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第十五章 不等式選講
考綱解讀
考點(diǎn)
內(nèi)容解讀
要求
高考示例
?？碱}型
預(yù)測(cè)熱度
不等式的解法及證明
1.理解絕對(duì)值的幾何意義并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R)
2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a
3.通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法等
Ⅱ
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,23;
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23;
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23;
2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,24;
2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24;
2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,24;
2015課標(biāo)Ⅰ,24;
2015課標(biāo)Ⅱ,24
填空題、
解答題
★★☆
分析解讀
不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一,主要考查絕對(duì)值的幾何意義,絕對(duì)值不等式的解法及不等式證明的基本方法.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為10分,屬中檔題.
五年高考
考點(diǎn) 不等式的解法及證明
1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
證明 (1)(a+b)(a5+b5)
=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)f(x)=-3,x<-1,2x-1,-1≤x≤2,3,x>2.
當(dāng)x<-1時(shí), f(x)≥1無(wú)解;
當(dāng)-1≤x≤2時(shí),由f(x)≥1得,2x-1≥1,
所以1≤x≤2;
當(dāng)x>2時(shí),由f(x)≥1得x>2.
所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而
|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-|x|-322+54≤54,
且當(dāng)x=32時(shí),|x+1|-|x-2|-x2+x=54.
故m的取值范圍為-∞,54.
3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)x∈R時(shí), f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=2時(shí), f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)
(2)當(dāng)x∈R時(shí),
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立,
所以當(dāng)x∈R時(shí), f(x)+g(x)≥3等價(jià)于|1-a|+a≥3.①(7分)
當(dāng)a≤1時(shí),①等價(jià)于1-a+a≥3,無(wú)解.
當(dāng)a>1時(shí),①等價(jià)于a-1+a≥3,
解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12
-1;(3分)
當(dāng)-120.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解;
當(dāng)-10,解得230,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為x23a.
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為23(a+1)2.
由題設(shè)得23(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)
6.(2015課標(biāo)Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd,則a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證明 (1)因?yàn)?a+b)2=a+b+2ab,
(c+d)2=c+d+2cd,
由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.
因此a+b>c+d.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得a+b>c+d.
(ii)若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2,
即a+b+2ab>c+d+2cd.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
7.(2014課標(biāo)Ⅰ,24,10分)選修4—5:不等式選講
若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
解析 (1)由ab=1a+1b≥2ab,得ab≥2,且當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.
故a3+b3≥2a3b3≥42,且當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.
所以a3+b3的最小值為42.
(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.
由于43>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
教師用書專用(8—15)
8.(2014陜西,15A,5分)(不等式選做題)設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則m2+n2的最小值為 .
答案 5
9.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為 .
答案 [0,2]
10.(2013陜西,15A,5分)(不等式選做題)設(shè)a,b∈R,|a-b|>2,則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 .
答案 (-∞,+∞)
11.(2015陜西,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|x+a|0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a) =1a+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=3+1a+|3-a|.
當(dāng)a>3時(shí), f(3)=a+1a,由f(3)<5得3-1,且當(dāng)x∈-a2,12時(shí), f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)1.
其圖象如圖所示.
從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時(shí),y<0.
所以原不等式的解集是{x|012時(shí),x的取值范圍是12,a.
2.(2018湖北荊州中學(xué)月考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)4,證明:f(x1)+f(x2)>12.
解析 (1)由f(x)+f(2x)4,∴f(x1)+f(x2)>12.
3.(2017河南考前預(yù)測(cè),23)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)求不等式f(x)+|x+1|<2的解集;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值為a,且m+n=a(m>0,n>0),求4m+1n的最小值.
解析 (1)f(x)+|x+1|=-3x,x≤-1,-x+2,-1-23,所以x∈?;
當(dāng)-10,所以00,n>0,所以4m+1n=12(m+n)4m+1n=125+4nm+mn≥125+24nmmn=92,
當(dāng)且僅當(dāng)4nm=mn,即m=43,n=23時(shí)等號(hào)成立.
所以4m+1n的最小值為92.
4.(2017廣東百校聯(lián)考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M為不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求證:當(dāng)x,y∈M時(shí),|x+y+xy|<15.
