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1、11【大高考【大高考】 （五年高考真題五年高考真題） 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十四章第十四章 不等式選講不等式選講 理理（全國通用）（全國通用）考點(diǎn)一解絕對(duì)值不等式1(20 xx重慶，16)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為 5，則實(shí)數(shù)a_.解析由絕對(duì)值的性質(zhì)知f(x)的最小值在x1 或xa時(shí)取得，若f(1)2|1a|5，a32或a72，經(jīng)檢驗(yàn)均不合適；若f(a)5，則|x1|5，a4 或a6，經(jīng)檢驗(yàn)合題意，因此a4 或a6.答案4 或62(20 xx廣東，9)不等式|x1|x2|5 的解集為_解析原不等式等價(jià)于x1，（x1）（x2）5或2x1，（x1）（x2）5或x2，（x1）（
2、x2）5，解得x2 或x3.故原不等式的解集為x|x3 或x2答案x|x3 或x23(20 xx湖南，13)若關(guān)于x的不等式|ax2|3 的解集為x|53x13 ，則a_.解析依題意，知a0.|ax2|33ax231ax0 時(shí)，不等式的解集為1a，5a，從而有5a13，1a53，此方程組無解當(dāng)a0 時(shí)，不等式的解集為5a，1a，從而有5a53，1a13，解得a3.答案34(20 xx重慶，16)若不等式|2x1|x2|a212a2 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析令f(x)|2x1|x2|，易求得f(x)min52，依題意得a212a2521a12.答案1，125(20 xx山東
3、，14)在區(qū)間3，3上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x1|x2|1 成立的概率為_解析當(dāng)x1 時(shí)，原不等式變?yōu)?x1)(x2)1，即31，不成立；當(dāng)1x2 時(shí)，原不等式變?yōu)閤1(2x)1，即x1，1x2；當(dāng)x2 時(shí)，原不等式變?yōu)?x1)(x2)1，即 31，x2.綜上所述，不等式的解集是1，)對(duì)于區(qū)間3，3，只有在區(qū)間1，3取值時(shí)不等式才能成立，故在區(qū)間3，3隨機(jī)取值，使不等式成立的概率是P2613.答案136(20 xx江西，15(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1 的解集為_解析由|x2|1|1 得：1|x2|11，即 0|x2|2，所以2x22，即 0 x4，故不等式的解集是x|0 x4答案
4、x|0 x47(20 xx重慶，16)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析法一設(shè)f(x)|x5|x3|2x2，x5，8，3x5，2x2，x3，可求得f(x)的值域?yàn)?，)，因?yàn)樵坏仁綗o解，只需a8，故a的取值范圍是(，8法二由絕對(duì)值不等式，得|x5|x3|(x5)(x3)|8，不等式|x5|x3|a無解時(shí)，a的取值范圍為(，8答案(，88(20 xx陜西，15A)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3 成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由|xa|x1|a1|，則|a1|3，解得2a4.答案2，49(20 xx廣東，9)不等式|x2|x|1 的解集為_解析由題意知，2 和
5、 0 將 R R 分成三部分(1)當(dāng)x2 時(shí)，原不等式可化簡(jiǎn)為(x2)(x)1，即21，x2.(2)當(dāng)2x0 時(shí)，化簡(jiǎn)為(x2)x1，即 2x1，x12，2x12.(3)當(dāng)x0 時(shí)，化簡(jiǎn)為x2x1，即 21，此時(shí)無解綜上可得不等式的解集為x|x12 .答案x|x1210(20 xx陜西，15A)若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析法一|x1|x2|表示數(shù)軸上一點(diǎn)A(x)到B(1)與C(2)的距離之和， 而|BC|3.|AB|AC|3，|a|3，a3 或a3.法二設(shè)f(x)|x1|x2|12x， （x2）f(x)的圖象如圖所示，f(x)3，|a|3，a3 或a
6、3.法三|x1|x2|(x1)(x2)|3，|a|3.a3 或a3.答案(，33，)11(20 xx陜西，24)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求at12bt的最大值解(1)由|xa|b，得baxba，則ba2，ba4，解得a3，b1.(2) 3t12t 3 4tt （ 3）212（ 4t）2（t）22 4tt4，當(dāng)且僅當(dāng)4t3t1，即t1 時(shí)等號(hào)成立，故( 3t12t)max4.12(20 xx新課標(biāo)全國，24)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng)a1 時(shí)，求不等式f(x)1 的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于
