 【答案】 【解析】由，且，故，又根據(jù)正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，，故，所以， 又，故． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用是解決這類問(wèn)題的

34、關(guān)鍵，本題主要考查考生的計(jì)算能力. 15.【2015高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 . 【答案】（，） 【考點(diǎn)定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定值，四邊形的形狀固定，邊BC長(zhǎng)定，平移AD，當(dāng)AD重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，當(dāng)CD重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長(zhǎng)，即可求出AB的范圍，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路的關(guān)鍵. 16. 【2014年.浙江卷.理17】如圖，某人在垂直

35、于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小.若則的最大值 答案： 解析：由勾股定理可得，，過(guò)作，交于，連結(jié)，則，設(shè)，則，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值為． 考點(diǎn)：解三角形,求最值. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的有關(guān)問(wèn)題，根據(jù)所給條件構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解直角邊長(zhǎng)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)有關(guān)性質(zhì)解決所求角正切的最值問(wèn)題. 17.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則 ． 【答案】 【解析】

36、試題分析：因?yàn)椋覟槿切蝺?nèi)角，所以，，又因?yàn)椋? 所以. 考點(diǎn)： 三角函數(shù)和差公式，正弦定理. 【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到． 18. 【2015高考浙江，理11】函數(shù)的最小正周期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ． 【答案】，，. 【解析】 試題分析：，故最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，. 【考點(diǎn)定位】1.三角

37、恒等變形；2.三角函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變形與函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題，首先利用二倍角的 降冪變形對(duì)的表達(dá)式作等價(jià)變形，其次利用輔助角公式化為形如的形式，再由正 弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間，三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)有三角 恒等變形，正余弦定理，單調(diào)性周期性等. 19.【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，. 【考點(diǎn)定位】解三角形（正弦定理，余弦定理） 【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行

38、的．當(dāng)已知三角形邊長(zhǎng)的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對(duì)角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問(wèn)題的下一步解決方法． 20. 【2014，安徽理11】若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱， 則的最小正值是________． 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：1．三角函數(shù)的平移；2．三角函數(shù)恒等變換與圖象性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移在題中經(jīng)常出現(xiàn)，必須熟練掌握.無(wú)論哪種變化，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換

39、要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.若圖像關(guān)于軸對(duì)稱，即是偶函數(shù)，不妨將原函數(shù)向著方向化簡(jiǎn). 21. 【2016高考浙江理數(shù)】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，則A=______，b=________． 【答案】 【解析】 試題分析：，所以 考點(diǎn)：1、降冪公式；2、輔助角公式． 【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和． 22. 【2014天津，理12】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．已知，，則的值為_______． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵代入得，由余弦定理得． 考點(diǎn)：1．正弦定理

40、；2．余弦定理的推論． 名師點(diǎn)睛：本題考查解三角形有關(guān)的問(wèn)題，重點(diǎn)考查余弦定理，注重考查學(xué)生的減元意識(shí)。本題屬于基礎(chǔ)題，是備考時(shí)突出訓(xùn)練的題型。這種題學(xué)生很容易入手.近幾年高考大多以考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)圖象變換、三角函數(shù)的和、差、倍角公式的計(jì)算，特別是利用正弦定理、余弦定理解三角形。 23．【2015高考天津，理13】在 中，內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 . 【答案】 【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題之一，先根據(jù)同

41、角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運(yùn)用三角知識(shí)、正余弦定理的能力與運(yùn)算能力，是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn). 24. 【2015高考湖北，理12】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ． 【答案】2 【解析】因?yàn)? 所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 函數(shù)與圖象如圖，由圖知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)， 所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn). 【考點(diǎn)定位】二倍角的正弦、余弦公式，誘導(dǎo)公式，函數(shù)的零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合思想方法是高考考查的重點(diǎn). 已知函數(shù)

42、的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確。這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題.由“數(shù)”想圖，借“圖”解題. 25. 【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，即m， 在中，因?yàn)?，，所以，所以m. 【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測(cè)量中的的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，正弦定理. 【名師點(diǎn)睛】本題是空間四

43、面體問(wèn)題，不能把四邊形看成平面上的四邊形. 26. 【2014 上海，理1】 函數(shù)的最小正周期是　　　　　. 【答案】 【解析】由題意， 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期. 【名師點(diǎn)睛】三角變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題． 27. 【2014福建,理12】在中，,則的面積等于_________ 【答案】 【解析】 試題分析：由正弦定理可得.所以的面積等于. 考點(diǎn)：1.正弦定理.2.三角形的面積. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、三角形面

