2019高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及應用 第1課時 導數(shù)的概念及運算練習 理.doc

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第1課時 導數(shù)的概念及運算 1．y＝ln的導函數(shù)為(　　) A．y′＝－　　　　　　　 B．y′＝ C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x) 答案　A 解析　y＝ln＝－lnx，∴y′＝－. 2．(2018東北師大附中摸底)曲線y＝5x＋lnx在點(1，5)處的切線方程為(　　) A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0 C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0 答案　D 解析　將點(1，5)代入y＝5x＋lnx成立，即點(1，5)為切點．因為y′＝5＋，所以y′＝5＋＝6. 所以切線方程為y－5＝6(x－1)，即6x－y－1＝0.故選D. 3．曲線y＝在點(3，2)處的切線的斜率是(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　y′＝＝－，故曲線在(3，2)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝3＝－＝－，故選D. 4．一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是(　　) A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末 答案　D 解析　∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2. 令v＝0，得t2－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2. 5．(2018鄭州質(zhì)量檢測)已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為(　　) A．3 B．2 C．1 D. 答案　A 解析　設切點坐標為(x0，y0)，且x0>0， 由y′＝x－，得k＝x0－＝2， ∴x0＝3. 6．(2018衡水調(diào)研卷)設f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0的值為(　　) A．e2 B．e C. D．ln2 答案　B 解析　由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1. 根據(jù)題意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e. 7．(2018山西名校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的導函數(shù)的圖像關于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x2 C．f(x)＝1＋sin2x D．f(x)＝ex＋x 答案　C 解析　A項中，f′(x)＝－3sinx，是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，不關于y軸對稱；B項中，f′(x)＝3x2＋2x＝3(x＋)2－，其圖像關于直線x＝－對稱；C項中，f′(x)＝2cos2x，是偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱；D項中，f′(x)＝ex＋1，由指數(shù)函數(shù)的圖像可知該函數(shù)的圖像不關于y軸對稱．故選C. 8．(2018安徽百校論壇聯(lián)考)已知曲線f(x)＝在點(1，f(1))處切線的斜率為1，則實數(shù)a的值為(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　D 解析　由f′(x)＝＝，得f′(1)＝＝1，解得a＝.故選D. 9．(2018衡水中學調(diào)研卷)已知函數(shù)f(x)＝x2sinx＋xcosx，則其導函數(shù)f′(x)的圖像大致是(　　) 答案　C 解析　由f(x)＝x2sinx＋xcosx，得f′(x)＝xsinx＋x2cosx＋cosx－xsinx＝x2cosx＋cosx.由此可知，f′(x)是偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱，排除選項A，B.又f′(0)＝1，故選C. 10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)為常數(shù)函數(shù) D．f(x)＋g(x)為常數(shù)函數(shù) 答案　C 11．(2017《高考調(diào)研》原創(chuàng)題)設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(2 017)＝(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　令ex＝t，則x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x. 求導得f′(x)＝＋1，故f′(2 017)＝＋1＝.故選D. 12．(2018河南息縣高中月考)若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2距離的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　B 解析　當過點P的直線平行于直線y＝x－2且與曲線y＝x2－lnx相切時，切點P到直線y＝x－2的距離最?。畬瘮?shù)y＝x2－lnx求導，得y′＝2x－.由2x－＝1，可得切點坐標為(1，1)，故點(1，1)到直線y＝x－2的距離為，即為所求的最小值．故選B. 13．(2018重慶一中期中)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x為偶函數(shù)，若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標等于(　　) A．ln2 B．2ln2 C．2 D. 答案　A 解析　因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，即ex＋ae－x＝e－x＋ae－(－x)，解得a＝1，所以f(x)＝ex＋e－x，所以f′(x)＝ex－e－x.設切點的橫坐標為x0，則f′(x0)＝ex0－e－x0＝.設t＝ex0(t>0)，則t－＝，解得t＝2，即ex0＝2，所以x0＝ln2.故選A. 14．已知y＝x3－x－1＋1，則其導函數(shù)的值域為________． 答案　[2，＋∞) 15．已知函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則f′(0)＝________． 答案?。?20 解析　f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)(－2)(－3)(－4)(－5)＝－120. 16．(2018重慶巴蜀期中)曲線f(x)＝lnx＋x2＋ax存在與直線3x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－∞，1] 解析　由題意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切點P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因為t>0，所以3－a≥2(當且僅當t＝1時取等號)，即a≤1. 17．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝2x2. (1)求x<0時，f(x)的表達式； (2)令g(x)＝lnx，問是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0處的切線互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由． 答案　(1)f(x)＝－2x2(x<0)　(2)存在，x0＝ 解析　(1)當x<0時，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2. ∴當x<0時，f(x)的表達式為f(x)＝－2x2. (2)若f(x)，g(x)在x0處的切線互相平行，則f′(x0)＝g′(x0)，當x>0時，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得，x0＝.故存在x0＝滿足條件． 18．(2018河北卓越聯(lián)盟月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標． 答案　(1)y＝13x－32 (2)直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26) 解析　(1)根據(jù)題意，得f′(x)＝3x2＋1. 