7、6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1 時(shí)，f(x)1 化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1 時(shí)，不等式化為x40，無解；當(dāng)1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集為x|23x2.(2)由題設(shè)可得，f(x)x12a，xa.所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2a13，0，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面積為23(a1)2.由題設(shè)得23(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)13(20 xx新課標(biāo)全國，24)設(shè)函數(shù)f(x)|x1a|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|x1a|xa|x1a(xa)|1aa2.所以f(x)2.(2
8、)解f(3)|31a|3a|.當(dāng)a3 時(shí)，f(3)a1a，由f(3)5 得 3a5 212.當(dāng) 0a3 時(shí)，f(3)6a1a，由f(3)1.(1)當(dāng)a2 時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集為x|1x2，求a的值解(1)當(dāng)a2 時(shí)，f(x)|x4|2x6，x2，2，2x4，2x6，x4.當(dāng)x2 時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng) 2x4 時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4 時(shí)，由f(x)4|x4|得 2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1 或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)2a
9、，x0，4x2a，0 xa，2a，xa.由|h(x)|2，解得a12xa12.又已知|h(x)|2 的解集為x|1x2，所以a121，a122，于是a3.考點(diǎn)二不等式的證明1(20 xx湖北，6)設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則abcxyz等于()A.14B.13C.12D.34解析法一由已知得4a24b24c240，x2y2z240，4ax4by4cz80.：(2ax)2(2by)2(2cz)20，x2a，y2b，z2c，abcxyz12.故選 C.法二由題設(shè)及柯西不等式得|axbycz| （a2b2c2） （x2y2z2）20，當(dāng)且
10、僅當(dāng)axbycz時(shí)取等號(hào)，此時(shí)令axbyczk，易知k12，abcxyzk12，故選 C.答案C2 (20 xx湖南， 10)已知a，b，cR R，a2b3c6， 則a24b29c2的最小值為_解析由柯西不等式得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即a24b29c212，當(dāng)a2b3c2 時(shí)等號(hào)成立，即最小值為 12.答案123(20 xx湖北，13)設(shè)x，y，zR R，且滿足：x2y2z21，x2y3z 14，則xyz_.解析由柯西不等式得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2當(dāng)且僅當(dāng)x1y2z3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)y2x，z3x.x2y2z21，x2y3z 14，x1
11、414，y2 1414，z3 1414.xyz6 14143 147.答案3 1474(20 xx陜西，15A)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_解析(ambn)(bman)abm2(a2b2)mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a22abb2)2(ab)22(當(dāng)且僅當(dāng)mn 2時(shí)等號(hào)成立)答案25(20 xx新課標(biāo)全國，24)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若abcd，則abcd；(2)abcd是|ab|cd|的充要條件證明(1)因?yàn)?ab)2ab2ab，(cd)2cd2c
12、d，由題設(shè)abcd，abcd得(ab)2(cd)2.因此abcd.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.由(1)得abcd.若abcd，則(ab)2(cd)2，即ab2abcd2cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，abcd是|ab|cd|的充要條件6(20 xx天津，19)已知q和n均為給定的大于 1 的自然數(shù)設(shè)集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)當(dāng)q2，n3 時(shí)，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.證明：若anbn，則st.(1)解當(dāng)q2，n3 時(shí)，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3可得，A0，1，2，3，4，5，6，7(2)證明由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1（q1） （1qn1）1qqn110.所以，st.
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