44、積公式，是基礎(chǔ)題，掌握公式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.本題用到的正弦定理是 ，若給出兩邊與一邊所對(duì)的角，求另一邊所對(duì)的角，可利用此公式. 28. 【2015高考福建，理12】若銳角的面積為 ，且 ，則 等于________． 【答案】 【解析】由已知得的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，． 【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、余弦定理． 【名師點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題；知道兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用余弦定理可以快捷求第三邊，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題 1. 【2016年高考

45、北京理數(shù)】（本小題13分） 在ABC中，. （1）求 的大??； （2）求 的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理. 【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法．注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． 2. 【2014高考北京理第15題】（本小題滿分13分） 如圖，在

46、中，，點(diǎn)在邊上，且，. （1）求； （2）求，的長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 試題分析：（1）由條件，根據(jù)求，再由兩個(gè)角的差的正弦公式求； （2）根據(jù)正弦定理求出，再由余弦定理求. 考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)角的差的正弦公式，正弦定理與余弦定理. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)及解三角形有關(guān)知識(shí)，本題屬于基礎(chǔ)題，是備考重點(diǎn)訓(xùn)練題型，近幾年高考大多以考查和、差、倍角的三角函數(shù)計(jì)算、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)圖象變換、利用正弦定理、余弦定理解三角形為主，有的單獨(dú)考查一個(gè)考點(diǎn)，有時(shí)分兩步兩個(gè)考點(diǎn)綜合考查（如本題）. 3. 【2015高考北京，理15】已知函

47、數(shù)． (Ⅰ) 求的最小正周期； (Ⅱ) 求在區(qū)間上的最小值． 【答案】（1），（2） 【解析】 (Ⅰ) (1)的最小正周期為； (2)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為： 考點(diǎn)定位： 本題考點(diǎn)為三角函數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，要求熟練使用降冪公式與輔助角公式，利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，包括周期、最值、單調(diào)性等． 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，要求準(zhǔn)確應(yīng)用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行變形，化為標(biāo)準(zhǔn)的形式，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等，但要注意函數(shù)的定義域，求最值要給出自變量的取值. 4. 【2015高考廣東，理1

48、6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，． （1）若，求tan x的值； （2）若與的夾角為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和差公式的逆用，知角求值，知值求角． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和差公式的逆用，知角求值和知值求角等問(wèn)題以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題，解答本題關(guān)鍵在于由向量的垂直及其坐標(biāo)運(yùn)算得到運(yùn)用兩角和差公式的逆用合并為． 5. 【2014高考廣東卷.理.16】 (本小題滿分12分)已知函數(shù)，，且. (1)求的值； (2)若，，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)， 所以，； (2)

49、 ， ， ，，則， . 【考點(diǎn)定位】本題考查誘導(dǎo)公式.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的三角函數(shù)，綜合考查三角函數(shù)的求值問(wèn)題，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是特殊角的三角函數(shù)值、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中等題．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即，，． 6. 【2016高考新課標(biāo)1卷】 （本小題滿分為12分） 的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

50、已知 （I）求C； （II）若的面積為,求的周長(zhǎng)． 【答案】（I）（II） 【解析】 （II）由已知,． 又,所以． 由已知及余弦定理得,． 故,從而． 所以的周長(zhǎng)為． 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式 【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式, ,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,?？紤]對(duì)其實(shí)施“邊化角”或“角化邊.” 7. 【 2014湖南18】如圖5,在平面四邊形中,. (1)求的值; (2)若,,求的長(zhǎng). 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析:(1)題目已知三角形的三條邊,利用的余弦定

51、理即可得到該角的余弦值. (2)利用(1)問(wèn)得到的的余弦結(jié)合正余弦之間的關(guān)系即可求的該角的正弦值,再利用正余弦之間的關(guān)系即可得到,而與之差即為,則利用正弦的和差角公式即可得到角的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的邊長(zhǎng). 試題解析: (1)由關(guān)于的余弦定理可得 ,所以. (2)因?yàn)闉樗倪呅蝺?nèi)角,所以且,則由正余弦的關(guān)系可得且,再由正弦的和差角公式可得 ,再由的正弦定理可得 . 【考點(diǎn)定位】三角形正余弦定理 正余弦之間的關(guān)系與和差角公式 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形

52、知識(shí)綜合起來(lái)命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式 8. 【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明； （Ⅱ）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值. 試題解析：由題意知， 化簡(jiǎn)得， 即. 因?yàn)? 所以. 從

53、而. 由正弦定理得. 由知, 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 故 的最小值為. 考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問(wèn)題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.9. 9.【2014江蘇，理15】已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）． 【名師點(diǎn)晴】善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)

54、系，合理對(duì)角拆分，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的是三角函數(shù)式的求值的常用方法. 三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角． 10. 【2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分） 在中，已知. （1）求的長(zhǎng)； （2