所以曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率k＝f′(2)＝13， 所以要求的切線的方程為y＝13x－32. (2)設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x02＋1， 所以直線l的方程為y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又直線l過點(0，0)，則 (3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0， 整理得x03＝－8，解得x0＝－2， 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13， 所以直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)． 1．曲線y＝－在點M(，0)處的切線的斜率為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　∵y′＝[cosx(sinx＋cosx)－sinx(cosx－sinx)]＝，∴y′|x＝＝，∴k＝y(tǒng)′|x＝＝. 2．(2017山東東營一模)設曲線y＝sinx上任一點(x，y)處切線的斜率為g(x)，則函數(shù)y＝x2g(x)的部分圖像可能為(　　) 答案　C 解析　根據(jù)題意得g(x)＝cosx，所以y＝x2g(x)＝x2cosx為偶函數(shù)．又x＝0時，y＝0.故選C. 3．(2017山東煙臺期末)若點P是函數(shù)y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)圖像上任意一點，且在點P處切線的傾斜角為α，則α的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由導數(shù)的幾何意義，k＝y(tǒng)′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，當且僅當x＝0時等號成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值為，故選B. 4．(2015課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖像在點(1，f(1))處的切線過點(2，7)，則a＝________． 答案　1 解析　因為f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因為點(2，7)在切線上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 5.(2017浙江十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖像是如圖所示的一條直線l，l與x軸的交點坐標為(1，0)，則f(0)與f(3)的大小關系為(　　) A．f(0)f(3) C．f(0)＝f(3) D．無法確定 答案　B 解析　由題意知f(x)的圖像是以x＝1為對稱軸，且開口向下的拋物線，所以f(0)＝f(2)>f(3)．選B. 6．(2013江西，文)若曲線y＝xa＋1(a∈R)在點(1，2)處的切線經(jīng)過坐標原點，則a＝________． 答案　2 解析　由題意y′＝αxα－1，在點(1，2)處的切線的斜率為k＝α，又切線過坐標原點，所以α＝＝2. 7．(2017河北邯鄲二模)曲線y＝log2x在點(1，0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________． 答案　log2e 解析　∵y′＝，∴k＝. ∴切線方程為y＝(x－1)． ∴三角形面積為S△＝1＝＝log2e. 8．若拋物線y＝x2－x＋c上的一點P的橫坐標是－2，拋物線過點P的切線恰好過坐標原點，則實數(shù)c的值為________． 答案　4 解析　∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴＝－5.∴c＝4. 9．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y－1＝0，則(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 答案　B 解析　切線方程為y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0，故選B. 10．若P，Q是函數(shù)f(x)＝x2－x(－1≤x≤1)圖像上任意不同的兩點，則直線PQ的斜率的取值范圍是(　　) A．(－3，1) B．(－1，1) C．(0，3) D．(－4，2) 答案　A 解析　f′(x)＝2x－1，當x＝－1時，f′(－1)＝－3. 當x＝1時，f′(1)＝1，結合圖像可知，－30，排除D，答案為A. 12．(2017人大附中月考)曲線y＝lgx在x＝1處的切線的斜率是(　　) A. B．ln10 C．lne D. 答案　A 解析　因為y′＝，所以y′|x＝1＝，即切線的斜率為. 13．下列函數(shù)求導運算正確的是________． ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝； ③(sin)′＝cos；④()′＝x. 答案　② 14．(2016天津文)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(0)的值為________． 答案　3 解析　∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3. 15．(2016課標全國Ⅲ，理)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________． 答案　y＝－2x－1 解析　由題意可得當x>0時，f(x)＝lnx－3x，則f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，則在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 16．(2015課標全國Ⅱ)已知曲線y＝x＋lnx在點(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________． 答案　8 解析　由y′＝1＋可得曲線y＝x＋lnx在點(1，1)處的切線斜率為2，故切線方程為y＝2x－1，與y＝ax2＋(a＋2)x＋1聯(lián)立得ax2＋ax＋2＝0，顯然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0?a＝8. 17．y＝xtanx的導數(shù)為y′＝________． 答案　tanx＋ 解析　y′＝(xtanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′ ＝tanx＋x()′＝tanx＋x＝tanx＋. 18．已知函數(shù)f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值為________． 答案　1 解析　因為f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()＝－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1. 19．(2018山西太原期中)設曲線y＝在點(1，1)處的切線與曲線y＝ex在點P處的切線垂直，則點P的坐標為________． 答案　(0，1) 解析　由y＝得y′＝－，所以曲線y＝在點(1，1)處的切線的斜率k＝－1，所以曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線的斜率為1.由y＝ex，得y′＝ex，所以ex0＝1，解得x0＝0，y0＝1，即點P(0，1)． 20．若直線y＝x＋b是曲線y＝lnx的一條切線，則實數(shù)b＝________. 答案　ln2－1 解析　∵切線斜率k＝，y′＝，∴x＝2，y＝ln2. ∴切線方程為y－ln2＝(x－2)． 即y＝x＋ln2－1，∴b＝ln2－1. 21．已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲線C上橫坐標為1的切線方程； (2)第(1)問中的切線與曲線C是否還有其他公共點． 答案　(1)y＝－12x＋8 (2)還有兩個交點(－2，32)，(，0) 解析　(1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4. ∴切點為(1，－4)， 又y′＝12x3－6x2－18x， ∴切線斜率為k＝12－6－18＝－12. ∴切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8. (2)由 得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0， 即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0. ∴x＝1，－2，. 代入y＝3x4－2x3－9x2＋4， 求得y＝－4，32，0， 即公共點為(1，－4)(切點)，(－2，32)，(，0)． ∴除切點處，還有兩個交點(－2，32)，(，0)．