解析 (1)f(x)=x-3,x<-2,3x+1,-2≤x≤12,-x+3,x>12.
當(dāng)x<-2時(shí),由x-3>0,得x>3,所以x∈?;
當(dāng)-2≤x≤12時(shí),由3x+1>0,得x>-13,故-1312時(shí),由-x+3>0,得x<3,故1232,(2x+1)+(2x-3)≤6
或-12≤x≤32,(2x+1)-(2x-3)≤6或x<-12,-(2x+1)-(2x-3)≤6,
解得324,解此不等式得a<-3或a>5.
2.(2018廣東珠海二中期中,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求不等式f(x)≤2的解集;
(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集為A,且34,2?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|,
f(x)≤2即|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化為x≤12,1-x+1-2x≤2
或120,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范圍;
(2)若4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范圍.
解析 (1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴由基本不等式得ab≤a+b22=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立.∵ab≤m恒成立,∴m≥14.
(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=23時(shí),等號(hào)成立.
故要使4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,則|2x-1|-|x+2|≤9,
當(dāng)x≤-2時(shí),不等式可化為1-2x+x+2≤9,得-6≤x≤-2;
當(dāng)-20時(shí),-2a≤x≤4a.
因?yàn)椴坏仁絝(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以-2a=-1,4a=2,解得a=2.
當(dāng)a<0時(shí),4a≤x≤-2a.
因?yàn)椴坏仁絝(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以-2a=2,4a=-1,無(wú)解.
所以a=2.
(2)因?yàn)閒(x)+f(-x)3=|2x-1|+|2x+1|3≥|(2x-1)-(2x+1)|3=23,
所以要使 f(x)+f(-x)3<|k|存在實(shí)數(shù)解,只需|k|>23.
解得k>23或k<-23.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是-∞,-23∪23,+∞.
6.(2016福建“四地六?！钡谌温?lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=12x+1+|x-1|(x∈R)的最小值為a.
(1)求a;
(2)已知兩個(gè)正數(shù)m,n滿足m2+n2=a,求1m+1n的最小值.
解析 (1)函數(shù)f(x)=12x+1+|x-1|=-32x,x≤-2,-12x+2,-20,n>0,∴1mn≥43,
故有1m+1n≥21mn≥433,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=32時(shí)取等號(hào).
所以1m+1n的最小值為433.
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法
1.(2018河南開封定位考試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-m|,m<0.
(1)當(dāng)m=-1時(shí),解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x+1|,設(shè)F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=-2x(x<-1),2(-1≤x<1),2x(x≥1),F(x)≥2-x,即x<-1,-2x≥2-x或-1≤x<1,2≥2-x或x≥1,2x≥2-x,解得x≤-2或x≥0,故原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥0}.
(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0,
當(dāng)x≤m時(shí),f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,則f(x)≥-m;
當(dāng)m-m2,解得m>-2,
由于m<0,所以m的取值范圍是(-2,0).
2.(2017湖南五市十校12月聯(lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|-2|x+a|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]時(shí)恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)∵a=1,∴f(x)>1?|x-1|-2|x+1|>1
?x≤-1,-x+1+2(x+1)>1或-11或x>1,x-1-2(x+1)>1,
解得-20在x∈[2,3]時(shí)恒成立
?|x-1|-2|x+a|>0在x∈[2,3]時(shí)恒成立
?|2x+2a|1.
解析 (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=2,x≥1,2x,-11,只需證|1-abc|>|ab-c|,
只需證1+a2b2c2>a2b2+c2,只需證1-a2b2>c2(1-a2b2),
只需證(1-a2b2)(1-c2)>0,
由a,b,c∈A,得-10恒成立.
綜上,1-abcab-c>1.
4.(2017四川廣安等四市一模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+bc+ac=1.
(1)當(dāng)b=1時(shí),求不等式f(x)≥1的解集;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證f(x)≤g(x).
解析 (1)當(dāng)b=1時(shí),f(x)=-2,x≤-1,2x,-1
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2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第十五章
不等式選講練習(xí)
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
第十五
不等式
練習(xí)
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