55、）求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長(zhǎng)，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值. 試題解析：（1）由余弦定理知，， 所以． 【考點(diǎn)定位】余弦定理，二倍角公式 【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該

56、三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開方時(shí)舍去負(fù)根. 11. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分） 在中，AC=6， （1）求AB的長(zhǎng)； （2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】 試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求 再利用正弦定理求 (2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開方時(shí)正負(fù)取舍. 試題解析：解（1）因?yàn)樗? 由正弦定理知，所以 （2）在三角形ABC中，所以 于是 又，故 因?yàn)?，所? 因此 考點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系，正余弦定理，兩角和與差公式 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)

57、題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證. 12. 【2015高考山東，理16】設(shè). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）在銳角中，角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值. 【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間是； 單調(diào)遞減區(qū)間是 （II） 面積的最大值為 【解析】 （I）由題意知 由 可得 由 可得 所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；　 單調(diào)遞減區(qū)間是 （II）由 得 由題意知為銳角，所以 由余

58、弦定理： 可得： 即： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 因此 所以面積的最大值為 【考點(diǎn)定位】1、誘導(dǎo)公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式與解三角形的基本知識(shí)和基本不等式，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，余弦定理結(jié)合基本不等式解決三角形的面積問(wèn)題是一種成熟的思路. 13. 【2014山東.理16】（本小題滿分12分） 已知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn). （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）將的圖象向左平移（）個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)增區(qū)間.

59、【答案】（I）. （II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. （2）由（1）知：. 由題意知：， 依題意知到點(diǎn)的距離為1的最高點(diǎn)為. 將其代入得， 可得，得到， 由，得 ， 得到的單調(diào)遞增區(qū)間為. 試題解析：（1）由題意知：. 因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)和， 所以， 即， 解得. （2）由（1）知：. 由題意知：， 設(shè)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為， 由題意知：，所以， 即到點(diǎn)的距離為1的最高點(diǎn)為. 將其代入得， 因?yàn)?，所以? 因此， 由，得 ， 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的性

60、質(zhì).解答本題的關(guān)鍵，是理解概念，掌握公式，熟練地進(jìn)行數(shù)學(xué)式子變形.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是運(yùn)算量較大. 本題屬于能力題，中等難度，在考查平面向量、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算及邏輯思維能力. 14. 【2016高考天津理數(shù)】已知函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()-. (Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期； （Ⅱ）討論f(x)在區(qū)間[]上的單調(diào)性. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先利用誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求定義域、周期根據(jù)（1）的結(jié)論，研究三角

61、函數(shù)在區(qū)間[]上單調(diào)性 解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 由,得 設(shè)，易知. 所以, 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證. 對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，常常是先化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等

62、變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式． 15.【2015高考陜西，理17】（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行． （I）求； （II）若，求的面積． 【答案】（I）；（II）． 解法二：由正弦定理，得， 從而， 又由，知，所以. 故 所以的面積為. 考點(diǎn)：1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．解題時(shí)一

63、定要注意角的范圍，否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式． 16. 【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）證明：A=2B； （II）若△ABC的面積，求角A的大小. 【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）或． 試題分析：（I）先由正弦定理可得，進(jìn)而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進(jìn)而可證；（II）先由三角形的

64、面積公式可得，進(jìn)而由二倍角公式可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大?。? 試題解析：（I）由正弦定理得， 故， 于是． 又，，故，所以 或， 因此（舍去）或， 所以，． （II）由得，故有 ， 因，得． 又，，所以． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 綜上，或． 考點(diǎn)：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路點(diǎn)睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大小． 17. 【2014高考陜西版理第1

65、6題】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為. （1）若成等差數(shù)列，證明：； （2）若成等比數(shù)列，求的最小值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. （2）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，由余弦定理得 ，根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即得，所以的最小值為 試題解析：（1）成等差數(shù)列 由正弦定理得 （2）成等比數(shù)列 由余弦定理得 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） 即 所以的最小值為 考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理；基本不等式. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理；余弦定理及基本不等式，屬于中檔題，在解有關(guān)三角形問(wèn)

66、題時(shí)一個(gè)是（三角形內(nèi)角和定理），另一個(gè)是正弦定理、余弦定理非常重要，它們是解有關(guān)三角形問(wèn)題的基石.，在本題中，適時(shí)運(yùn)用基本不等式可求的最小值. 18. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且. （I）證明：； （II）若，求. 【答案】（Ⅰ）證明詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）4. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）已知條件式中有邊有角，利用正弦定理，將邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化（本小題是將邊轉(zhuǎn)化為角），結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（Ⅱ）從已知式可以看出首先利用余弦定理解出cos A=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，解出tanB的值. （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A==． 所以sin A==． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin B=cos B+sin B， 故． 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)