2018年秋高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 階段復習課 第2課 函數(shù)及其基本性質學案 新人教A版必修1.doc

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第二課　函數(shù)及其基本性質 [核心速填] 1．函數(shù)的三要素 定義域、對應關系、值域． 2．函數(shù)的表示方法 解析法、列表法、圖象法． 3．函數(shù)的單調性 ①奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反． ②在公共區(qū)域上：增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)，增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù)． 4．函數(shù)的奇偶性 (1)奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱． (2)奇函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸成軸對稱． (3)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么它們在公共定義域上，滿足： 奇函數(shù)＋奇函數(shù)＝奇函數(shù)，奇函數(shù)奇函數(shù)＝偶函數(shù)，偶函數(shù)＋偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)＝奇函數(shù)． [體系構建] [題型探究] 求函數(shù)的定義域 　(1)求函數(shù)y＝＋－的定義域． (2)將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關于一邊長x的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域． [解]　(1)解不等式組得 故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5且x≠3}． (2)設矩形的一邊長為x，則另一邊長為(a－2x)， 所以y＝x(a－2x)＝－x2＋ax，定義域為. [規(guī)律方法]　(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合. (2)實際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應考慮使實際問題有意義. [跟蹤訓練] 1．函數(shù)f(x)＝＋(3x－1)0的定義域是(　　) 【導學號：37102180】 A.　　　　　　 B. C. D.∪ D　[由得x<1且x≠，故選D.] 求函數(shù)的解析式 　(1)函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝＋1，則f(x)的解析式為________． (2)已知f＝＋，則f(x)的解析式為________． (1)f(x)＝ (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[(1)設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ (2)令t＝＝＋1，則t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函數(shù)的解析式為 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．] [規(guī)律方法]　 求函數(shù)解析式的題型與相應的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用換元法或配湊法. (2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù))，使用待定系數(shù)法. (3)含f(x)與f(－x)或f(x)與，使用解方程組法. (4)已知一個區(qū)間的解析式，求另一個區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉移法. [跟蹤訓練] 2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，則f(x)＝________. (2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)滿足條件：①當x∈R時，f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值為0.求函數(shù)f(x)的解析式. (1)x＋　[因為f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，兩式聯(lián)立得f(x)＝x＋.] (2)[解]　因為f(x)的對稱軸為x＝－1， 所以－＝－1即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由條件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝， 所以f(x)＝x2＋x＋. 函數(shù)的性質及應用 　已知函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f＝. (1)確定函數(shù)f(x)的解析式； (2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)． 思路探究：(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值； (2)用單調性的定義求解． [解]　(1)由題意，得∴ 故f(x)＝. (2)任?。?0,1＋x>0. 又－10， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)． 母題探究：1.在本例條件不變的情況下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. [解]　由f(t－1)＋f(t)<0得 f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，∴－1f(x2)的形式. (2)根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式求解. 函數(shù)的圖象及應用 　對于函數(shù)f(x)＝x2－2|x|. (1)判斷其奇偶性，并指出圖象的對稱性； (2)畫此函數(shù)的圖象，并指出單調區(qū)間和最小值. 【導學號：37102182】 [解]　(1)函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 則f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)， 圖象關于y軸對稱． (2)f(x)＝x2－2|x|＝ 畫出圖象如圖所示， 根據(jù)圖象知，函數(shù)f(x)的最小值是－1.單調增區(qū)間是[－1，0]，[1，＋∞)；單調減區(qū)間是(－∞，－1]，[0,1]． [規(guī)律方法]　因為函數(shù)的圖象從圖形上很好地反映了函數(shù)的性質，所以在研究函數(shù)的性質時要注意結合圖象，在解方程和不等式時有時需畫出圖象，利用數(shù)形結合能達到快速解題的目的. [跟蹤訓練] 3．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)f(x)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，當x>0時，f(x)的圖象如圖11所示，則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______． 圖11 (0,3)∪(－3,0)　[因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)<0，由題圖知，當x>0時，若03，則f(x)>0. 又因為f(x)為奇函數(shù)，所以當x<－3時，f(x)<0，當－30.而不等式2xf(x)<0可化為或故不等式的解集為(0,3)∪(－3,0)．]